一道常见不等式的证明

题目:已知a、b∈R~ 且a b=1,求证(d 1/a)(b 1/b)≥(25)/4.本文给出该不等式的5种证明.证法1:(分析法)欲证原不等式成立,只需证4(a~2 1)(b~2 1)≥25ab4a~2b~2 4a~2 4b~2 4≥25ab4a~2b~2 4(a b)~2-8ab 4≥25ab4a~2b~2-33ab 8≥0(ab-8)(4ab-1)≥0     

关于a+b+c=0的一组优美结论

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3     

勾股不等式的应用

本文介绍的勾股不等式的证明很简单,它在应用中却很方便。命题若a≥0,b≥0,c≥0,且a~2+b~2=c~2,则 a+b≤2~(1/2)c (1) 当且仅当a=b时取等号。证明据题设,利用a~2+b~2≥2ab,得 (a+b)~2=a~2+b~2+2ab≤2(a~2+b~2)=2c~2 ∴ a+b≤2~(1/2)c 显然,当且仅当a=b时等号成立。(证毕) 当a,b,c均为正实数时,由a~2+b~2=c~2知a,b,c组成一个直角三角形的三边,故称(1)为勾股不等式。     

第二讲 式的恒等变形常用的技巧

进行式的恒等变形时,常用到下面的技巧。一、同加、同减例(1) 已知(a+b)~2=7,(a-b)~2=3,求a~4+b~4的值。解:将(a+b)~2=7,(a-b)~2=3两式分别相加、相减得: 2(a~2+b~2)=10,4ab=4。即 a~2+b~2=5,ab=1 ∴ a~4+b~4=(a~2+b~2)~2-2a~2b~2=5~2-2×1~2=23。例(2) 设a>0,b>0,a~2+b~2=7ab,求证: lg[1/3(a+b)]=1/2(lga+lgb)。解:a~2+b~2=7ab等式两边同加上2ab得: (a+b)~2=9ab。即((a+b)/3)~2=ab,     

完全平方公式的变式及应用

将完全平方公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-b)~2-2ab+b~2进行变形后易得以下几个公式:a~2+b~2=(a+b)~2-2ab=(a-b)~2+2ab,(a+b)~2=(a-b)~2+4ab(a-b)~2=(a+b)~2-4ab,(a+b)~2-(a-b)~2=2(a~2+b~2),(a+b)~2-(a-b)~2=4ab,(和差化积公式)ab=(a+b/2)~2-(a-b/2)~2.(积化和差公式)     

a~2 b~2≥2ab的两个变形及应用

将a~2 b~2≥2ab两边同时加上a~2 b~2并整理得: 变形I (a b)~2≤2(a~2 b~2) (a、b∈R,当且仅当ab时取等号)。 当a、b∈R~ 时,将a~2 b~2≥2ab两边同除以b得:     

值得重视的两个推论

完全平方公式: (a+b)~2=a~2+2ab+b~2 (a-b)~2=a~2-2ab+b~2 将上面两个等式相加减,对它们重新组合,容易得出以下两个推论:     

一个猜想的证明及拓广

在《由基本不等式“a~2+b~2≥2ab”想到的》(见本刊1989年第4期)一文中给出了以下猜想(即原文的命题19): 命题1 设a,b,c为正数,则 (1) a~5+b~+c~5≥a~8bc+ab~8c+abc~8; (2) a~n+b~n+c~n≥a~pb~qc~r+a~qb~rc~p+a~rb~pc~q。其中n∈N,p,q,r为非负整数,且p+q+r=n。我们首先证明这一猜想是成立的。证明 (1)用两种方法证。证法1 由(a~3-b~3)(a~2-b~2)≥0得 a~5+b~5≥a~3b~2+a~2b~3同理 b~5+c~5≥b~3c~2+b~2c~3, c~5+a~5≥c~3a~2+c~2a~3。以上三个不等式相加,并注意到b~2+c~2≥2bc,c~2+a~2≥2ca,a~2+b~2≥2ab,有 2(a~5+b~5+c~5)≥a~3(b~2+c~2)+b~3(c~2+a~2)+c~3(a~2+b~2)≥2a~3bc+2b~3ca+2c~3ab,     

IMO-36第二试题的推广

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2,     

活用完全立方公式

完全立方公式 (a+b)~3=a~3+3a~2b+3ab~2+b~3稍加变形,即得 a~3+b~3(a+b)~3-3ab(a+b) ① (a+b)~3=a~3+b~3+3ab(a+b) ②有些数学题,用这两个变形公式去解,更显得方便快捷。请看几例:     

