一个新发现的三角不等式

苏张延卫、陕西苟春鹏两位老师分别证明 3以下三角不等式 :在△ ABC中 ,有sin A 2 sin B2 3sin C3≤ 3,(1)cos A 2 cos B2 3cos C3≤ 3 3 . (2 )受文 [1]的启发 ,本文作者证得一个类似的新结果 :cot A 2 cot B2 3cot C3≥ 6 3. (3)其实 ,我们有下述定理　在△ABC中 ,对 k≥ 1有cot Ak 2 cot B2 k 3cot C3k≥ 6 cotπ6 k,(4 )等号成立当且仅当 A=π6 ,B=π3.证明　若 x>0 ,y>,且 x y<π,则cotx coty=sin(x y)sinxsiny=2 sin(x y)cos(x- y) - cos(x y)≥ 2 sin(x y)1- cos(x y) =2 cotx y2 .∴cot AR 2 cot B2 …     

由一个三角形不等式联想到的

在研究三角形不等式证明这个领域内 ,仅停留在探索一些简单不等式的证法技巧 ,总结一些解题规律上 ,这显然是不够的。我们应当在熟练掌握一些简单不等式证法技能的基础上 ,探索、证明、推理、创造性地研讨出一些新的结论。本文拟就一道三角形不等式来探讨一些新结论 ,以达推陈出新之目的。为此先证明下面的引理 :引理　设△ABC的三边长为a、b、c,内切圆半径为r ,半周长为 p ,求证　 pr ≥ 3 3。证明　∵ ( pr) 2 =(cot A2 +cot B2 +cot C2 ) 2≥ 3 (cot A2 cot B2 +cot B2 cot C2 +cot A2 cot C2 )=3 (cot A2 +cot B2 +cot C2 ) (tan …     

垂足三角形外接圆半径之间的一个恒等式

关于垂足三角形外接圆半径之间有下面一个恒等式:定理设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的面积,外接圆半径,内切圆半径分别为?,R,r,若△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径依次为R A,BR,RC,则cot cot cotA2B2C2R A+R B+RC2(R r)r=??.(1)证明如图,由文[1]知EF=a cos A,FD=b cos B,DE=c cos C,∵A2sinREF=A cos2sina A=A2sin cos,R A A=A H D AE BFC∴R A=R cos A.同理RB=R cos B,RC=R cos C.令cot cot cot,A2B2C2K=R A+R B+RC在△ABC中应用常见恒等式:?=rs,cot2422∑A=s?R?r?r,csc2422…     

巧用余弦定理证明三角形的布洛卡点的一个性质

本文利用余弦定理证明:△ABC的布洛卡点P的一个性质cotθ=cotA+cotB+cotC,且当θ分别等于A/2,B/2,C/2时△ABC的三边a,b,c成等比关系.     

Pedoe不等式的再推广

设a,b,c,Δ与a′,b′,c′,Δ′分别代表△ABC与△A′B′C′的三边与面积,则著名的Pedoe不等式是: a′~2(-a~2+b~2+c~2)+b′~2(a~2-b~2+c~2)+c′~2(a~2+b~2-c~2)≥16ΔΔ′,式中等号当且仅当△ABC∽△A′B′C′时成立。文[1]证明了: 设△.表示a~(1/2),b~(1/2),c~(1/2)组成的三角形的面积,则有     

一道北约试题的推广

题目:△ABC中,如果a+b≥2c,证明C≤60°.(2011年北约自主招生数学试卷第4题) 证明:由余弦定理知cos C=a2+b2-c2/2ab≥a2+b2-(a+b/2)2/2ab=3/4(a2+b2)-ab/2/2ab≥1/2.所以,C≤60°.故得证. 笔者经过研究,发现本题结论可以推广为: 定理1:△ABC中,如果an+cn≥2bn(n∈Z),则B≤60°,其中a,b,c表示△ABC中角A,B,C的对应边.     

