浅谈根式(a~2)~(1/2)化简中的隐含条件

在《二次根式》一章的学习中,规定如果没有特别说明,根号内被开方数都表示非负数。因此对于一些具体问题,要根据题目特点,以二次根式的概念为依据对字母的取值进行,充分挖掘其隐含条件,现举例说明。例1化简-a1.分析:根据二次根式定义,开方数-1a应是非负的,又分母不能为零,所以根式中隐含着a<0.解:-1a=-aa2=|1a|-a=-1a-a.例2把(x-1)11-x的根号外面的因式移到根号内。分析:a2=a(a≥0)有时我们可反用,即a=a2,使解题更方便,但要注意a≥0这个条件,本题不能随意的将x-1放到根号内,因为题目中有隐含条件即1-x>0,亦x-1<0所以x-1=-(1-x)=-(1-x)2解:(x…     

指数及指数函数易错题析

数学爱好者2006·12一、忽视隐含条件致误例1化简(1-a)[(a-1)-(2-a)21]21.错解(1-a)[(a-1)-(2-a)21]21=(1-a)(a-1)-(1-a)41=-(-a)41.错解分析错解中忽略了题中有(-a)12,所以忽略了-a≥0即a≤0,则[(a-1)-2]21≠(a-1)-1.正解由(-a)21知-a≥0故a-1<0,因此,(1-a)[(a-1)-(2-a)21]21=(1-a)(a-1)-(1-a)14=(-a)41.二、思维定势致误例2设a>0,a≠1如果函数y=a2x 2ax-1在-1,1]上的最大值为14,求a的值.错解因为y=(ax 1)2-2,所以,y在[-1,1]上单调递增,因此,当x=1时,y取得最大值,a2 2a-1=14,因此,当a=3或a=-5(舍去),所以,a=3.错解分析错解的原因是将ax当成…     

学好“二次根式”要点

二次根式是初中阶段必须掌握的基础知识之一,学习这部分内容应注意以下几个要点:一、根号里面代数式的取值必须使式子有意义。如在式子1-x x-1中,应有1-x≥0且x-1≥0,即x≤1且x≥1,因此x只有取1式子才有意义。二、化简二次根式的结果应是非负数。二次根式是一个非负数,在化简二次根式时,必须正确运用公式a2=|a|=a(a≥0)-a(a<0)确定符号。如当m相似文献   

利用隐含条件解题

在许多数学题目中,都有一些条件隐含在题意中没有明确给出,这些条件就是所谓的隐含条件.而利用这些隐含条件,可以简捷地解题.下面通过几个例子加以说明.例1下列四式中与（a-3）（1/（3-a））^1/2相等的是A.（a-3）^1/2 B.-（a-3）^1/2C.（3-a）⁽1/2 D.-（3-a）^1/2分析此题的隐含条件是3-a>0,故（a-3）（1/（3-a））^1/2=（a-3）（（3-a）/（3-a）²）^1/2=（a-3）/（3-a）（3-a）^1/2=-（3-a）^1/2.故选D.例2已知实数a满足|2009-a|+（a-2010）^1/2=a,那么a-2009²的值是_<sub><sub><sub><sub>.分析此题的隐含条件是a-2010≥0,即a≥2010.故|2009-a|+（a-2010）^1/2=a可化     

二次根式运算错解剖析

1.概念模糊 ,混淆不清例 1　若 x3 + 2 x2 =- x x+ 2 ,则 x的取值范围是(　　 )。(A) x<0 ;(B) x≥ - 2 ;(C) - 2≤ x≤ 0 ;(D) - 2 相似文献   

A≥0且A≤0的条件的应用

大家都知道:若A≥0且A≤0,则有A=0。这个性质在数学解题中有着重要地位。其条件的出现往往是隐藏在题设或解题过程中,如果充分利用此性质,有时可以收到事半功倍之效。例1 在实数范围内:设x=(((a-2)(|a|-1))~(1/2) ((a-2)(1-|a|))~(1/2))/(1 1/(1-a)) (5a-1)/(1-a))~(1988),则x的个位数字是()(A)1(B)2(C)4(D) 6(88年全国初中数学联赛试题第一题(2)题). 解:要使两个根式都有意义,必须使:(a-2)(|a|-1)≥0且(a-2)(1-|a|)≥0,即(a-2)(|a|-1)≥0且(a-2)(|a|-1)≤0所以只能满足(a-2)(|a|-1)=0,解得a_1     

解答二次根式竞赛题的若干方法

纵观近几年的各类初中数学竞赛,与二次根式有关的问题屡见不鲜.为顺利地解答它们,下面举例介绍若干方法.一、定义法例互 在实数范围内,代数式|2～1/(-(x-4)~2)-1|-2的值为()(A)1;(B)2;(C)3;(D)以上答案都不对.(1995年省江苏省初中数学竞赛题)解 由根式的定义知-(X-4)～2≥0.故(X-4)～2≤0.又(X-4)～2≥0 ∴(X-4)～2=0∴原式=||2～(1/(-0-1))|-2|=1.应选A.例2 实数a满足|1992-a|+2～(1/(a-1993)=a,那么a-1992～2的值是()(A)1991;(B)1992;(C)1993;(D)1994.(1992年“希望杯”初二数学邀请赛题)解 注意到a-199≥0,那么a≥1993>1992.∴(a-1992)+2～(1/(a-1993))=a.∴2～(1/(a-1993))=1992.∴a-1993=1992～2.故a-1992～2=1993.应选C.二、平方法     

