无解的无理方程

有些无理方程，无需作出解答，可根据题目本身特点及有关性质，直接判断出解的情况，简捷而新颖．举例如下．一、根据算术根的概念判断例１解方程（１）２x２－３x＋２√＋２＝０；（２）３－x√＝x－５．解：（１）移项，得２x２－３x＋２√＝－２，∵２x２－３x＋２√≥０，∴原方程无解．（２）由３－x√≥０，x≤３，x－５＜０，x－５＜０，∴原方程无解．二、根据未知数的取值范围判断例２解方程x－５√＋２＋x√＝２．解：∵x－５≥０，２－x≥０ ∴x≥５，x≤２ ∴不等式组无解，即根式x－５√和２－x√同时有意义的x的值不存在…     

不等式(组)类中考题解法示范

不等式（组）问题是中考必考题型之一．下面通过几例说明运用不等式的解解决某些问题的技巧和方法．例１若不等式x＋５２－１＜ax＋２２的解是x＜－０．２５，则a＝．解：原不等式可化为（a－１）x＞１．因它的解为x＜－０．２５，故a－１＝－４，即a＝－３．例２已知a是非零整数，且４（a＋１）＞２a＋１，５－２a＞１＋a 试解关于x的方程３x－２√＋x＋３√＝３a．解：解不等式组４（a＋１）＞２a＋１，５－２a＞１＋a 得－３２＜a＜４３，从而a的值为－１，１．当a＝－１时，方程为３x－２√＋x＋３√＝－３，无解．当a＝１时，方程…     

一元一次不等式测试题(下)

一、选择题１．不等式｜x＋１｜＞１的解集是（）．A．一切实数B．x＞０C．x＞０或x＜－２D．x＞０或x＞－２２．已知a＜０，b＞０，c＜０，化简a｜a｜＋ab｜ab｜＋abc｜abc｜的结果）．A．１B．－１C．－２D．２３．当x＝－１２时，多项式x２＋kx－１的值小于０，那）．A．k＞－３２B．k＞３２C．k＜－３２D．k＜３２４．不等式１４（３－x）＜１的解集在数轴上表示正确的）．A．B．C．D．５．下列各组不等式中，是同解不等式的是（）．A．１３（１－x）＞－５与１３（x－１）＜－５B．１３（１－x）＞－５与１３（x－１）＜５C．…     

数学系列知识竞赛(4)

一、选择题１．已知５x－m≤０只有两个正整数解，则m的取责任编辑／赵志范围是（）．A．１０＜m＜１５B．１０≤m＜１５C．１０＜m≤１５D．１０≤m≤１５２．如果关于x的不等式（２a－b）x＋a－５b＞０的解集是x＜１０７，那么关于的不等式ax＞b的解集是（）．A．x＜３５B．x＜３１０C．x＞２５D．x＞７１０３．适合不等式２x－１＞－３x＋１４＞４x－２１的值的范围是（）．A．x＞３B．x≤５C．３＜x≤５D．３≤x＜５４．不等式组５x－１＞３x－４，－１３x≤２３－ 的整数解的和是（）．A．１B．０C．－１D．－２、填空题５．…     

用配方法解竞赛题

一、化简例１（第八届“祖冲之杯”竞赛题）已知０＜x＜１，化简（x－１x）２＋４√（x＋１x）２－４√．解：原式＝（x＋１x）２√－（x－１x）２√＝x＋１x－x－１x．∵０＜x＜１，∴x＋１x＞０，x－１x＜０，∴原式＝x＋１x＋x－１x＝２x．二、求值例２（２００２年全国初中数学竞赛）已知a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c１９９９x＋２００２，则多项式a２＋b２＋c２－ab－bc－ca的值为（）．（A）０；（B）１；（C）２；（D）３．解：因为a＝１９９９x＋２０００，b＝１９９９x＋２００１，c＝１９９９x＋２００２…     

一元一次不等式的应用

学习一元一次不等式，重要的是应用其基本知识解决实际问题．下面从五个方面举例加以说明．一、比较大小例１比较x３＋２x２－１与x３－５的大小．解：（x３＋２x２－１）－（x３－５）＝２x２＋４，∵x２≥０，所以２x２＋４＞０．故x３＋２x２－１＞x３－５．二、确定字母的取值范围例２若（２a－２４）２与｜３a－b－k｜互为相反数，求k为何值时，b为负数．解：由题意，得（２a－２４）２＋｜３a－b－k｜＝０．∴２a－２４＝０，３a－b－k＝０．∴a＝１２，则３６－b－k＝０，故b＝３６－k．要使b为负数，需３６－k＜０，k＞３６．∴当k…     

倒数法解题例析

对于某些分式问题，根据分式的结构特征，采用取倒数的方法求解，往往具有简洁明快的特点．现举例说明，供同学们参考．一、比较大小例１已知a、b、c、d都是正实数，且ab＜cd，则M＝ba＋b－dc＋d与０的大小关系是（）．A．M＞０B．M≥０C．M＜０D．M≤０解：由ab＜cd，得ab＋１＜cd＋１．即a＋bb＜c＋dd．∵a、b、c、d均为正实数，∴ba＋b＞dc＋d，即M＝ba＋b－dc＋d＞０．应选A．例２已知c＞１，x＝c√－c－１√，y＝c＋１√－c√，z＝c＋２√－c＋１√，试比较x、y、z的大小．解：将已知条件取倒数：１x＝１c√－c－１√＝c√＋c－１…     

