积分中值定理反问题的讨论

在一般教科书中积分中值定理都叙述为:设f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则存在ξ∈[a,b),使得 (integral from n=a to b)f(x)g(x)dx=f(ξ)(integral from n=a to b)g(x)dx。杨新民在[1]中提出了相反的问题:若f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,对[a,b)内每一点ξ能否找到c,d∈(a,b),满足c<ξ相似文献   

微积分基本定理浅谈

微积分基本定理通常叙述为: 若f(x)在[a,b]上连续,则 〈1〉Φ(x)=integral from n=a to x(f(x)dx)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,即Φ’(x)=f(x)x∈[a,b]; 〈2〉若F(x)是f(x)在[a,b]上的任一原函数,则 integral from n=a to b(f(x)dx=F(b)-F(a)) (称为牛顿—菜布尼兹公式) 此定理就其对微积分的重要性来讲,称之为基本     

关于定积分单调性的综合论述

在定积分中,有这样一条性质 定理 若函数f(x)在区间[a,b]上可积,且任取x∈[a,b],有f(x)≥0,则 integral from n=a to bf(x)dx≥0 它称为定积分的单调性。 该性质的条件中f(x)≥0可能有以下情况发生1°x∈[a,b],f(x)=0;2°Ex∈[a,b]使f(x)=0,同时Ex∈[a,b]使f(x)>0;3°x∈[a,b],f(x)>0。     

黎曼引理的推广及应用

黎曼(Riemann)引理是人们较为熟知的一个命题,本文拟将该命题给予推广,推广后的命题,应用于解决一些特型的定积分的极限问题非常便利。 1°Riemann引理及推广命题 Riemann引理 设函数f(x)在[a,b]上可积并绝对可积,则 (?)integral from n=a to b(f(x)sin(nx)dx)=0。 推广命题1 设函数f(x)在[a,b]上可积并绝对可积,则 (?)integral from n=a to b(f(x)sin~2(nx)dx)=1/2integral from n=a go b(f(x)dx),     

一个定积分性质的探讨

本文对《高等数学》中,积分不等式integral from n=a to b(f(x)dx)≤integral from n=a to b(g(x)dx)≤(f(x)≤g(x))的等号取舍作以讨论。     

定积分中值定理的一个推广

函数f(x)(?)(x)和g(x)(?)(x)分别在[a,b]上连续,在(a,b)内(?)(x)≠0则必存在一点ξ∈(a,b)使得g(ξ)integral from n=1 to ab f(x)(?)(x)dx=f(ξ)integral from n=1 to b(a)g(x)(?)(x)dx成立.这个结论对于多个函数对f_i(x)(?)(x),i=1,2,…,2n也成立.     

微积分基本定理的一种推广

本文利用微积分学的理论证明了如下结论:设f(x)在[a,b]上黎曼可积,函数g(x)在[a,b]上满足李普希兹条件,且几乎处处有g(x)=f(x),则integral from n=1 to ∞(f(x)dx)=g(b)-g(a)。     

论△[f(x)]=∫integral from n=a to b f(x)dx-[c_1f(x_1)+……+c_nf_n(X_n)]。

本文的内容在討論函數f(x)的定積分integral from n=a to b f(x)dx与其代真值 c_1f(x_1)+………+c_nf(x_n)之间的差值△[f(X)]=integral from n=a to b f(x)dx-[c_1f(x_1)+……+c_nf(x_n)].a≤x_1<……相似文献   

积分中值定理的推广

积分中值定理在一般的《数学分析》教材中是这样叙述的：当f(x)在[a,b]上连续时，有baf(x)dx=f(ξ）（b-1)，其中ξ∈[a,b}本将对该结论做一点推广，即当f(x)在[a,b]上连续时，有baf(x)dx=f(ξ）（b-a)，其中g∈（a,b)。     

关于定积分第一中值定理的一个证明

一般数学分析课本上对定积分的第一中值定理是这样叙述的:定理1 若函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则在[a,b]上存在一点ξ使得而这个定理在(1)中却是这样叙述的:定理2 若函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则在开区间(a,b)内存在一点ξ,使     

微积分中值定理的反问题

本文考虑了微分中值定理及积分中值定理的反问题,证明了下述结果:定理1 设函数f(x)及g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导.且对任意ξ∈(a,b).g′(ξ)>0,F(x)=F(x)-F(ξ)/g(x)-g(ξ)为x的严格增函数(除ξ点外)。那么存在x_1,x_2∈(a,b),x_1<ξ相似文献   

