余弦定理在证明几何定理中的应用

用余弦定理证明几何命题,常常可以不添或少添辅助线,且思路清晰。现将余弦定理在证明几个著名定理中的应用介绍如下: 1.托勒密定理 在圆内接四边形ABCD中,求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC(如图1) 证明 记AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,AC=e,BD=f。即证ef=ac+bd。图1 因 cosA=-cosC,应用余弦定理,得     

斯特瓦耳特定理及其应用

斯特瓦耳特(Ste,art)定理在△ABC中.D在BC上,若BD=P,DC~q,则有将已知数据代入,可求得DCADZ一续件奥一,。. 尸寸.9贝”“D一“c一Dc一g一鲁一誉.8﹂3 一一证明如图1,在△ABD中,由余弦定理塑DC一譬.故答案(E’正确·cosB=△刁BC中,eosB cZ+P之一ADZeZ+PZ一ADZ ZeP aZ+eZ一bZ一Zac al+eZ一b名 Ze户一Zae由于a二P十q,可解出 例2若CD为△月BC的内角C的平分线,则 )。 (A)CDZ相似文献   

数学单元自测题(六)

李、,口、、产、、户了、了.、、了f、一、判断魔1.句子“台湾是中华人民共和国不可分割的领土”是命题2.公理和定理都是真命题3.当a笋0时,(a+3)“=1 ~。54.(sa刁b一sa艺bz+4ab)令4ab=Za乙一于ab‘’、“一一-一一’‘一’-一-一4一5.a除以右,商q,余c,可以写成a=匆+c(其中a、b、q、c都是自然数,b护0,c相似文献   

角平分线与边的交点坐标及角平分线长的公式

在直角坐标系中,设三角形三项点坐标为A(x,,.月)、B(二刀.甘。)、C(二。,梦e),角.A、B、C对边长为a、b、c,/月BC的平分线月刀与BC交于D点,图1. be(b+e)2、:。。义b’+c’二a’+“b“+。2、一。e,/乙OC/由三角形内角平分线性质得久=代入线段定比分点公式,得BD_}姓B}DC一IAC!b劣,,+exe b+ebg介+e封e 吞十c(1) 若取A为原点,月B所在直线为%轴,图2,则B(e,o)、C(beosA,bsinA),交点D一均坐标可表示为一石叮’粼s月(2) 即月B·月C=ADZ+BD·DC. L例21△刀BC巾,如果BC、AC边上的角平分线BD二月E.则此三角形为等腰三角形. 这就是著…     

数学奥林匹克初中训练题(73)

第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 42分 )1.实数a、b满足ab =1,记M =11+a2 + 11+b2 ,N =a21+a2 + b21+b2 .则M、N的关系为 (　　 ) .(A)M >N　　　 (B)M =N(C)M 相似文献   

分角线的一个定理及其应用

一、定理 在△ABC中,已知a、b、c是角A、B、C所对的边,ta是角A的平分线的长。求证: 1/b+1/c=(2cos1/2A)/(ta) 证明:如图1,过D作AC和AB的平分线分别交AB和AC于E、F, 则(DE)/(CA)=(BD)/(BC); (DF)/(AB)=(CD)/(CB). (DE)/(CA)+(DF)/(AB)=(BD+CD)/(CB)=1.     

正七边形的一个定理

定理:设正七边形一边长为a,不相等的两条对角线的长为b、。,则1 1.1—=一;一十—.召口C-11:1—二二-;.~.1叨—a bC 〔证二〕在AC上取AH二AB,连BH,又作外接圆K,则cH二AC一AH二b一。(图二) 〔证一〕设ABCDEFG为一正七边形,从A引对角线AC、AD、AE,连CE.又作外接圆K。因正七边形同类的对角线是相等的,故AC=CE二乙,CD=DE=a,AD二AE二c。△BCH与△ACD中,立,~乙ACD=180 7︺尹一八U八U一-以以妇”一丹了一吕一衬二-.1l一11J.l一 一X o八j (图一) 因四边形ACD石内接于圆,据托勒米(Ptolemy)定理得姓D。CE二AC·DE +AE·C…     