求函数值域的九种方法

一、观察法根据完全平方数、算术根和绝对值都是非负数的特点以及函数的图象、性质，凭观察能直接得到一些简单的复合函数的值域．例１求函数y＝x＋１√－x－１√的值域．解析将y＝x＋１√－x－１√变形得y＝２x＋１√＋x－１√．易知此函数在区间犤１，＋∞）上是减函数．当x＝１时，ymax＝２√．又∵x＋１√＞x－１√，∴y＞０．∴函数的值域为（０，２√犦．二、配方法例２求函数y＝－x２－６x－５√的值域．解析∵－x２－６x－５≥０，∴－５≤x≤－１．∴当－５≤x≤－１时，－x２－６x－５＝－（x＋３）２＋４≤４，其中当x＝－３时取…     

三类抽象函数问题的处理策略

一、含抽象函数的不等式的解法解这类不等式，应充分利用函数的单调性，想方设法去掉“f”，构成不含“f”的不等式再求解．例１已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a＜０）对于任意实数x恒有f（２＋x）＝f（２－x）成立．解不等式f（１－２x２）＞f（１＋２x－x２）．解析∵a＜０，∴f（x）的图象开口向下，其对称轴方程为x＝２，故f（x）在（－∞，２犦上单调递增，而在犤２，＋∞）上单调递减．∵１－２x２≤１＜２，１＋２x－x２＝２－（x－１）２≤２，∴（１－２x２）与（１＋２x－x２）的值在区间（－∞，２犦上．故原不等式可化为１－２x…     

二次根式的运算与平方法

平方和开平方互为逆运算．当我们把一个非负数同时实施这两种运算时，其值不变．这一事实已由公式（a√）２＝a（a≥０）表述出来．它在二次根式的运算中有着相当重要的作用，不可小视．例１设a＝２００３√＋１９９７√，b＝２００２√１９９８√，c＝２２００１√．试比较a、b、c的大小．解：由已知可得：a２＝４０００＋２２０００２－９√，b２＝４０００＋２２０００２－４√，c２８００４．∴a＜b＜c．例２若x＝４－３√，则分式x４－６x３－２x２＋１８x＋２３x２－８x＋１５＝．分析：因x＝４－３√，故４－x＝３√．两边平方得：x…     

初二数学单元达标自测题(2)

一、选择题（将下列各题中惟一正确答案的序号填入题后括号内，每小题３分，共１８分）１．把－４a８√的根号外的因式移到根号内，结果是（）．A．－２a√B．－２a√C．－a２√D．－a√２．若最简二次根式３４４a２＋１√与２６a２－１√是同类二次根式，则a的值为（）．A．１B．－１C．０D．±１３．下列算式：①２√＋３√＝５√；②３＋２√＝３２√；③１２５√＋３２５√＝２５√；④５√b＋３５√＝b＋３５√；⑤４x２＋９y２√＝２x＋３y．其中错误算式的个数有（）．A．１个B．２个C．３个D．４个４．线段、菱形、等边三角形…     

会解一道题 精通一类题

一、选择题：１．下列各式一定成立的是（）．A．a２√＞－aB．x２＋y２√＝｜x＋y｜C．当a＞b时，１a＜１bD．a２＝｜a｜２＝｜a２｜２．如图１，在△ABC中，E、F分别是AC、AB上的点，已知AFFB＝CEEA＝１３，BE与CF相交于O，AO的延长线交BC于D，则BD∶DC＝（）．A．９∶２B．９∶１C．８∶１D．７∶２３．若x＝３√＋２√３√－２√，y＝３√－２√３√＋２√，则２x２－３xy＋５y２等于（）．A．３４０B．３４０－６√C．３４０－６０６√D．３４３＋１４０６√４．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD＝２，AB…     

如何求不等式(组)中待定系数的取值范围

对于给定不等式组的解集，求不等式组中所含待定系数的取值范围是同学们感到棘手的问题．下面举例谈谈这类问题的解法．例１若关于x的不等式组x＋４３＞x２＋１，x＋a＜ 解集为x＜２，则a的取值范围是．解析：解不等式组，得x＜２，x＜－a 原不等式组的集为x＜２，所以－a≥２，故a≤－２．说明：牢固掌握四个基本不等式组的解集情并进行逆用是解题关键．例２如果不等式组９x－a≥０，８x－b＜ 的整数解仅为，３，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（）共有（）．A．１７个B．６４个C．７２个D．８１个解析：解不等式组…     

