关于方程ρ=ep/1-ecosθ的一些补充

部编高中数学课本第二册提到了圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ),并且指出:当e〈1时,方程表示椭圆;当e〉1时,方程表示双曲线;当e=1时,方程表示抛物线。至于由方程ρ=ep/(1-ecosθ)本身直接去求曲线的顶点、焦点、准线等问题,课本未予深入探讨。笔者认为,若能引导学生对此方程作进一步的研究,对于前后知识的沟通,是大有裨益的。本文拟就这个问题对方程     

圆锥曲线统一直角坐标方程的应用

众所周知,圆锥曲线统一的极坐标方程为ρ=(eρ/1-ecosθ).但它只表示双曲线的右支,若要表示整个双曲线,必须允许ρ<0,不少学生在解题时往往忽略了这一点而致错,如     

对三种圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ的两点注记

《平面解析几何》(全一册)教材根据椭圆、双曲线、抛物线的统一定义推出了它们统一的极坐标方程,方程形式为ρ=ep/(1-ecosθ)当 0 < e<1时,方程表示椭圆,定点是它的左焦点,定直线是它的左准线;e=1时.方程     

数学教学拾零

一、析双曲线的极坐标方程 我们知道:极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)(极点位于一焦点上,极轴为从焦点背向顶点的射线,其中,e表示离心率,如图1所示)当e>1,ρ>0此方程表示双曲线的右支,如果允许ρ<0方程就表示整个双曲线。对此,初学者往往感到困惑不解,本文给以解析。     

解析一得

《平面解析几何》(必修)关于圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=(epJ)/(1-ecosθ)的分类讨论中有这样一句话:“e>1时,方程只表示双曲线右支……如果允许ρ<0,方程就表示整个双曲线。” 对此教学参考书中也没有做任何解释或证明。若学生问:“为什么允许ρ<0,方程ρ=     

极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ中顶点的极径的应用

圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)……(1)中,当01时,它表示有心的二次曲线(椭圆,或双曲线),如果极坐标方程(1)化成直角坐标方程是(x-m)~2/a~2±y~2/b~2=1……(2),下面给出极坐标方程(1)中顶点的极径ρ与直角坐标方程(2)中a、b、c之间既简单又便于记忆的转化公式。 [定理一] 在极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)中…(1) 当01)时,设椭圆长轴两端点(或双曲线或实轴两端点)的极坐标分别是(ρ_1,0)和(ρ_2,π),则:     

关于方程ρ=ep/(1-ecosθ)的推广

现行高中数学教材介绍了圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ,当01,表示极点在右焦点的双曲线. 那么,极点在其它焦点时,相应的极坐标方程又是怎样的呢? 为了解决这个问题,我们先将直角坐标与极坐标互化公式结合平移进行推广. 当极点在O′(a,b),极轴平行x轴正向,单位长统一时,如右图,在Rt△O′PM中,O′P=x-a,PM=y-b,O′M=p.∠MO′P=0 x-a=pcosθ,y-b=psinθ.①p~2-(x-a)~2 (y-b)~2,tgθ=(y-b)/x-a(x≠a) ②     

有关极坐标系双曲线方程的探讨

极坐标系中圆锥曲线的统一方程ρ=(ep)/(1-ecosθ),无论从方程的推求,方程的作图,或方程的应用来说,均以e>1,即双曲线的情况最复杂。原因在于当e≤1时,方程中ρ恒取正值,而当e>1时,ρ既可取正值也可取负值。本文就此作一点探讨。一、关于方程的推导《数学》课本第二册第179页引入了方程ρ=(ep)/(1-ecosθ),推导过程是在ρ>0的限制下进行的,这对e≤1时,是没有异议的,但对e>1时,却有进一步分析的必要。     

双曲线及其渐近线的极坐标方程

在中学《平面解析几何》课本中,根据圆锥曲线的统一定义,得出了圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/(1-ecos)θ。同时指出了:~e>1时,方程只表示双曲线的右支,定点F是它的右焦点,定直线l是它的右准线,如果允许ρ<0,方程就表示整个双曲线。     

