"两角和与差的正切"课堂实录及片段点评

[本课选自人教版义务教育课程标准教材《代数》(必修)九年级下册.] 师:前面我们学习了两角和与差的正、余弦公式,请大家回忆有关公式(学生口答,教师板书公式).sin(α±β)与cos(α±β)是讨论复角α±β与单角α、β的正、余弦函数间的关系,且此关系对任意角α、β均成立.今天我们要讨论tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系.大家想想,能用tanα、tan β来表示tan(α±β)吗?     

关于新编高中代数第一册第五章公式的证明和推导

“两角和与差的三角函数”一章的公式较多。关于这些公式的证明和推导,新编课本首先证明了两角和的余弦公式 cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ。在证明这个公式的过程中,运用了直角坐标系、单位圆,并作出任意角α、β、-β(图1),这样就可得到各角的始边、终边与圆O的交点P_1、P_2、P_3、P_4的坐标:     

三角变换的几种途径

三角变换是体现化归思想方法、培养逻辑推理能力的重要内容,是处理许多数学问题和实际应用问题的工具.正确的进行三角变换,不仅要求对教材中的公式有准确的理解,要求能够根据不同的变换目的,对公式进行合理地选择,还要求有一定的观察、运算和分析、综合的能力.下面举例说明进行三角变换的基本途径.一、角的变换在三角变换中,常常涉及到许多相异的角,变角就是从题设条件和结论中寻找一个变形的目标,将其余的角都向这个目标转化,其转化的途径是确立角之间的和、差、倍、半、互补、互余等之间的运算关系或运算结果,合理选择公式.例1.已知2cos(2α β) 3cosβ=0,求tan(α β)tanα的值.分析:观察角度,发现已知式与欲求式中的角存在联系:2α β=(α β) α,而β=(α β)-α,据此,可考虑对已知式运用和、差角公式展开.解:已知即.2cos[(α β) α] 3cos[(α β)-α]=0,即2cos(α β)cosα-2sin(α β)sinα 3[cos(α β)cosα sin(α β)sinα]=0∴5cos(α β)cosα=-sin(α β)sinα,即.tan(α β)tanα=-5二、函数名称的变换当所...     

“两角和与差的正切”课堂实录及片段点评

[本课选自人教版义务教育课程标准教材《代数》(必修)九年级下册.]师:前面我们学习了两角和与差的正、余弦公式,请大家回忆有关公式(学生口答,教师板书公式).sin(α±β)与cos(α±β)是讨论复角α±β与单角α、β的正、     

关于多个角的正弦和与余弦和化积的几个命题

关于两个三角函数的和、差化积,已有公式直接应用。对于常用的正弦函数或余弦函数的三项和或四项和化积,虽然没有固定公式,但在某些特殊情况下,仍有规律可循。本文给出正弦函数与余弦函数三项和与四项和化积的一些充分条件,使得我们易于找出第一次用二项和化积公式后,有公因式可提,从而便于进一步把三角函数的和、差化成积的形式。命题1 若 1/2(α±β)=γ,则cosα cosβ cosγ必能化成积。证明设 1/2(α β)=γ,则 cosα cosβ cosγ=2cos1/2(α β)cos1/2(α-β) cosγ     

例说处理和(差)角范围问题的几点做法

在三角解题中经常遇到确定和(差)角范围的问题,学生常因确定和(差)角范围的偏差导致解题失误.本文举例说明这类问题的处理方法.一、合理选用公式来确定例1已知α,β均为锐角,sinα=55,sinβ=1010,求α β的值.解析:由已知条件有cosα=255,cosβ=31010,且0<α β<π.又cos(α β     

教学《两角和与差的三角函数》的一些做法

《两角和与差的三角函数》一章教材的特点是公式多、系统性强、题目多、方法灵活。传统教法是按教材的先后顺序将所有公式一一传授,我们从实践中体会到这样教不利于突出公式之间的内在联系,在学生头脑中难以形成一个整体观念,也不利于能力的培养和提高。根据本章教材的特点以及学生的学习情况,我们认为《两角和与差的三角函数》采用“单元教学法”是有益的,也是可行的。我在本章实施的“单元教学法”概括起来是八个字:“整章齐下,纵横结合”。具体地说,是将教学的全过程分为两大步进行: 一“纵向教学”。在用坐标法证得cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ的基础上,让学生在教师指点下,推导出全部和、差、倍、半、和积互化公     

两角和与差的正余弦公式的几何解释

两角和与两角差的正弦与余弦的公式有如下四个： sin（α＋β）=sinαcosβ＋cosαsinaβ （Sα＋β） （1）     

一道试题变式教学的“课堂意外”

这是一堂关于“两角和与差的正余弦”习题课.学生的《课时作业》中有这样一道选择题:已知α∈(0,π/2),β∈(0,π/2),且sinα=5/13,cos(α+β)=-4/5,则sinβ的值为().A.33/65B.16/65C.56/65D.63/65应当说这是一道在角的变换背景下,考查两角和与差的正余弦公式的常规试题,而且两个角都是锐角,通过cos(α+β)=-4/5得到sin(α+β)=3/5,通过sinα=5/13得到cosα=12/13都是很容易理解的,因此由sinβ=sin(α+β-α)=sin(α+5β)cosα-cos(α+β)sinα就可以计算出sinβ的值为56/65,故选C.     

