巧用基本图形解题

在几何中,基本图形是较复杂图形的基础,抓住一些基本图形的特性,许多几何问题常可迎刃而解,现举一例说明.如图1,线段AB、CD相交于点P,则∠A+∠D=∠B+∠C.这是一个很有用的基本图形,由于这两个三角形有一个角是对顶角,因此我们常称它为对顶三角形.其性质(图1中∠A+∠D=∠B+∠C)很容易得到.应用这一基本图形及其性质可以巧解许多问题.一、寻找基本图形解题例1如图2,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.解:显然∠A+∠B=∠2+∠3,∠C+∠D=∠1+∠2,∠E+∠F=∠1+∠3,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.二、构…     

“三角形内角和”的应用(初二)

“三角形三个内角的和等于180°”,这是大家熟悉的一个定理.本文举七则中考题说明它的应用. 例1 △ABC中,∠A=∠B ∠C,则∠A=____度. 解因为∠A ∠B ∠C=180°,又∠A=∠B ∠C,所以∠A ∠A=180°,即∠A=90°.例2 如图1,∠1 ∠2     

巧构全等三角形证题例说

1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。　　求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC…     

第五章《相交线与平行线》测试题（课标人教版）

一、精心选一选(每小题3分,共36分)1.下列关于对顶角的说法,正确的是()A.有公共顶点并且相等的两个角B.有公共顶点的两个角C.角的两边互为反向延长线的两个角D.两直线相交所成的两个角2.如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,且AB⊥CD,垂足为点O,若∠BOE=70°,则∠DOF的度数()A.10°B.20°C.30°D.70°3.如图2,已知点O为直线AB上一点,∠BOD=∠COE=90°,则下列各式错误的是()A.∠AOC=∠DOE B.∠COD=∠BOEC.∠AOD=∠BOD D.∠BOE=∠AOC4.如图3,直线a、b都与直线c相交,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4 ∠7=180°;∠…     

一道中考试题的解法探究

2011年江苏省苏州市中考数学试题中的第26题题目简单,但设计别具匠心,思路开阔,解法灵活,方法颇多,给学生以广阔的自主探究空间.题目:如图1,已知AB是⊙O的弦,∠B=30°,C是弦AB上的任意一点(不与点A,B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.当∠D=20°时,求∠BOD的度数.探究1:如图1,因为∠BOD=∠OCB+∠B,∠OCB=∠A+∠D,所以∠BOD=∠A+∠D+∠B,即∠BOD=∠A     

三角形全等在几何推理中的应用

三角形全等的判定在几何推理中应用十分广泛,是一个不容忽视的知识点。 一、选择正确的方法,判定两个三角形全等 例1.如图1,O是AB中点,∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗?为什么? 分析:已知O是AB的中点,所以,OA=OB,又有∠A=∠B,但两个条件不足以证明△AOC与△BOD是否全等,要注意结合图形发现隐含条件,即对     

由一个基本图形导出的重要结论

初中《几何》中有这样一个基本图形:如图1,D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于点F.由这个基本图形我们可以得到这样的结论:∠BFC=∠B ∠A ∠C.证明这一结论成立的方法很多,现给出两种常见方法:方法一:连结AF并延长到M,则有∠BFM=∠B ∠BAM,∠CFM=∠C ∠CAM,∴∠BFC=∠BFM ∠CFM=∠B ∠BAC ∠C.方法二:由∠BFC=∠B ∠BDC,∠BDC=∠A ∠C,有∠BFC=∠B ∠A ∠C.图1及上述结论在解题中有着广泛的应用.现举几例说明.例1如图2,求∠A ∠B ∠C ∠D ∠E的度数.解:如图2,设BD与CE交于点F,由本文中基本图形导出的结论…     

中考试题中的三角板与量角器

DACO BDACBDACBE2314D CABECA BE一、叠拼型例1:如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOB ∠DOC的值().A.小于180°或等于180°B.等于180°C.大于180°D.大于180°或等于180°解:∠AOB ∠DOC=∠AOC ∠COB ∠DOC∠AOC ∠DOB=90° 90°=180°故选B.例2:将一副三角尺如图摆放在一起,连结AD,试求∠ADB的余切值.分析:本题实质上是根据解直角三角形的知识,解决求三角形边、角的问题.既考查了同学们从三角板的边角关系中观察、分析数量关系的能力,又考查了同学们几何建模的能力.解:过点A作DB的垂线交…     

