2013年高考甘肃卷理科21题分析

点评 本题是2013年高考甘肃卷理科最后一题,是压轴题,考查的是导数的应用,第1问用导数研究单调性和极值,多数学生能够解决,第2问用导数研究不等式（证明不等式恒成立）,看起来很平常,实际上却背景丰富,有一定难度和区分度,也有很大的研究空间．     

一道高学导数题的多角度思考

本题以曲线的切线为背景,考查导数的几何意义,用导数作工具研究函数的单调性,求函数最值以及不等式的证明,第（1）问较基础,相对容易,一般学生都能做出来,只需求出函数f（x）的导数,易得f（1）=2f’（1）=e,从而求出a=1,b=2．第（2）问难度较大,主要考察运用导数知识证明不等式的能力及学生的运算求解能力,是近年来高考压轴题的热点问题．笔者经过研究,从3个不同角度寻找解题思路,得出四种解法,下面谈谈笔者的思考,以期抛砖引玉。     

2013年江苏高考数学第20题研究

点评：本题是2013年江苏卷最后一题,是压轴题,考查的是导数的应用,第（1）问用导数研究学,调性和最值,学生很容易上手、难度不大,第（2）问用导数研究函数的零点个数（即方程根的个数）,题目结构简洁、表达流畅,看起来很平常,实际上却丰富多彩,有一定难度和区分度,也有很大的研究空间,我们重点研究第（2）问．     

利用导数解决函数的单调性问题

函数是高中数学的主线,是高考每年重点考查的内容之一.研究函数最有力的工具是导数,利用导数解决的函数问题主要有：（1）利用导数研究函数单调性、极值与最值问题;（2）以函数为载体的实际应用题;（3）函数、导数与不等式相结合.而第（2）种和第（3）种题型都可以转化为第（1）种题型.因此,     

深入剖析 多点突破——2023年新高考Ⅰ卷第22题解法探讨

<正>2023年新高考全国I卷第22题是一道解析几何题,考查了解析几何中的轨迹方程、抛物线、弦长公式、两点之间的的距离公式,以及函数中的导数、不等式证明等知识,有很强的综合性．本题第（1）问属常规求轨迹方程问题,比较简单;第（2）问对思维能力及计算能力要求很高,属于难题．本文从不同角度探究此题的解法,与大家共同分享．     

一道导数压轴题的多视角探究

<正>2021年新高考I卷第22题是一道导数压轴题,属于极值点偏移问题,主要考查运用导数研究函数的单调性,以导数为工具构造函数对不等式进行证明．考题的第(1)问是基础题,考生一般没有困难;第(2)问不等式证明是压轴题,对考生基本技能要求高,求解过程中转化难度较大、灵活性强．如果方法选择不当,答题时容易出现花费时间多、化简转化不到位、甚至无法完成解答．本文主要对第(2)问从不同视角给出几种常见的解法．     

高考数学综合性问题的求解策略

1 高考展望 1．1 考点回顾 2008年全国各地高考数学综合题以主干知识为支柱，注重知识的交叉点和结合点，尤其是在数列与不等式、数列与解析几何、向量与解析几何、函数与不等式、函数与导数、导数与不等式等知识中命题．全国各地的创新综合试题归纳起来有：构建新数域（譬如福建省数学高考文科试题第16题）；创设新变换（譬如北京市数学高考理科试题第22题）；     

函数与不等式的博弈——究竟谁主导谁？

1,引子 纵观湖北省近几年高考题的压轴题一般都是将不等式和函数问题相结合,其特点在于：第一问是求函数极值,第二问是利用第一问的结论,通过参量代换,证明一个局部不等式,第三问是利用第二问的局部不等式证明一个难度较大的不等式．利用参量代换（用换元法来“配”和“凑”相关的参量）来证明局部不等式的技巧性较强。     

2022年全国甲卷导数压轴题的解法探究

<正>一、试题再现已知函数f(x)=e^x/x-ln x+x-a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x₁,x₂，则x₁x₂<1．本题是2022年全国甲卷导数压轴题．第(1)问已知不等式求参数的取值范围，难度中等;第(2)问考查导数的应用，属于极值点偏移问题，难度偏难．     

等式的2种通法

利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有2种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明．下面就有关的2种通法用列举的方式归纳和总结．     

