构造直线与圆解一类条件最值

<正> 某些条件最值问题,若能巧妙地构造出直线与圆,利用直线与圆的位置关系来解,则可化繁为简,化难为易.例1 如果实数x和y满足方程x+y-4=0,则x2+y2的最小值是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)10     

构造一元二次方程解决一类条件最值问题

在约束条件Ａｘ2 +Ｂｘｙ +Ｃｙ2 =Ｍ下 ,求函数ω =Ａｘ2 +Ｄｘｙ+Ｃｙ2 　 (Ａ、Ｃ、Ｍ∈Ｒ+,Ｂ、Ｄ∈Ｒ)的最值 ,贵刊文 [1]、[2 ]和 [3]给出了三种解法 ,读罢颇受启发 .笔者也作了一些探讨 ,发现了解决它的一种新方法 ,即构造一元二次方程来解决它 .下面就以文 [1]中的例子来具体说明这种解法 .例 1　 (1993年全国高中联赛题 )已知ｘ ,ｙ∈Ｒ ,且 4ｘ2 - 5ｘｙ + 4 ｙ2 =5 ,记Ｓ =ｘ2 + ｙ2 ,求 1Ｓｍａｘ +1Ｓｍｉｎ 的值 .解　将ｘ2 + ｙ2 =Ｓ代入条件式 ,得　　ｘｙ=4Ｓ- 55 ,即ｘ2 ｙ2 =4Ｓ- 552 .因此 ,ｘ2 与 ｙ2 是关于ｚ的一元…     

构造二次函数求一类最值问题

求最值是竞赛和高考出现的一类题目,有关这类问题的求解涉及很多数学方法与技巧,不易掌握。由于二次函数y=ax~2 bx c(a≠0),当且仅当其判别式Δ=b~2-4ac≤0时,y保号。这一性质在解答一些条件最值问题中具有独特的方法。现举几例说明,以供参考。     

构造法求解一类条件型最值问题的探析

最值问题是近几年高考中的一大热点内容，这类问题解法灵活多变，对数学思想方法的要求较高。本文介绍构造法求解这类问题的一些类型题，希望对读者有所启发。     

构造法求解一类条件型最值问题的探析

最值问题是近几年高考中的一大热点内容,这类问题解法灵活多变,对数学思想方法的要求较高.本文介绍构造法求解这类问题的一些类型题,希望对读者有所启发.一、构造方程模型【例1】已知实数a、b满足a2 b2 ab=1,求t=ab-a2-b2的最值.解:构造一个关于x的一元二次方程x2-(a b)x (a b)2-1=0.显然a、b是这个方程的两个实根.从而△=[-(a b)]2-4[(a b)2-1]≥0,即4-3(a b)2≥0,∴0≤(a b)2≤34.由t=ab-a2-b2=-2ab-a2-b2 3ab=-(a b)2 3[(a b)2-1]=2(a b)2-3.综上,当(a b)2=0时,tmin=-3;当(a b)2=43时,tmax=-31.评析:构造满足题设条件的二次方程是本题求…     

构造圆锥曲线解无理函数最值问题

求无理函数的最大值和最小值问题，是新课程高中数学中的重要内容．本文以部分高中数学竞赛题和高考题为例，通过构造椭圆、双曲线、抛物线，对这一专题内容进行探讨．其目的在于说明圆锥曲线的重要作用．     

构造图像解复数最值问题

构造图像解复数最值问题岳应宁，周光国求复数模的最值及幅角主值的方法很多，若不注意分析题中关系式所蕴含的几何特征，常易导致繁琐运算，影响解题速度。若能做到数形结合，往往会事半功倍。例１．复数ｘ满足２｜ｚ－３－３ｉ｜＝｜ｚ｜，求｜ｚ｜的最大值和最小值。解...     

一类条件最值问题的求法

在中学数学中，求函数最值的方法灵活多样，但对某一类函数来说，有它们自己的特殊解法．下面对一类条件最值提供一种解法，供大家参考．此例题利用参数法,巧妙地解决了问题,那么，这种方法是否对此类最值都是适合呢？例2已知x≥0，y≥0，2x y≤6，x 2y≤6；求函数z=2x-3y的最大值。如果用上题方法同例1一样，得z=2x-3y=2（2t-3）／3-3（2s-t）／3=（7t-）／3．但我们仔细观察，此时的解答就不正确，此时，y=-2同条件y≥0矛盾．因此，用此法找不到符合条件的x和y，使z=2x-3y=14，即z_(max)≠14．下面利用直线的截距来解决这个问题．解条件x…     