巧求代数式的值

在初中数学考试中,常常有一类求代数式的值的问题。由于代数式中含有字母,往往只给出字母的值或字母关系式等条件。这类问题若采用直接把条件代入的方法来解则较繁琐,有时甚至无法找到代入的突破口。那么如何巧妙地解决这类问题呢?现精选几道试题来说明。例1.当a=12+3√时,求1-2a+a2a-1-a2-2a+1√a2-a的值。(河北省数学试题)分析:如果把a的值直接代入式子计算是很麻烦的:又由于a2-2a+1=(a-1)2,开根号时要知道a-1的正负,因此必须对a的值和式子都进行化简。解:a=12+3√=2-3√<1.∴a-1<0原式=(a-1)2a-1-(a-1)2√a(a-1)=a-1--(a-1)a(a-1)=a-1+1a…     

解数学题时应注意"隐含"条件的运用

解数学题离不开已知条件的运用 ,可不少数学题目的已知条件 (或部分条件 )隐含在题目的叙述表达式中 ,不是我们一看而知的 ,但只要我们认真观察细心分析 ,并不难发现 :若我们将所有的已知条件全部找出 ,问题将会很快的得到正确的解决。反之将会误入歧途 ,下面略举几例说明。例 1 :把根号外的因式移到根号内 :a -a分析 :要将根号外的因式 a正确移到根号内 ,首先必须确定 a的取值情况 ,粗看上去本题对 a没有什么附加条件 ,然而事实上“ -a”是一个根式 ,即 -a≥ 0所以本题隐含有条件“a≤ 0”,只有利用这个隐含条件才能正确的将根号外的因式移…     

构造算式求条件代数式的值

先化简,后求值是求代数式的值的一般方法.但对于求某些条件代数式的值的问题,特别是对于竞赛题,若能灵活地应用已知条件,挖掘隐含条件,巧妙构造算式,则可简化计算过程,从而达到快捷获解之目的.例1若a2+a=1,求a4-3a2+2的值.解:由a2+a=1得a=1-a2.∴原式=(a4-2a2+1)+(1-a2)=(1-a2)2+(1-a2)=a2+a=1.注:这里充分运用了1-a2=a这一降次的隐含条件.例2已知a2+a-1=0,求a3+2a2+3的值.解:由a2+a-1=0得a2+a=1.∴原式=a3+a2+a2+3=a(a2+a)+(1-a)+3=a+(1-a)+3=4.注:这里运用了隐含条件a2+a=1凑配代入而得解.例3已知m+n+k=0,求证:m3+m2k+n2k+n3-mnk=0.证明:…     

警惕二次根式中的陷阱

陷阱一二次根式的概念例1当a>0时,（a²）^1/2是否是二次根式?错解因为（a²）^1/2=a,所以（a²）^1/2不是二次根式.错因根据二次根式的定义,形如a^1/2（a≥0）叫作二次根式.对于二次根式的理解是:（1）带有根号;（2）被开方数非负.所以二次根式是形式上的定义.正解（a²）^1/2是二次根式.例2下列二次根式是最简二次根式的是（）.     

怎样化简(a~2)~(1/2)

在利用二次根式的性质(a~2)~(1/2)=|a|=(a(a≥0) -a(a<0)) 化简二次根式时,关键是确定a的符号,而这一步判断的准确性依赖于对化简条件的不同形式的正确处理。本文就中考试题中化简条件的一些常用变化形式与判断方法作一些介绍。 1.以不等式形式给出条件     

应用不等式求值(初二、初三)

不少问题从表面上看似乎与不等式(组)无关,但若仔细考查其条件,发现可用不等式(组) 求解．请看五例． 1．利用绝对值的非负性例1 设x,y,a都是实数,且 |x|=1-a,|y|=(1-a)(a-1-a2), 则|x| y a5 1=＿. 解由 |x|≥0,|y|≥0,知道又-a2 a-1=-(a-(1/2))2-(3/4)<0, 所以要使(*)成立,当且仅当a=1,     

二次根式解题中的常见错误剖析

同学们在学习二次根式时,常会犯一些错误,现举例说明,供同学们参考. 1.化简x3+2x2y+xy2√. 错解:原式=x(x+y)2√=x+yx√. 分析:答案中根号外的x+y是一个整体,必须加括号. 正解:原式=x(x+y)2√=(x+y)x√. 2.把式子x-1x√中根号外的因式适当变形后移到根号内,并使原式的值不变. 错解:原式=x2√·-1x√=-x√. 分析:由公式a=a2√(a≥0)知,根号外的负因式要移进根号内且保持原式的值不变时,需在根号外添加一负号.如-4=-(-4)2√. 正解:由题意可知-1x>0,∴x<0. ∴原式=--x-1x√=-(-x2-1x √=--x√. 3.计算2√÷3√…     