二次根式中的解题策略

初二同学在学习《二次根式》一章时，对于某些题目，若能讲究解题策略，则可以简化解题过程，提高解题速度．现举例说明，供参考．一、联想定义，回归基础对于任何具体的数学知识来说，概念的定义带有某种“原始性”的特点，基于此，有不少题目用定义法去解非常简便．例１已知a、b为实数，且b＝a２－２√＋２－a２√a＋２√，求１a＋b的值解：由已知得a２－２≥０，２－a２≥０显然a２＝２，a＝±２√．由a＋２√≠０，舍去a＝－２√，取a＝２√．代入得b＝０．∴１＝１＝２√．∴a＋b＝２√＝２．二、整体推进，简捷明快灵活把握题目的特点…     

巧用数形结合法解数学题

一、巧解函数题例１求y＝１－sinx２sinx－１的值域．解析由y＝１－sinx２sinx－１得sinx≠１２，y≠－１２．又∵－１≤sinx≤１，∴－１≤sinx＜１２或１２＜sinx≤１．在双曲线上取点A（１，０），即sinx＝１时，y＝０．作出它的大致图象如下．显然函数的值域有两部分．当sinx＝１时，y＝０；当sinx＝－１时，y＝－２３．∴函数的值域为（－∞，－２３犦∪犤０，＋∞）．二、巧解复数题例２设｜z－i｜＝１，argz＝π４，求复数z．解析如图，｜z－i｜＝１表示以点O１（０，１）为圆心、１为半径的圆，argz＝π４表示射线y＝x（x≥０）．…     

配方法的应用

一、用于因式分解例１在实数范围内分解因式２x２－８x－６＝．解：２x２－８x－６＝２（x２－４x－３）＝２（x２－４x＋４－７）＝２〔（x－２）２－（７√）２〕＝２（x－２＋７√）（x－２－７√）．二、用于化简例２化简x－yx√＋y√－x＋y＋２xy√√．解：原式＝（x√）２－（y√）２x√＋y√－（x√）２＋２xy√＋（y√）２√＝（x√＋y√）（x√－y√）x√＋y√－（x√＋y√）２√＝（x√－y√）－（x√＋y√）＝－２y√．三、用于求代数式的值例３已知x＝３√－２√３√＋２√，y＝３√＋２√３√－２√，求代数式３x２－５xy＋３y…     

一元一次不等式(组)考点例说(下)

考点五：一元一次不等式（组）综合题此考点是将一元一次不等式（组）与其他代数知识融为一体，考查学生综合解题的能力．例７求使方程组x＋y＝m＋２，４x＋５y＝６m＋ 的解x，y都是正数的m的取值范围．解：解方程组x＋y＝m＋２，４x＋５y＝６m＋３ 得x＝－m＋７，y＝２m－５ 由于它的解为正数．∴－m＋７＞０，２m－５＞０ 解得m＜７，m＞５２ 即５２＜m＜７．∴当５２＜m＜７时，原方程组的解都是正数．考点六：用一元一次不等式（组）解实际应用问题例８“五一”期间，某校由４位教师和若干名学生组成的旅游团，拟到国家４…     

巧变主元解参数题

一、解含参数的集合题例１设集合A＝狖（x，y）｜y＝x２＋ax＋２狚，B＝狖（x，y）｜y＝x＋１，０≤x≤２狚，A∩B≠，求实数a的取值范围．解析依题意知x２＋ax＋２＝x＋１在犤０，２犦上有解，即x２＋（a－１）x＋１＝０在犤０，２犦上有解．由x２＋（a－１）x＋１＝０知x≠０．选a为主元，将a从方程中分离出来得a＝－（x＋１x）＋１．要使方程在犤０，２犦上有解，只须a在－（x＋１x）＋１的取值范围内．因为x＋１x≥２，故a＝－（x＋１x）＋１≤－１，即a的取值范围为a≤－１．二、解含参数的三角题例２关于x的方程sin２x＋acosx－２a…     

妙用倒数，灵活解题

某些分式、二次根式的问题，若能根据题目特点，对题目条件或问题合理取倒数，加以变形再求解，则可化难为易，变繁为简．例１已知xyx＋y＝１３，yzy＋z＝１４，zxz＋x＝１５，则１x的值是．思路分析：对条件分别取倒数，加以变形，可得含有欲求值的式子．解：∵xyx＋y＝１３，∴取倒数，得x＋yxy＝３．即１x＋１y＝３．①同理，可得１y＋１z＝４．②１z＋１x＝５．③∴联立解含有１x、１y、１z的三元一次方程组，即得１x＝２．例２满足m√－m－１√＞０．１的最大正整数m的值为．思路分析：m√－m－１√的倒数m√＋m－１√为正数，再结合缩…     

化简绝对值三法

一、根据题设条件例１设x＜－１，化简２－｜２－｜x－２｜｜的结果是（）．A．２－x；B．２＋x；C．－２＋x；D．－２－x．思路分析：由x＜－１可知x－２＜－３＜０，可化去第一层绝对值符号，第二层绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：２－｜２－｜x－２｜｜＝２－｜２－（２－x）｜＝２－｜x｜＝２－（－x）＝２＋x．∴应选B．归纳点评：只要判定绝对值符号内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值的意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的基本思路．二、借助数轴信息例２实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数…