构造隐圆解决一类最值问题

<正>本文对近几年高考中的向量试题进行梳理,旨在寻求利用隐圆解决一类向量问题的通解通法,与同行交流.一、代数法找隐圆例1 (2014年湖南高考题)在平面直角坐标系中,O为原点,■动点D满足■,则■的取值范围是()     

用换元法解一类最值问题

最值问题一直是各类考试的热点,也是学生学习的难点,对条件可化为两个非负数和为1的最值问题可以用三角换元法简洁、明了地解决. 问题 若实数x,y满足x2+y2+xy=1,x+y的最大值是_________. 分析 由条件,原式可化为(x+y/2)2+3/4y2=1,令x+1/2y=cosα,且2√3/2y=sinα,1 则x+y=1√3sinα+cosα=2√3/2sin(α+θ).所以,x+y的最大值是 2√3/2.     

巧用极化恒等式 解一类最值问题

<正>高考和竞赛试题中向量数量积的最值问题屡见不鲜,备受命题者青睐,灵活使用极化恒等式,一些高难度的题目将迎刃而解,本文举例说明极化恒等式在解决向量数量积最值问题中的应用,以期抛砖引玉.1极化恒等式简介     

一类双重最值问题的优解

[1]通过三道数学竞赛试题总结出一类多变量双重最值问题的求解策略，[2]改进了[1]繁琐的解法。考虑到“数学的本质往往是最简单的”，本欲通过建立关于“最大值”或“最小值”的不等式，然后用解关于“最大值”或“最小值”的不等式的方法求出此类问题的双重最值。以下通过[2]中的两道例子加以说明。     

一类解三角形最值问题的探究

解三角形是高中数学重要内容之一,也一直是高考考查的 重点,无论是小题还是大题,每年必考。解三角形主要考查的 是三角形中边、角、面积的度量问题,通过正弦定理、余弦定理 以及面积公式,再结合必修四三角函数的有关内容,也经常与 基本不等式结合灵活解决三角形中的周长和面积的相关问题。本文通过 2020 年全国二卷一道高考题详细探究三角形中的面 积、周长等最值问题。     

一个矩不等式在解一类条件最值问题中的应用

该文探讨了矩不等式在解一类条件最值问题,即＂已知xi∈R＋,i=1,2,…,n,且g（x1,x2,…,xn）=1,求函数f（x1,x2,…,xn）的最小值＂问题中的应用.     

构造平面向量巧解最值问题

最值问题是数学奥林匹克中的热门试题.它技巧性强,难度大,解法活.本文利用高中数学新教材中新增的重要内容--平面向量,巧解一类最值问题.     

一类条件最值问题的快速解法

<正>基本不等式是求解函数最值问题的一个有效工具,不仅是高中数学教学的重点,而且是高考考查的一个热点．然而,学生在应用基本不等式求最值时,往往因为不知如何获取“和为定值”或“积为定值”导致无法运用基本不等式正确求解出最值．而灵活应用已知条件去构造、去变形从而获得“定值”又是此类问题的难点．针对学生不能灵活获取“定值”的实际,笔者在教学实践中,探寻了一种既能降低构造“定值”这个难点,同时又能快速准确求出一类条件最值问题,本文将结合教学实践,例说此类条件最值问题的快速解法．     

一类条件最值问题的新解法

贵刊在文 [1]中给出了“在约束条件Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 =Ｍ下 ,求函数ω=Ａｘ2 Ｄｘｙ Ｃｙ2 (Ａ ,Ｃ ,Ｍ∈Ｒ ,Ｂ ,Ｄ ∈Ｒ)的最值”这类问题的简易求法 ,读罢颇有收益 .笔者在教学实践中也对此问题作过一些探讨 ,发现了解决它的一种新方法 ,在此方法中主要用到如下两个结论 :(1)ａ2 ｂ2 ≥ 2 ｜ａｂ｜[2 ] (ａ ,ｂ∈Ｒ) .(2 ) ｜ｆ(ｘ)｜≤ｇ(ｘ) -ｇ(ｘ) ≤ｆ(ｘ)≤ｇ(ｘ) [ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ]· [ｆ(ｘ) -ｇ(ｘ) ]≤ 0 .下面就以文 [1]中的例 1—例 3为例具体说明这种解法 .例 1　 (1993年全国高中联赛题 )已知ｘ、ｙ∈Ｒ ,且 4ｘ2 -…     

一类条件最值问题的再研究

<正>条件最值问题已知实数x、y满足ax²+bxy+cy2+bxy+cy²=d(其中a、c、d均为正常数,b为实常数,且△=b2=d(其中a、c、d均为正常数,b为实常数,且△=b²-4ac<0),求z=mx+ny(m、n为实常数)的最值.这是众多期刊探究的一类热点问题.例如,