七(上)数学寒假自测题(二)

(45分钟　满分 1 0 0分 )一、选择题 (每小题 4分 ,共 1 6分 )1 .若a是有理数 ,则｜a｜+1 一定 (　　 ) .(A)大于 1　　 (B)小于 1　　 (C)不等于 1　　 (D)不小于 12 .若 ｜a｜=2 ,｜b｜=3 ,且a >b,则a+b =(　　 ) .(A) -1或 -5　　　　　　　　 (B) -1(C) -5　　　　　　　　 (D)以上答案都不对3 .用一个平面去截一个正方体 ,不可能出现的截面是 (　　 ) .4.如图 1 ,以下判断 :( 1 )若∠AOC =∠BOD ,则OC ,OB分别是∠BOD和∠AOC的平分线 ;( 2 )若∠AOB =∠COD ,则∠AOC =∠BOD ;( 3 )若∠AOB =12 ∠AOC ,且∠AOB =13 ∠…     

有关三角形问题的方程解法

与三角形有关的一些计算问题是学习“三角形”知识的重要组成部分,解决这类问题的方法虽因题而异,但适合利用列方程(组)来求解的有不少,现从以下几个方面举例说明:一、求角的度数D=A例C1,AD已=知B△DA,B求C∠中B A,ACB的=度A数C,.D是BC上的点,且C图1分析此题中一个角的度数都不知道,又要求出某个角的度数,因此要利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质,转化出某一角的关系式.为便于列式,将某个角的度数设为未知数.解设∠B=x,则由AD=BD得∠BAD=∠B=x,同理可得∠C=x,∠CAD=∠CDA=2x,∴2x+2x+x=180°,∴x=36°,∴∠BAC=2x+x=1…     

问题2．10参考答案

图1如图1,连结CD,将△ACD以D为旋转中心顺时针旋转60°到△BC′D,连接CC′则∠C′DB=∠CDA,CD=C′D,BC′=AC=b,∴∠C′DC=∠BDA=60°.∴△CDC′是等边三角形,∴CC′=CD.∴在△CBC′中,CC′≤CB+C′B=a+b.∴CD≤a+b.当C′,B,C在同一条直线上时,CD取最大值a+b.这时∠DBC′+∠DBC=180°.又∠D B C′=∠D A C,∠D B A=∠DAB=60°,∠BCA+∠CBA+∠CAB=180°,∴∠DAC+∠DBC=180°,∴∠CBA+∠CAB=60°,∴∠ACB=120°.故当∠ACB为120°时,CD取最大值,最大值为a+b.问题2.10参考答案…     

构造辅助圆解题

在解几何与代数的综合题时,有时遇到一些用常规方法较难解决的问题.这时,我们可以构造辅助圆来使问题转化,从而简捷地解决问题. 例1(2015年威海卷)如图1,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠ BDC,∠BA C=44°,则∠CAD的度数为() A.68°.B.88°.C.90°.D.112°. 解:如图1,∵AB=AC=AD, ∴点B、C、D在以点A为圆心,以AB为半径的圆上, ∵∠CBD=2∠ BDC,∠BA C=2∠BDC,∠CAD=2∠ CBD, ∴ ∠ CBD=∠ BA C, ∴ ∠ CAD=2∠BAC,而 ∠BAC=44° ∴ ∠ CAD=88°.选B.     