初一(下)数学期末自测题

气乙褥尽L韶户曰口一/(满分:100分,时间:90分) 一、坡空题(每小题3分,共30分) 1.若。二十8y户‘一。是关于x、y的二元一次方程,则。一 ,。的取值范围是 2.计算:(m十2,)(二一2,)~,(从一Zn)(m一Zn)=,(m十Zn)(2附十n)一3.(一2)”火一如’十(一:)一,只(一2)一 乙 a1山︸勺曰4 .2召Zb又(~一10a3b多c,(一5a2b3)2+3b25一用科学记数法表示一。.00306应为乃B ‘.则乙。 7。 个如图1,直线AB、C刀、EF互相平行,+匕刀一乙y~如图2,图中小于平角的角共有E图l 8.如图3,AB// CD// PN,若乙ABC~50“,艺CPN~150。,则乙BCP一 A一尸尸气D AB互二自D…     

二次根式及平形四边形同步训练(配合人教版)

1.下列各式计算正确的是( A.丫3a.V石-二3aB. c .V磊石=叼D. ). 石·订洲;万=l 丫m(m一3)二、/丽·Vm一3 2.下列各式中属于最简二次根式的是(). A.认再r B.V不万c.丫万D.、/产石了 1下面给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是( A .AB// CD,AD=BC B.AB=C刀,AD=BC C .AB二AD,C召=CD D.乙B=乙C,乙A二乙D 4.计算:(3、/万+V万百)(V丽二4V丁卜 5.以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形,最多能作 ‘.计算:(;八/亘卿亘丁,(2)竺、仁吸(。>。,。>0). y 24x45X135 Zy夕丁b‘ 7.比较一6、厅与一7V了的大小. 8.m(a一1可…     

1984年第四期数学问题

1.已知正项等比数列的第k、m、叮lJi分别是a、、a”,、a。,求证:四边形月BCD面积的含。 (江苏响水县向日:‘{,学吕忠诚提) 3.设a布左:,(、一大:+玉双k〔/)b》。,求证:(51,,￡+se。““a))(尤+(S〔‘2乙+l、2‘’r’以)(cosZ乙a…‘ga*’ga·‘“a·}(河南鹤壁师范丁志兴提) 2.如图,乙、厂、‘、H分别是圆内接四边形Jl召CD件;一业月召、刀C、CD、DA上的点 (这些点不与顶点重合),连接石厂、F‘、Gl了、月主,求证:在△咬Elz、△B子产E、△CGF、△DHG中必有一个其面积不大 (四川江油件,学牟之森提) 4.已知内切于:·t么刁召C的椭圆的…     

习题—定理—习题

全日制十年制学校初中课本《数学》第五册第184页第18题是求证:在园内接四边形ABCD中,AB·CD+BC·AD=AC·BD(提示:设法在BD上取P点使AB·CD=AC·BP)。证明:从A引直线AP交BD于P, 使∠BAP=∠CAD又有∠ABP=∠ACD, ∴△ABP∽△ACP, 图1 ∵BP:DC=AB:AC, ∴AB·DC=AC·BP。……①又∵∠BAP=∠CAD, ∴∠BAC=∠PAD, 又∠ACB=∠ADP。∴△ABC∽△APD, 则 BC:PD=AC:AD, ∴AD·BC=AC·PD……②①+②得AB·CD+BC·AD =AC(BP+PD)=AC·BD。数学老师告诉我们,这是平面几何中一个相当重要的定理,叫做Ptolemy定理:“园内接四边形中,二条对角线所包距形面积等于一组对边所包距形面积与另一组对边所     

