柯西收敛准则(函数极限)充分性证明的另一思路

函数极限的柯西收敛准则在一般教材中是在海涅定理之后,本文给出的证明符合教材内容前后的逻辑关系,降低了教学难度。     

Cauchy中值定理的一个证明

数学分析中有三个中值定理,即罗尔(Rolle)定理、拉格郎日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理,其中Lagrange中值定理是Rolle定理的推广,Cauchy中值定理又是Lagrange中值定理的推广。可见,在这三个微分中值定理中,Cauchy中值定理是“最广”的一个”。在一般的数学分析教材中,Lagrange中值定理扣Cauchy中值定理的证明方法是先构造一个满足Rolle定理条件的函数,然后借助于Rolle定理加以完成。本文用逐步逼近的方法给出Cauchy中值定理的一个新的证明。     

连续函数性质的前置证明

连续函数是分析学研究的重要对象,特别是它在闭区间上所具有的良好特性是人们研究函数性态的重要手段之一.考虑到所用教材在该问题证明上的相对滞后性,本文先给出了一个引理,再结合书中前面的相关定理给出闭区间上连续函数性质的详细证明,以帮助学生加深对这些性质的理性认识和运用.     

复变函数中一个重要积分不等式的应用

本文总结讨论了复变函数中一个积分不等式在证明复变函数的四个重要定理时的应用,体现了该不等式的重要性,在复变函数教学中引起注意,对于学生的前后知识连贯,加深对复变函数积分的理解很有帮助。     

构造辅助函数在Lagrange和Cauchy中值定理中的应用

笔者首先给出Rolle定理的证明,在此基础上利用构造辅助函数法给出Lagrange中值定理和Cauchy中值定理一种新的证明方法。所用的方法简洁、规范,在教学中有很强的实用性。     

牛顿-莱布尼茨公式的一种证明方法

教科书中牛顿-莱布尼茨公式多是借助积分上限函数证明的,本文利用微分中值定理和定积分的定义给出了牛顿-莱布尼茨公式的一种证明方法,并作出了相应的几何解释,在该证明方法的几何解释中揭示了微分中值定理和积分中值定理的一致性。     

三角形三定理的统一性问题

众所周知,在任意三角形中存在对三角形的性质具有深刻影响并在测量学上有着广泛应用的三个定理:正弦定理,余弦定理和射影定理。对于这三个定理,中学数学教材上无论用什么方法所给出的证明几乎都是独立的。由于中学生的实际情况,并没有深入研究其内在联系。本文对这三个定理证明及其内在联系的研究涉及到代数,三角,几何的许多基本知识和     

Lagrange中值定理及其应用

本文介绍了Lagrange中值定理,结合几个常见的实例论述了Lagrange中值定理在证明不等式、证明等式、求函数极限、研究函数性态等几个方面的应用,从而加深对Lagrange中值定理的理解.     

积分中值定理的推广

积分中值定理是数学分析课程中的基本定理之一,从教材叙述的积分中值定理入手,给出积分中值定理的另一种形式,并对此定理加以推广,得出在原定理中函数f在闭区间[a,b]上连续这一条件可以减弱为f(x)在[a,b]上存在原函数即可。     

Cauchy积分公式及其导数公式证明在数学物理方法教学中的探讨

本文利用实变函数积分中值定理,并结合Cauchy积分定理在复围线推广形式,用实变函数积分的方法证明了复变函数论中的积分公式。并用复变函数求导函数的方法和数学归纳法证明了Cauchy型积分导数公式。证明过程简单易懂。     

应用Banach不动点原理证明隐函数存在定理

隐函数存在定理是高等数学中的一个基本定理。本文利用泛函分析中的Banach不动点定理 (压缩映象原理 )给出了该定理的证明 ,从而显示出高观点下处理数学问题的优势和深刻性。     

《平行线等分线段定理》说课

一、说教材(人教社九义教材三年制初中几何第三册 P176)(一)本课知识在教材中的地位及作用本节课内容是平行线等分线段定理及其两个推论。此前,我们学习了“作线段中垂线”的方法,利用此方法可将线段2、4、8……等分。然而利用“平行线等分线段定理”可以把一条线段任意地 n 等分。平行线等分线段定理是把一条线段任意等分的重要依据。平行线等分线段定理及其推论是证明两条线段相     

利用代数基本定理解多项式函数方程

本文利用代数基本定理,针对函数方程中较简单的一类多项式函数方程,在师专高等代数教材的多项式一章的基础上,将多项式作了一点拓展,目的在于加深对代数基本定理的理解和应用,帮助学生学好多项式。     

巧用微分中值定理

构建适当的辅助函数是证明一些与中值定理有关的题目的关键。本文针对一些题目的不同特征,给出了几种构建辅助函数证明题的方法。     

罗尔中值定理在高等数学竞赛题中的运用

结合江苏省高等数学竞赛题探讨中值问题中等式的证明,从罗尔中值定理的结构分析、求导法则的熟练使用以及辅助函数构造的对比分析三个角度出发,分析了罗尔中值定理在微分中介值问题证明中的运用.     

Picard定理的一个教学注记

在复变函数教学过程中一般都含有对著名的Picard大定理和小定理的介绍,甚至证明过程,但若未能明确指出Picard大定理与小定理的等价性,学生容易产生Picard小定理不蕴含大定理的错误猜测,这不利于学生对Picard定理以及学科发展的了解,它们其实是同样深刻的等价定理。该文旨在强调这一点,并利用正规族理论中的Zalcman-Pang引理证明了Picard大定理和小定理的等价性。     

Crame法则的简易证明

用矩阵的运算和矩阵的行列式对Crame法则给出了一个简易的证明,避免使用通常教材中证明必须使用Laplace展开定理。     

推广的黎曼引理在数学分析证明中的应用

本文介绍了推广的黎曼引理在傅立叶级数积分收敛证明中的应用,通过引入辅助函数和积分第一中值定理对 该定理进行了证明,然后将推广的黎曼引理用于黎曼引理的证明和数学分析中傅立叶级数积分收敛某些题的证明中,证明 比《数学分析》书中简洁,所证明的结果再用于计算题中,这样使抽象的数学证明和计算变得具有趣味了。     

van der Waerden函数底数的进一步推广

定理设uo(x)是x到与其最近的整数的距离,则对任意整数a≥2,函数在(-∞,+∞)内连续且无处可微。 函数f(x)的连续性的证明可参考(3),本文只证函数f(x)在区间     

浅谈中值定理在解题中的应用

微分中值定理是微分学乃至微积分学中最重要的基本定理之一.本文结合实例探讨了微分中值定理在解题中的具体应用,并讨论了在应用微分中值定理时辅助函数的构造问题.