三角形的一个边比定理及其应用

相似三角形对应边成比例,这是众所周知的事实。本文将给出一种不相似三角形的对应边比例关系,以及这种三角形在平几证题中的一些应用。定理一双角对应相等,另一双角互补的两个三角形,其第三双角的夹边对应成比例。如图1,∠B=∠B',∠C ∠C'=180°,下面证明:(AB)/(A'B')=(AC)/(A'C')。不妨假设∠A<∠A'(图1),这时可在B'C'上取D,使∠B'A'D=∠BAC,又已知∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'D,     

“对顶三角形”性质的妙用

<正>如图1,在△AOB和△COD中,两个角∠AOB和∠COD是对顶角,此时称这两个三角形△AOB和△COD为对顶三角形.由三角形的内角和定理很容易得到对顶三角形具有下面的性质:∠A+∠B=∠C+∠D.许多几何问题中都存在着对顶三角形,或添加适当的辅助线后可以构成对顶三角形.此时若能巧妙利用对顶三角形的性质,往     

从多个角度考虑

在数学课上,杨老师出了一个练习题.例1如图1,已知∠B=∠C=30°,∠A=40°,求∠D(图1中所示的钝角)的度数.小毛第一个举手发言:“连结B、C,如图2.因为△ABC的内角和为180°,所以∠DBC+∠DCB=180°-30°×2-40°=80°;又因为△DBC的内角和为180°,所以∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-80°=100°”.杨老师微笑着点了点头,表示赞同,又问:“还有什么解法?”聪明的小倪举手.“延长BD交AC于E,如图3,因为∠BDC=∠C+∠CED,∠CED=∠A+∠B,所以∠D=∠C+∠A+∠B=100°”.小倪答完,同学们不禁鼓掌,杨老师摸着下巴不住地点头小侯在旁边不…     

对顶三角形的性质及应用

如图1,△OAB和△OCD中∠AOB和∠COD是对顶角,这样的两个三角形叫对顶三角形.根据三角形内角和定理可得:对顶三角形两底角的和相等.即∠A+∠B=∠C+∠D. 这个性质在某些特殊图形角的求和问题中十分有用.解题时,只要通过添加     

解梯形题的“金钥匙”——变换法

处理平面几何中的梯形问题,若利用几何变换,把梯形问题转化为三角形问题和平行四边形问题,会使问题更简捷.现举例说明.一、平移变换1.平移一腰:即从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.例1如图1,在梯形A BCD中,A B∥D C,∠C ∠D=270°,A D=8,BC=6,A B=3D C.求梯形的面积.解:如图1,将B C沿CD方向平移到M D,可得荀M BCD,则M D=BC=6,∠A D M=270°-∠C-∠CD M=270°-(∠C ∠CD M)=270°-180°=90°.所以A M=A D2 M D2姨=10.因为D C=13AB=12A M=5,所以A B=15.过点D作D N⊥AB于N,则D …     

关于等腰三角形、直角三角形的一组变式解析

例1 如图1,AB=AC,∠C=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数. 解:因为AB=AC, 所以∠ABC=∠C, 设∠A=x,则∠ABC=∠C=2x. 由三角形内角和定理: x+2x+2x=180. 解得x=36°,     

错在哪里

1.广西贺县黄田松树冈中学黄健有来稿(邮编;542807)题 在△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边,且∠C=2∠B,试证:C~2=b(a b).证明∵∠C=2∠B,∴∠A ∠B ∠C=∠A 3∠B=180°,∠A=∠180°-3∠B,∴sin∠=sin(180°-3∠B)=sin3∠B,从而有,∠A=3∠B.由此可得∠A=90°,∠B=30°,∠C=60“,∴a=2b.由勾股定理得 c~2=a~2-b~2=(a b)(a-b))=(a b)(2b—b)=b(a b).     

折纸问题与中考试题

例1如图1,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变郾请试着找一找这个规律,你发现的规律是()郾(A)∠A=∠1+∠2(B)2∠A=∠1+∠2(C)3∠A=∠1+∠2摇摇(D)3∠A=2(∠1+∠2)(2003年北京市海淀区中考题)解延长BE、CD交于A',则∠A'=∠A郾在四边形ADA'E中,∠A+∠ADA'+∠A'+∠A'EA=360°.又∠2+∠ADA'=180°,∠A'EA+∠1=180°,∴∠2+∠ADA'+∠A'EA+∠1=360°郾∴∠A+∠A'=∠1+∠2,即摇2∠A=∠1+∠2郾故选(B)郾评析将任意三角形纸片轻轻一折,却折出了相关角与角之间的规律郾…