用极坐标解高考题

圆锥曲线的统一极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ,利用此方程,可以简化计算,迅速求解过焦点的有关问题,现以2010年高考试题为例说明．     

用椭圆极坐标方程来探究几道解析几何压轴题

正高中数学新课程标准又把《坐标系与参数方程》列入了选修系列4—4,使得极坐标这一传统教学内容又回到了高中数学之中,为说明极坐标在解题中的应用,本文现应用椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)的极坐标方程:ρ=ep/(1-ecosθ)(其中极点为左焦点,e为离心     

极坐标系下的双曲线焦点弦问题探究

圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ=ep/1-ecosθ一般情况下,对于椭圆和抛物线上的任一点A（ρ,θ）,ρ〉0表示A到极点的距离,θ为以极轴为始边按逆时针方向旋转的旋转角．而对于双曲线,若以右焦点为极点建立极坐标系,则右支上点的坐标与椭圆和抛物线意义相同,而左支上点的坐标将有所区别．     

圆锥曲线极坐标方程的推导式及应用

课本给出圆锥曲线统一极坐标方程：ρ=ep/1-ecosθ（1），利用这个方程可以较容易地求出曲线的凡何参量：离心率及焦参数p，也可利用e及p求出一组参数α、b、c，但略显麻烦．[第一段]     

一个例题的注释

六年制重点中学高中数学课本《解析几何》177页例4“化圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ为直角坐标方程”解答中有这样一段话:在将 (x~2+y~2~(1/2))=e(x+p)两边平方时,对于 e>1的情形,方程产生增根…….为什么?课本未作说明,现作如下简单注释.     

一圆锥曲线共线焦半径性质的发现、引申和应用

<正>圆锥曲线有许多优美的性质,比如统一定义;统一极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ;横(纵)向型圆锥曲线的统一焦点弦长公式|AB|=2ep/1-e2cos2(α|AB|=1-2ep/e2sin2α)(对双曲线为同支焦点弦),等等.这些统一性质不仅体现了椭圆、双曲线、抛物线的紧密联系,展示了圆锥曲线内在的"统一美",而且其本身也具有广泛应用价值.作为教师,若与学生一起     

关于圆锥曲线统一的极坐标方程的教学

由二次曲线理论,圆锥曲线可以这样统一定义:点M到定点F和定直线L(不过F点)的距离的比是一个常数(通常用e表示)时,点M的轨迹叫做圆锥曲线。定点F叫焦点,定直线L叫准线,定比e叫离心率。根据这一定义,建立如下极坐标系,得统一方程: p=(ep)/(1-ecosθ) 其中01时表示双曲线。 教学中,大部分学生能够理解这一定义,甚至对统一方程记得很牢,但在解决有关实     

“1”和它的方根

“1”是自然数的排头数,它最为简单,却极为重要。判定圆锥曲线ρ=ep/(1-ecosθ)的类型,是用离心率e以1为界限区分的;描述指数、对数的性质,要从大于或等于1入手,|1|还是正、余弦和正、余割函数值域的边界数。在运算中,1也有很多特点。例如:a·1=a;a/1=a;a~1=a;a~0=1(a≠0);1~a=1(a∈R)等等。     

应用极坐标方程解题初探

应用圆锥曲线的统一极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)解题,不少文章早已论述。本文仅对圆锥曲线的非标准极坐标方程在解题中的应用作一初步探讨。一、证明与圆锥曲线半径长有关的问题设椭圆的标准方程为x~2/a~2 y~2/b~2=1,以原点o为极点,以ox轴为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程     

关于ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)中符号的确定

在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。     

圆锥曲线统一方程应用的复习

在直角坐标系中,椭圆、双曲线、抛物线各有自己的标准方程,用这些标准方程去研究圆锥曲线的共性,一般地说是比较麻烦的。在极坐标系中,根据圆锥曲线的统一定义,得到了它的统一方程ρ=(ep)/(1-ecosθ)(e>0)。这个统一方程对研究圆锥曲线的共性提供了简捷的方法。在解几的综合复习中,补充圆锥曲线统一方程的应用,对提高学生