高考热点——导数的应用

根据近三年来全国及各省市高考题导数部分统计表可知，导数内容在高考中所占比例大约在10％左右．本章高考内容主要有：（1）导数的几何意义．（2）利用导数判断函数的单调性，极值及闭区间的最大值问题．（3）利用导数解决一些实际问题．而对理科来讲，解决含指数式和对数式的超越方程根的问题及不等式恒成立的问题，成为近几年高考新热点．现由几道好题，说明导数的应用．     

一道高考解析几何题的解法研究

2009年高考数学陕西卷理科第21题（文科第22题）是一道解析几何题,第（1）问是给分题,第（2）问难度较大,既考查学生对向量、定比分点、设点、引角、最值、导数、均值定理等基础知识的掌握程度,又对学生灵活解题的能力以及知识迁移的能力等都有较高的要求．     

研高考试题,揭命题方法——以2020年山东卷导数压轴题为例

一、考题展示题目(2020年新高考山东卷21题)已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点1,f(1)处切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求实数a的取值范围.答案:(1)2[]e-1;(2)a≥1.点评:本题是2020年新高考山东卷21题,第(1)问考查导数的几何意义,学生很容易上手,第(2)问考查用导数研究不等式恒成立问题,考查综合分析求解能力,分类讨论思想和等价转化思想,有一定难度和区分度.本题结构简洁、表达流畅、静中有动、平中见奇、入口较宽,解法多样,有内涵、有思想、有新意,令人回味无穷,极具教学价值和研究价值.本文重点研究第(2)问.     

从归纳猜想到试题设计——记一道函数压轴题的设计历程

导数下放到高中数学后,我们经常在各类数学杂志上见到不等式： 当x〉-1时,有x/1＋x≤1n（1＋x）≤x． 文[1]对该不等式进行了加强,得到了下列不等式： 当-1〈x〈0时,有1n（1＋x）〈x/1＋1/2x;当x〉0时,有ln（1＋x）〉x/1＋1/2x.     

谈导数在不等式问题中的应用

导数是我们解决有关函数问题的有力工具．导数与函数的最（极）值问题、函数的单调性问题联系比较紧密．是较多知识点的交汇处,甚至在数列证明、不等式证明（恒成立）问题中都有着比较重要的位置．尤其在解决不等式的问题中．若能及时构造出适当的函数．再利用导数的方法研究函数．最后得到所要结论．更会有事半功倍之功效。     

巧用均值不等式求最值

文[1]用向量和导数求最值,读后受益匪浅．感觉构造向量和求方程f′（x）=0的根是难点,学生不易把握．均值不等式是高中数学必修内容,是数学中最重要的基本不等式之一,也是人们最为熟悉的不等式．在求最值方面,均值不等式的工具作用应引起师生足够重视．下面用均值不等式结合待定系数法或分母换元解文[1]中的几个例题．     

巧用不等式解压轴题

在人教教材中有一个不等式ex>1+x（x≠0）,利用这个不等式及其变形可以证明不等式或恒成立问题,比直接用导数求解要简单,而且可以避免复杂的求导运算。
　　原形：ex≥1+x当且仅当x=0时,等号成立;
　　变形：ln（x+1）≤x（x>-1）当且仅当x=0时,等号成立;用导数证明很容易,过程略。     

多视角探究一道模拟导数题的解法

<正>一、题目呈现(2022年山东数学模拟试题)已知函数f(x)=ae^x-1-lnx+lna,(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的范围．二、总体分析本题第(1)问考查导数的几何意义,属于常规题．第(2)问则是利用导数研究不等式恒成立问题,求参数的范围．此问可以多视角解答,涉及隐零点、同构法、切线放缩、分类讨论、反函数法等多种策略．特分享于此,以飨读者．     

初等数学里的微积分

1．从一个不等式里看出导数 如果两个实数u〈v，则立刻有2u〈u＋v〈2v． 这和导数有何关系？ 把上面的不等式写成     

一道调研题的运算思维三层次

题目（武汉市四月研究题第21题）已知函数f（x）=xlnx/x-1-21n（1＋√x）．（1）求函数f（x）的定义域;（2）求函数f（x）的单调区间;（3）问是否存在实数a,使得不等式f（x）〉a恒成立,若存在,求实数a的取值范围,否则说明理由．