利用对称性计算重积分的讨论

我们知道,对于对称区间[-a,a]上的定积分Ⅰ=integral form n=(-a) to a(f(x)dx),若f(x)为奇函数,则I=0;若f(x)为偶函数,则I=2 integral form n=0 to a(f(x)dx),这个结论对于某些定积分的计算是比较方便的。 关于坐标轴或坐标面对称区域上的重积分有与上面类似的性质,它对某些重积分的计算,也是方便的。这些性质是: 定理一 对于I=,若D关于y轴对称,记对称的两部分区域为     

广义积分教学的一个问题

在广义积分教学中,同学们常常有一种误解,认为收敛广义积分integral from n=a to +∞(f(x)dx)中的f(x),一定是趋于0(x→+∞)的。换句话说:f(x)—→0(x→+∞)是广义积分integral from n=a to +∞f(x)dx收敛的必要条件。这种误解的出现是十分自然的,因为若integral fron n=a to +∞     

Riemann-Stieltjes积分第一积分中值定理的改进

书〔1〕中证明了下面的R-S积分第一中值定理(参见书〔1〕,第191页命题27)。以后提到积分都是指Riemann-Stietjes积分。定理1 (第一积分中值定理)若在〔a,b〕上f连续,a单词增加,则存在点x,使 a≤X≤b, integral from n=a to b f(t)da(t)=f(x)〔a(b)-a(a)〕。本章(书〔1〕中的第三章)后面的练习题38指出,若定理1中a是严格单调增加函数,就有x∈(a,b),即定理1可改进为:     

无穷积分被积函数的极限问题

目的:讨论无穷积分integral from n=a to ( ∞)f(x)dx的被积函数f(x)当x→ ∞时的极限情况.方法:利用函数f(x)在[a, ∞)上一致连续的一些性质和结论.结果:给出了无穷积分integral from n=a to ( ∞)f(x)dx的被积函数极限lim/(x→ ∞)f(x)=0的一些条件及其证明.结论:无穷积分integral from n=a to ( ∞)f(x)dx收敛时被积函数极限xli→m ∞f(x)=0必须附加一定的条件下才能成立,这与数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的.     

关于无界函数广义积分integralfromn=atob(f(x)dx(a为奇点))的两个性质

由无穷限广义积分和无界函数的广义积分的关系,得出了无界函数的广义积分integral from n=a to b (f(x)dx(a为奇点))收敛的两个性质。     

关于无穷积分收敛的必要条件

我们知道,无穷积分(积分区间是无穷区间的积分)收敛性方面的理论,几乎是和无穷级数的相应理论互相平行的。这是因为无穷积分和无穷级数有着紧密的联系:一方面,对于给定的函数f(x),有integral from n=0 to+∞(f(x)dx)=sum from n=0 to+∞[integral from n=n to n+1(f(x)dx)]=sum fron n=0 to+∞(u_n).(1)其中u_n=integral from n=n to n+1(f(x)dx)(n=0,1,2,…);另一方面,给定级数sum from n=0 to+∞(u_n),我们可以造一个国数f(x)=u_n,n≤x相似文献   

历届《高等数学》(二)考点分析及应试方法(下)

考点四　积分1 .积分的性质( 1 ) ∫[f ( x)± g( x) ]dx =∫f( x) dx±∫g( x) dx(定积分与不定积分有相同性质 )( 2 ) ∫kf ( x) dx =k∫f( x) dx(定积分与不定积分有相同性质 )( 3) ( ∫f ( x) dx)′=f ( x)( 4 ) ∫f′( x) dx =f ( x) + c( 5 ) ∫aaf ( x) dx =0( 6) ∫baf ( x) =- ∫abf ( x) dx( 7)若 a 相似文献   

关于辛卜生公式

定积分近似计算的辛卜生法(也称抛物线法)是一种很好的方法。这一方法的原理和公式都较简明,但其最终公式为 S=integral from n=a to b f(x)dx ≈h/3(y_1+4y_2+2y_3+4y_4+2y_5++…+4y_(n-1)+y_n) (1)式中h的步长 h=(b-a)/(n-1) (1)式存在如下两个问题。第一,积分区间[a,b]必须含有偶数个小     

三元奇偶函数在对称区域上的积分

<正> 如所周知,在微积分教材中,只对一元奇偶函数在对称区间上的积分,证明了有下述结论:若integral form -a to a(f(x))dx存在,则integral form -a to a(f(x))dx=(0,当f(-x)=-f(x);2(integral form 0 to 0(f(x))dx) 当f(-x)=-f(x)。) 利用这两个结果,对于一元奇偶函数在对称区间上的积分的计算会带来很大的方便。因此,我们自然会想到,对于二元、三元奇偶函数在对称区域上的积分,是否也有类似的性质呢?这在微积分教材中未作过系统的论述。不过,在文[注]中已对二元奇偶函数在对称区