由一道例题想到的

<正>例题已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有唯一零点,求实数a的取值范围.这是中学数学教学2010年第二期数学园地里的一道题,作者找出了原来做法的错因并给出了正确的解法.解法如下:①当a=0时f(x)=-4,f(x)在(-1,1)上没有零点,所以a≠0.当a≠0时,f′(x)=3ax2-2a=a(3x2-2),令f′(x)=0得,x=±槡23,又f(-1)=4a-4,f(1)=2a-4,f-槡()23=27+4槡69a-4,f槡()23=27-4槡69a-4.②若a>0时,则当-1相似文献   

二次根式运算的几种常用方法

在学习二次根式知识的过程中,我们会经常遇到有关的运算问题,求解此类问题时,如果能够掌握一些比较常用的方法和技巧,不仅可以简化解题过程,而且可以快速正确地求解.一、巧用定义例1求（1-a）^1/2-（a-1）^1/2+2012a的值.解:由1-a≥0,得a≤1;又a-1≥0,得a≥1.从而可知a=1.故原式=0-0+2012×1=2012.二、逆用公式例2化简3^1/2+5^1/2/(4^1/2+15^1/2)^1/2解:显而易见原式大于零,故有     

中考数学模拟试题(二)

一、选择题 (共 15小题 ,每小题 3分 ,计 4 5分 )1 下列运算中 :① (-a3 ) 2 =-a6;②a3 a3 =2a3 ;③ (x- y) (-x - y) =y2 -x2 ;④a3 b3 =abab(a≥ 0 ,b≤ 0 ) .其中正确的运算共有 (　　 ) .A 1个　B 2个　C 3个　D 4个2 若 (a - 3) 2 =a- 3,则a的取值范围是(　　 )A a >3　　B a≥ 3C a<3　　D a≤ 3第 3题图3 如图 ,在半径为2cm的⊙O内有长为 23cm的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB为 (　　 )A 6 0°　B 90°C 12 0°　D 15 0°4 已知等腰△ABC的底边BC =8cm ,且 ｜AC-BC｜ =2cm ,则腰AC的长为 (　　 )A 10cm或 6cm　　B …     

谈谈二次根式的运算技巧

二次根式运算是初中代数中代数式运算的重要方面,它既有与整式、分式运算共同之处,又有应用根式性质进行运算的独特之处,且与方程等又有密切的关系,故应在教学中予以重视.下面列举几个方面仅供参考.一、根式概念,要深刻理解课本中虽有明文规定:在本章中如果没有特别说明,所有字母都表示正数.”但我们学习知识不能局限于“在本章中”,且不能忽视a~(1/2)成立的条件是a≥0,及a~2~(1/2)=|a|=a(a≥0) -a(a<0 )一些隐含条件,这些在解题中都应予以高度重视.同时也不能忽视算术根,最简根式,同次根式,同根式等概念.     

二次根式专题之常见错误分析

在二次根式运算过程中,同学们由于对二次根式的概念、性质和运算法则理解不透,常常出现这样或那样的错误.现将几种常见的错误归纳如下.一、混淆公式张冠李戴例1计算:(-5)2姨.错解:原式=-5.例2化简:姨3-2姨2.错解:原式=(1-姨2)2姨=1-姨2.剖析:两题的错解都是因为混淆了公式a2姨=a和(姨a)2=a,正确的应运用a2姨=a,得出的正确答案分别是5和姨2-1,而错解却都是运用(姨a)2=a.如此混淆公式、张冠李戴,不错才怪呢!二、思维定势忽视隐含例3化简:a1-a3姨+a-a1姨.错解:原式=1a-a2姨a+a-aa2姨=aa姨-a+aa姨-a=2姨-a.剖析:受平时字母的取值大多是正数的习…     

算术根与分指数幂

一个非负数的非负方根,叫做这个数的算术方根,简称算术根。因此,当且仅当a≥0时,根式a~(1/n)(n∈N且n≥2)表示a的n次算术根。在实数范围内,当n为偶数且a<0时。a~(1/n)无意义;而n为奇数,a<0时,a~(1/n)虽然有意义,但它不是算术根。对此,学生容易搞错。因为根式的运算法则都是针对算术根而言,所以把一个非算术根化为算术根就显得十分重要。例如,a~(1/(2n-1))(a<0,n∈N且n≥2)化成-(-a)~(1/(2n-1))或-|a|~(1/(2n-1)),这里(-a)~(1/(2n-1))或|a|~(1/(2n-1))就是算术根了。一般的,分指数幂都限制其底数大于零。即是说,一个根式化为分指数幂,也是立足于算术根的。它的意义是:a~(m/n)=a~(m/n)(a≥0,m、n∈N且n≥2)。由于学生对算术根和分指数幂的规定含糊不清,导至根式或分指数幂运算的错误的例证是不胜枚举的。就