两个不等式的推广及应用

△ABC中的许多不等式,如 sinA+sinB+sinC≤3 3~(1/2)/2, cosAcosBcosC≤1/8, sinA/2+sinB/2+sinC/2≤3/2, cosA/2cosB2/cosC/2≤3 3~(1/2)/8 , sin~2A+sin~2B+sin~1C≥2 3~(1/2)sinAsinBsinC等等,均可统一于以下两个不等式(因本文将给出较一般的结果,故推导过程从略): 设x,y,z∈R,A,B,C为△ABC的内角,则 (1)x~2+y~2+z~2 ≥2(xycosC+yzcosA+zxcosB), (2)x~2+y~2+z~2 ≥2 3~(1/2)/3(xysinC+yzsinA+zxsinB), 本文将上述不等式(1)与(2)推广为: 若A,B,C,x,y,z均为实数,且A+B+C=π,n∈Z,则     

关于三角形外接圆半径的几个不等式

本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式,这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1 429题(2003年第5期)与1 531题(2005年第2期).命题1设O为锐角△ABC的外心,△OBC,△OCA,△OAB,△ABC的外接圆半径分别为R1,R2,R3,R,则有不等式R1R2R3≥R3,(1)1R1+1R2+1R3≤3R,(2)1R21+1R22+1R23≥3R2,(3)三式中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.图1证因为O为△ABC的外心,所以∠BOC=2A.于是2R1=BCsin 2A=2R sin Asin 2A=Rcos A.同理2R2=Rcos B,2R3=Rcos C,从而R1R2R3=R38cos A cos B cos C,1R1+1R2+1R3=2R(cos A+cos B+…     

二个角平分线不等式的加强

在△ABC中,记三边长BC=a,CA=b,AB=c,角A、角B、角C的平分线长分别为t_a、t_b、t_c,△ABC的外接圆半径与内切圆半径分别为R与r(下文均用此记号),笔者在文[1]与文[2]中分别证明了: ∑1/t_a≥1/R 1/2r (1) ∑1/t_a≥2/3~(1/2)∑1/a (2)当且仅当△ABC为正三角形时,(1)、(2)两式取等号(这里∑表示循环和,下同). 本文将给出较(1)、(2)两式更强的不等式,即 定理 在△ABC中,有 (∑1/t_a)~2≥(∑1/a)~2 (1/2r)~2 (3)当且仅当△ABC为正三角形时,(3)式取等号.     

由两个几何不等式引出的讨论

例 1　设 O为△ ABC的外心并且△ BOC、△ COA、△ AOB和锐角△ ABC它们的外接圆半径分别为 R1 、R2 、R3 和 R,2 0 0 3年郭要红先生建立了不等式 :[1 ]R1 +R2 +R3 ≥ 3 R 1笔者在证明 1的过程中发现 1式还可加强为 :1R1+1R2+1R3≤ 3R 2由 Wolseenholme不等式 ,其证明过程如下 .有定理 1,设 x,y,z为正实数 ,在锐角△ ABC中有 xR1+yR2+zR3≤ 1R( yzx +zxy +xyz) 3证明 3式需要如下引理 1.引理 1[2 ]　 ( Wolseenholme不等式 )设 A、B、C为△ ABC的内角 ,x,y,z为实数 ,则x2 +y2 +z2≥ 2 yzcos A +2 zxcos B +2 xycos C 4当…     

三角形中一个不等式的应用

命题:△ABC的外接圆半径R与内切圆半径间成立不等式:R≥2r。证:(见原文图)过△ABC的顶点作对边的平行线,三直线围成△A′B′C′,则△ABC∽△A′B′C′,K=AB/A′B′=1/2。作外接圆的三条切线,分别平行于△A′B′C′的三边,围成△A″B″C″,(使△ABC的外接圆在为△A″B″C″的内切圆),△ABC∽△A″B″C″、     

