不等式恒成立问题的分离参数解法

参数讨论是中学数学教学中的一个重点、难点问题,同时也是高考和数学竞赛试题中的热点问题．参数讨论的方法和题型多种多样,尤以不等式恒成立问题中求参数范围的题目更是屡见不鲜．笔者在文[1]中介绍了几种最基本的求解途径,但题目稍复杂一点用文[1]中的方法就无能为力了．为此本文试图通过分离参数的办法,使不等式恒成立问题转化为我们较熟悉的内容求解．     

圆锥曲线中参数问题的求解策略

求圆锥曲线参数a，b,c，e等的问题是解析几何中常见的问题，一直是高考的重点、热点，也是难点．一方面与圆锥曲线的几何性质密切相关．另一方面，是解析几何与函数、不等式、方程、三角等知识交叉、渗透的综合性问题．同时，高考中这类问题常以压轴题的面貌出现，一些考生望题生畏，茫然失措．因此，掌握这类问题的求解策略和方法十分重要．[第一段]     

巧用加零法,妙求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求3/cosx ＋2/sinx（o〈x〈π/2）的最小值． 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决,文[2]利用导数也将此问题获解,文[3]又利用基本不等式将此问题解决．受文[1]、[2]、[3]的启发,笔者经过研究发现,此问题可用加零法,引入参数也能很方便的求解．而且相比之下,此方法更为简捷,技巧性不强,更容易让学生接受与掌握．现将此问题的解答过程呈现如下：     

用导数限定法证明不等式

导数限定法常用来求解多元函数最值，证明不等式．其步骤是： （1）局部限定； （2）求导调整； （3）再限定调整，直至问题解决．[第一段]     

一类无理函数最值求法的再探究及其应用

文献[1]介绍了如何利用待定系数法和均值不等式求解形如Y=｜a｜√x^2＋bx＋c-dx（a,c,c∈R^＋,a〉d,b^2-4c〈0）的函数的最小值．文献[2]利用简单不等式     

一个代数不等式在三角上的应用

《中学数学月刊》在文[1]～[9]对一类三角问题作了十分有益的探讨．其解证方法生动活泼，绚丽多彩，引人人胜，富于启发．本文利用一个代数不等式来解决这类问题．[第一段]     

巧用｜｜a｜-｜b｜≤｜a｜＋｜b｜解题

我们知道，｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜对任意实数a、b恒成立．注意到这个不等式取等号和不取等号的条件，可以巧妙求解绝对值问题．[第一段]     

求解一类二元函数最值问题的松驰变量法

在本刊文[1]中，作者介绍了对下述二元函数最值的多种求解方法，但其解法1和解法2是错误的，本文首先指出其错误，再给出一种求解二元函数最值的新方法。     

两类不等式的完善

在不等式解题教学研究中，有两类分式不等式成为关注的热点，然而在众多研究文章巾，有的条件过宽，导致结论错瀑，如文[1]、文[2]（笔者在文[3]中指出）；有的条什过窄，导致应用范围缩小，如文[4]、文[5]．最近文[6]、文[7]对这两类不等式作了较深刻的探讨，但若从数学的完整性考虑，则结论还有待完善．     

例谈用｜a｜^2·｜b｜^2≥（a·b）^2求多元函数最值

本刊[1]用了10种方法，通过15个例题说明了多元函数最值的求法．受此启发，本将用向量中的重要不等式｜a｜^2·｜b｜^2≥（a·b）^2。来解决部分多元函数最值问题，权作对[1]的补充．[第一段]     

巧用基本不等式妙求3/cosx＋2/sinx的最小值

问题 求3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）的最小值。 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决,文[2]利用导数也将此问题获解．经笔者研究发现,此类问题用基本不等式也能很好的解决,而且相比之下,较文[1]和[2]似更巧妙、明快、简捷一些,给人们一种耳目一新的感觉．现将此问题的解答过程表述如下．     

一类双重最值问题的优解

[1]通过三道数学竞赛试题总结出一类多变量双重最值问题的求解策略，[2]改进了[1]繁琐的解法。考虑到“数学的本质往往是最简单的”，本欲通过建立关于“最大值”或“最小值”的不等式，然后用解关于“最大值”或“最小值”的不等式的方法求出此类问题的双重最值。以下通过[2]中的两道例子加以说明。     

关于复矩阵乘积的特征值的两点注记

本文给出了两个复矩阵乘积的特征值的取值范围．从而推广了文[1]的一个主要结果．此外，指出了文[2]中的一个错误，给出了一个不等式．     

一类对称不等式的另证

文[1]用拆2化1证法统一证明了《数学教学》问题解答中出现的几个问题．笔者发现，此类问题若利用不等式等号成立的条件，配凑后使用均值不等式，则会更简单．本文以文[1]中的例1、3、4、5、6、7为例，对这一类对称不等式进行证明（例2使用数学归纳法会更简单）．     

一道竞赛题新探

文[1]、[2]分别用三角换元、构造二次函数、柯西不等式给出证明，并对命题的结论和条件进行推广．     

浅析二元表达式取值范围的确定

二元表达式是指含有两个变量的表达式，其取值范围的确定，通常有三种方法，一是把二元函数问题转化为一元函数问题求解；二是直接利用基本不等式求解；三是利用二元表达式的几何意义求解．下面通过例子具体说明：[第一段]     

一个条件不等式的另一推广

已知a，b〉0，a^3＋b^3=2，则a＋b≤2．对此流行不等式，文[1]作了推广：ai〉0，i=1，…，n,∑ni^m=a1^m＋…＋an^m=l（2≤m∈N），则∑ai≤（mn＋l-n）/m．现给出另一推广.     

用函数的凸凹性证明不等式

如果f＂（x）＞0（a＜x＜b），则曲线y=f（x）[a，b]上，[1]说是凸的，[2]说是凹的，教辅书[3]说是下凸的，因此，导致三难，用起来很不方便．在拜读了叶彦谦老先生译《微积分学教程》（人民教育出版社1956年新1版）后，并思索看图习惯，函数的凸凹性应是：     

再谈一类与自然数有关命题的证明

对于一类与自然数有关的等式或不等式的证明题 ,“文 [1]给出了二个定理 ,方法虽好 ,但却增加了记忆负担 ;文 [2 ]给出了不借助辅助定理直接证明的方法 ,虽然操作起来更容易 ,但其关键步骤 (即构造相关的不等式或等式 )不易想到” [3];文 [3]所述方法是以数学归纳法证题思路入手 ,先假设ｎ- 1时命题成立 ,再看ｎ时要探讨什么 ,据此“分析”一步 ,再行证明 ,也不轻松 .能否在文 [1]、[2 ]所述求解思路的基础上 ,提出一种既不“增加记忆负担” ,又非“不易想到” ,且较 [3]简便、易于操作的方法呢 ?其实 ,利用众所周知的命题“对于数到 {ａｎ}…     

若干代数不等式的简证与讨论

宋庆老师在文[1]中讨论了若干代数不等式问题,其证明过程所采用的方法具有代表性,值得学习．本文对其中两道例题进行讨论,给出较为简洁的另解,并证明了文[1]末提出的两个不等式猜想．