两角差的余弦公式的几种证明方法

三角函数是重要的初等函数,在高中数学中占有重要地位.三角函数公式是研究三角函数的前提,而两角差的余弦公式是推导所有三角函数和与差公式的基础.在文献[1]中利用群的表示和复数理论证明了两角差的余弦公式,本文又给出了这个公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的3种证明方法.     

2002年普高统招(北京卷)数学(理)试题

参考公式:三角函数的积化和差公式 sinαcosβ=1/2[sin(α β) sin(α-β)] cosαsinβ=1/2[sin(α β)-sin(α-β)] cosαcosβ=1/2[cos(α β) cos(α-β)] sinαsinβ=-1/2[cos(α β)-cos(α-β)] 正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=1/2(c’ c)l.其中c’、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球=4/3πR3.其中R表示球的半径     

一个三角恒等式的一个应用

恒等式sin(α β)cos(α-β),=sinαcosα sinβcosβ=(1/2)(sin2α sin2β)揭示了正余弦的积与和差之间的密切联系,现举例说明它的应用.     

巧用数形结合,也会解决大问题

<正>一、三角函数中的数形结合三角函数本身就是一个有关角度的函数,因而本身与图像密切相关,在三角函数公式的证明以及最值和取值范围的求解中都有应用。例1(2010·四川)(1)证明两角和的余弦公式C_(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinα·sinβ。解析:如图1所示,在直角坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,     

巧用公式联系 增强实用效果

数学公式的记忆和应用,是学习和应用数学知识的一个重要环节。如何采用科学方法,达到理想的效果,是一个重要问题。本文谈一下三角公式中的和差化积与积化和差公式的应用方法。 在三角函数的加法定理及其推论中,有一组基本公式,即 sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ (1) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ (2) cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ (3) cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ (4)在这四个公式的基础上,便能推出一组二倍     

转化思想在三角函数求值中的应用

转化思想是把未知的问题转化到已有知识范畴解决问题的一种重要思想方法.数学问题的解决就是将要解决的问题转化为已经解决的问题.在三角函数求值中体现得更为突出,主要表现为以下几个方面.下面举例加以说明.一、角的转化一把结论中的角转化为已知条件中的角求解,以达到求三角函数值的目的例1(高中数学教材高一下,P4211题)已知cos(α-β)=-54,cos(α β)=54且α-β∈(π2,π),α β∈(32π,2π),求cos2α,cos2β的值.分析:要求cos2α,cos2β的值,首先要建立2α,2β与α-β,α β之间的转化,即为2α=(α β) (α-β),2β=(α β)-(α-β).所…     

由和角公式(C_(α β))推导诱导公式

本文由余弦的和角公式 C_(α β)出发来推导诱导公式.从而提供了三角教材另一种可能的编排顺序,为此先求角-α与角α间的三角函数关系.设 PP′⊥x 轴与α、α的终边相交于 P(x,y),P′(x′,y′).那末,x′=x,y′=-y,r′=r,由此,sin(?α)=(y′)/(r′)=(-y)/r=-sinα;cos(-α)=(x′)/r=x/r=cosα;     

为什么先有cos(α+β)?——几种cos(α+β)公式的教学设计之比较

"两角和与差的三角函数"是"三角函数"一章中的一个重要内容,是三角变换的主要工具,它有一套完整的公式链,而这一公式链的始祖就是cos(α+β).正因为如此,cos(α+β)公式的推导一课的教学,正好让我们挖掘教材,让学生了解知识的发生、发展过程,并在学习中感悟数学经典,学会学习、学会研究.     

“sin~2α cos~2α=1”在解题中的转化功能

高中数学新教材,对三角函数的教学要求与传统教材比较有很大的变化,删除了能用基本公式推出的多个公式,但对应用基本公式解决问题的能力提高了要求.本文从几个方面例谈公式“sin2a cos2α=1”的转化功能,以期引起重视.1 利用该公式构造转化构造转化即利用“sin2α cos2α=1”中量与量之间的关系构造出新函数,进行解题.例1 锐角α,β满足(sin4α)/(cos2β) (cos4α)/(sin2β)=1.求证:α β=π/2.证明由已知可设(sin2α)/(cosβ)=(cosθ),(cos2α)/(sinβ)=sinθ     

两角和差余弦公式的推导及其教学

两角和与差的余弦公式(Cα±β)是推导和、差、倍、半角三角函数公式及积化和差、和差化积等公式的基础,这一内容是整个三角函数教学的重点.这个公式的推导对学生来说是有一定难度的,教学中必须设法引导学生分析、思考、解决问题.在公式推导中,一是要用到把角α的三角函数表示α的终边与单位圆的交点坐标,这一概念看似简单,其实它是三角函数定义的逆用,学生不易发觉.因此在导出公式Cα±β之前要先复习.二是为什么要构造α,β,α β,-β角?课本中-β的引入似乎有点突然.从建构主义观点看,学习应是学生的一种能动建构过程,因此我尝试先引出…     

数学教学如何调动学生的主观能动性

在数学教学中，如何培养学生对所学内容的兴趣，如何提高学生学习的主动性、积极性？我认为应最大限度地调动学生学习的主观能动性。下面就以三角函数“加法定理及其推论”这一章的“正弦与余弦的加法定理”为例，谈谈在教学中如何调动学生学习的主观能动性。在这一章中的两角和与差的正弦及余弦公式、倍角与半角公式、积化和差与和差化积公式，都是三角里进行变换的重要公式，学生应会推导并牢固记忆、熟练应用。而这些公式的推导基础是“加法定理”。所以，讲授好“两角差的余弦”是本章的关键。备课时教师应考虑三点：第一，cos（α－β…