关于垂足三角形的一个对偶恒等式

文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式     

关于三角形内心的两个不等式

定理　设△ ABC的内心为 I,R,R1 ,R2 ,R3 分别是△ABC,△IBC,△ICA,△IAB的外接圆半径 ,则有R1 +R2 +R3 ≤ 3R,(1)R1 · R2 · R3 ≤ R3 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时 ,(1)、(2 )取图 1等号 .证明　如图1,设 BC=a,CA=b,AB =c,因 I是△ABC的内心 ,则有sin∠ BIC=sin(180°- B+C2 ) =cos A2 .(3)由正弦定理及 (3)式可得R1 =a2 sin∠ BIC=2 Rsin A2 cos A2=2 Rsin A2 .同理可得R2 =2 Rsin B2 ,R3 =2 Rsin C2 .结合熟知的三角不等式sin A2 +sin B2 +sin C2 ≤ 32 及sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,可得R1 +R2 +R…     

垂足三角形旁切圆半径的一组不等式

文[1]给出:若△DEF 是锐角△ABC 的垂足三角形,且记 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC 的面积、外接圆半径分别为△和 R,△DEF 旁切圆半径依次为 r_D,r_E,r_F,则有(r_D)/(cot A)=(r_E)/(cot B)=(r_F)/(cot C)=△/R.(*)定理设△DEF 为锐角△ABC 的垂足三角形,记号同     

对一组优美几何不等式的推广

在△ABC中,设△ABC的面积为S,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有下列不等式链:a^2+b^2+c^2≥bc+ca+ab≥4√3S.①类比此不等式,文[1]得到一个类似不等式:a^2 sinA/2+b^2 sinB/2+c^2 sin C/2≥bcsin A/2+ca sin B/2+ab sin C/2≥2√3S.     

与周才凯同志商榷

本刊1993年第2期周才凯《一个三个不等式的加强及其它》(以下简称原文)中有两处错误,现摘录如下: 在△ABC中,对不等式ctgA+ctgB+ctgC≥1/3 (3+12R/r)~(1/2). (7)(其中R、r分别是△ABC外接圆和内切圆半径),作角变换:A→π/2-A/2,B→π/2-B/2,C→π/2-C/2,则不等式(7)等价于:△ABC中,有     

一个几何不等式的推广

在△ABC中,以下两不等式成立: ctgA/2+ctgB/2+ctgC/2≥3 3~(1/2), (1) ctg~2A/2+ctg~2B/2+ctg~2C/2≥9, (2) 不等式(2)见文[1]2.43,而(2)可看作(1)的推广,那么对于(1)的更一般形式的指数型的推广是什么呢?下述的命题回答了这个问题。命题在△ABC中,a、b、c是其三边,s是其半周长,即s=1/2(a+b+c),r是其内切圆半径,则     

一个常见三角不等式的推广

在△ABC中,有不等式cos^2A＋cos^2B＋cos^2 C≥3/4^[1]等号成立当且仅当△ABC为正三角形．     

一个三角不等式

命题 在任意△ABC中,∠A、∠B、∠C表示其三内角.则 sin~3A sin~3B sin~3C≤(9/8)3~(1/2),等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 证明 由三角形恒等式     

“三角形正切、余切公式”的应用

在△ ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,S是△ ABC的面积 ,由半角公式tan α2 =1 - cosαsinα 及余弦定理易得一组正切公式 :tan A2 =a2 - ( b- c) 24 S ,tan B2 =b2 - ( c- a) 24 S ,tan C2 =c2 - ( a- b) 24 S .由余弦定理可得一组余切公式 :cot A=b2 + c2 - a24 S ,cot B=c2 + a2 - b24 S ,cot C=a2 + b2 - c24 S .这两组公式结构对称 ,易于记忆 ,作用类似于正弦定理、余弦定理 ,用于解一些三角题可达到事半功倍的效果 .本文精选几例 ,以飨读者 .例 1　设 a,b,c是三角形的三条边 ,α,β,γ是这三条边的对角 ,如果 a2 + b2 …