2006年江苏省高中数学联赛复赛加试试题

(满分150分,每题50分)1.已知四边形ABCD是圆内接四边形,直线AC,BD相交于P点,并且AADB=CCDB.设E为AC的中点.求证:EEBD=PPDB.2.设a,b,c为正数,记d为(a-b)2,(b-c)2,(c-a)2中的最小数.(1)求证:存在λ(0<λ<1),使得d≤λ(a2+b2+c2);(*)(2)求出使不等式(*)成立的最小正数λ并给予证明.3.已知n个四元集合A1,A2,…,An,每两个有且只有一个公共元,并且有Card(A1∪A2∪…∪An)=n,试求n的最大值.这里Card A为集合A中元素的个数.参考答案图11.由托勒密定理得AB×CD+AD×BC=AC×BD.因为AB×CD=AD×BC,AE=EC,所以有2AB×CD=2AE…     

2003年11月号“初二数学潜能系列知识竞赛(4)”答案

1。CZ。A3。C4。DS。B6一3 7.670 8.(2x+y一l)(x+3少+5)9.略10.2、11.延长BC到F,使C石七刀E,联结A厂在Rt△AC户、和Rt△召百刀中, AC=BE,C声’== DE, △AC声,哭△BED,A石’= BD,乙双刁C二乙B.又乙B十乙召月C=900,故乙声刀C+乙召八C二900,△刀月F为直角三角形.因为刀e+。君=2刀刀.故刀c+c作劲只即A凡工召厂 212.乙B=300. 。、b、c是△ABC的三边长,且a一bl+口6 b一e十、…万一 1咔.OC+二上卫 1十c。=0 a、b、e均为正数,且(a--b)(l+be)(l+ea)+(b一e)(l+ab)(l+ea)+(e一a)(1+ab)(l+be)=0. 而(a一b)(l+be)(l+ea)=a一b+aZc一bZ…     

数学分层优化设计(一)——北师大版内容:第四章 平面图形及其位置关系

A【夯实基础洲评〕一、选择题1.下面的说法错误的是()(A)直线AB和直线BA是同一条直线(B)射线AB和射线BA是同一条射线(C)线段AB和线段BA是同一条线段(功线段AB是直线AB的一部分2.手电筒发出的光线,给我们的形象是()(A)线段(B)直线(C)射线(D)折线3.如图1,AB=cD,可得AC与BD的大小关系是() A C BD 图1(A)AC>刀刀(B砂C乙2(B)乙l=乙2(C)乙l<乙2(D)不能确定5.下列说法中,正确的是()A.两条不相交的直线叫做平行线B一条直线的平行线只有一条C.若直线a//b,。//c…     

一道习题结论的证明与应用

习题如图1,设△ABC的边BC一二,CA一b,AB一c,:一合(。十”+·),内切圆。‘和BC、AC、AB分另“相切于点“、E、尸,求证:AE一AF一‘一a,BF一BD~‘一b,CD一CE一了一,?. (初中《几何》第三册第134页、 证丫01分别切BC、CA、AB于D、E、F,…BD一月F,cD一cE,AE一AF,设BD一x,C刀一y,AE一二,则},+巧y十(z十y一a,之一b,2了之=C.s一b,—亡,—“,其中 1,~万丁、a一卞O~卞C夕, 乙一一一一一一X yZ厂|,味|l 得 之 解图l iAE一AF一即IBF一方刀一 {CD一(了石-—口,一b, (,)式是一个很有用的结论,若记住并使用好此式可以给解题带来…     

黄冈市2003年高三年级考试题(理科)

第工卷(选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共印分,每小题只有一个答 案正确.)蒸挂从江复数(合·钊’的辐角主值为( B誓c.rrD晋2·已知sin·-cosa二告,且·。(o,7T),则8;n。+COS· A B CD9.函数f(x)=。3+(a一l)xZ+48(a一2)二+b的图 像关于原点中心对称,则f(x)(). A.在〔一4招,4乃」上为减函数 B.在〔一4招,4括」上为增函数的值为( 行八。一-二. 乙_行灯,下丁 ‘。行。1七土二丁U.土二二 名乙3.若aZ+62一2e2二o,则直线ax+妙+。==0被:2+ 尹二1所截得的弦长为().A .1 B.冬C.俘D.涯 乙乙4.等差数列{an}中,a,十a:十…十a幻二2加,甸;十a…     