巧用基本不等式及其变形解竞赛题

数学竞赛题是课本基础知识和技能技巧的结晶。大家熟知基本不等式是:(1)a~2+b~2≥2ab(a、b∈R);(2)a+b≥2(ab)~(1/2)(a、b∈R~+)。由它们可以推出如下变形式:     

不等式在高中数学解题中的应用初探

<正>一、不等式的常见类型在高中数学中,常见的不等式主要包括四种:第一种:(1)如果a,b∈R,那么a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b的时候,取"="。(2)2如果a,b∈R,那么ab≤(a~2+b~2)/2,当且仅当a=b的时候,取"="。     

完全平方公式的三种变形及其应用

正公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2和(a-b)~2=a~2-2ab+b~2统称为完全平方公式.熟练地掌握了这两个公式的应用后,在学习中,还应注意它们的三种变形及其应用.一、逆向变形a~2+2ab+b~2=(a+b)~2,a~2-2ab+b~2=(a-b)~2.例1计算999×999+1999.     

立方和(差)公式的应用

九年义务教材初中《代数》第一册(下)第125页介绍的立方和(差)公式:(a+b)(a~2-ab+b~2)=a~3+b~3,(a-b)(a~2+ab+b~2)=a~3-b~3,这里给出它们的两个变形:a~3+b~3=(a+b)~3-3ab(a+b),a~3-b~3=(a-b)~3+3ab(a-b),它们在解题中有着广泛的应用.现举数例说明如下,供初一学生学习时参考.     

公式a~2 b~2≥2ab的变形及应用

不等式a~2 b~2≥2ab成立的条件是:a,b∈R,当且仅当a=b时等号成立。又当a,b∈R_ 时有:a b≥2(1/ab),当且仅当a=b时等号成立。本文将介绍其变形在解题中的应用。     

完全平方公式的变形的运用

完全平方公式的变形运用广泛,灵活多变,对学生解题能力的训练有很大的功效.现举几例说明它的应用. 完全平方公式的变形有如下几种形式: 1.(a+b)~2=(a~2+b~2)~2+2ab; 2.(a-b)~2=(a~2+b~2)~2-2ab; 3.(a+b)~2+(a-b)~2=2(a~2+b~2); 4.(a+b)~2-(a-b)~2=4ab.     

巧用公式(a+b)~2-(a-b)~2=4ab解竞赛题

由完全平方公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-6)~2=a~2-2ab+b~2即可得到公式 (a+b)~2-(a-b)~2=4ab.(※) (※)式和谐、对称、易于记忆.(※)式在初中数学中的应用十分广泛.下面用(※)式解一些初一同学能解的竞赛题.     

利用一个不等式巧解竞赛题

本文给出一个非常简单的不等式,并用于解证几道国内外数学竞赛题。由a~2+b~2≥2ab(a,b∈R),即a~2≥b(2a-b)可得推论若a,b∈R且b>0,则a~2/b≥2a-b。当且仅当a b时取等号例1 已知x>0,(?)1,2…,n,求证: x_1/x_2+x_2/x_3+…+x_n/x_1≥x_1+x_2+…+x_n。 (1984年全国高中数学联赛试题) 证明:由推论得 x_1/x_2≥2x_1-x_2,x_2/x_3≥2x_2-x_3,…,x(?)/x_1≥2(?)-x_1。将以上n个同向不等式两边相加,得     

一组猜想不等式的统一证明

宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想4为:已知a,b,c是正数,求证a~2/(a~2+(b+c)~2)+b~2/b~2+(c+a)~2+c~2/c~2+(a+b)~2≥3/5(1);(a~3)/(a~3+(b+c)~3)+(b~3)/(b~3+(c+a)~3)+(c~3)/(c~3+(a+b)~3)≥1/3(2);(a~4)/(a~4+(b+c)~4)+(b~4)/(b~4+(c+a)~4)+(c~4)/(c~4+(a+b)~4)≥3/(17)(3).     

试题编拟的技术性建议(续)

2.2 由教材编拟解答题的示例示例11 由乘法公式,有(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-b)~2=a~2-2ab+b~2.相减,可得一个恒等式(a+b)~2-4ab=(a-b)~2.①然后,把左右两边拆开,令①式左边为0,则右边