高二数学期末自测题

一、选择题:(每题5分，满分40分). 1.若a、b、。为实数，则有:①“2~}“!2;②a+b一b+a;③a·(b+曰一a·b+a·乙一;④(a·l，)·c一‘之·(b·c).若上式中的a、b、。为空间向量，则仍然成立的等式有(). Al个;BZ个;C3个;D4个2.已知。、尹是平面，m、。是直线.下列命题中不平碑的是(). A若?，://n，。:土a，则n土a; B若扭刀a，an尸一二，则斑//川e若，，:土a，，，:土月，则a//月; D若。土a，。C尽，则a土月3.底面边长为1，高为2的正四棱柱外接球的表面积为(). A 27T;B4兀;CS兀;D6兀4.若正四面体的中心为点O，则O到一个面的距离与O到这…     

关于三角形面积比的定理及其应用

本文给出三角形与其内接三角形而积比的一个定理,并举例说明它的一些应用。 定理设D、E、F分别在△ABC的BC、推论2锐角△ABC,,(J三条高线分别文啥各边于D、E、F,则矛、AB边上,并且名召二‘1,入。,连接DE、万F、FD,妇① 502,:F S‘刁,。 于企论3D、E、F, S。,,:, S。刁,‘;=Zco“A·CO”B·eo、C③ △A刀C的内切圆分别切各边于则有 一一FBAF2(s一a)(s一b)(s一e) abc① +入·)(‘洛八1八S‘。。;_亏石品一(I一子一入证明如图一,连接CF,设+入,)(1+翻丝EA则51=S‘;。z,,52=S‘。,。,s。=S‘,;。于是有501,:r=S‘刁:e一(S;+…     

2005年北京市中学生数学竞赛(高一)

一、选择题(每小题5分,共25分)1.如果S={1,2,3,4,5},M={1,3,4},N={2,4,5},那么,(CSM)∩(CSN)等于().(A)(B){1,3}(C){4}(D){2,5}2.已知a、b都是整数.命题甲:a+b不是偶数,则a、b都不是偶数;命题乙:a+b不是偶数,则a、b不都是偶数.则().(A)甲真,乙假(B)甲假,乙真(C)甲真,乙真(D)甲假,乙假3.若c、d是不共线的两个非零平面向量,则下面给出的四组a、b中,不共线的一组是().(A)a=-2(c+d),b=2(c+d)(B)a=c-d,b=-2c+2d(C)a=4c-25d,b=c-110d(D)a=c+d,b=2c-2d4.对定义在区间[a,b]上的函数f(x),若存在常数c,对于任意的x1∈[a,b]有唯一的x2∈[a,b],…     

证明(一)综合测试题

(时间:45分钟;满分:100分)一、坡空压(每空3分,共39分) 1.如图1,直线。平行于直线b,则乙A二_. 2.在图2中,乙A 乙B十乙C 乙D 乙E=_·3.在图3中,乙召DC二1420,乙B二340,乙C=280,则乙A二月,呱去汉_入_三补\。_月比护‘于、Zr、、。_a《屯百/、;一-一.r一一—“了)气认_,‘沙、甲/D -~~‘二‘J.~.-b yB c图图1 !4.适合条件乙‘二乙B二告乙C的△‘B提三角形. 5.如图4,石// l;,AB土l:,垂足为O,BC与泛湘交于点乙若乙1二430,则乙2二_‘,如图5,AB// cD.乙卜乙2=500,则乙3二_. 7.命题“同位角相等,两直线平行”的条件是…