一个三种群生物模型的定性性质

本文讨论一个密度制约的、相互竞争的三种群生物模型其中α＞0为密度制约系数，β＞0，γ＞0为竞争系数，当α=β=γ时，系统（1）有轨线X1=c2x2=c3x3，本文不再讨论，以下总假定α、β、γ不全相等。易知，系统（1）至多有八个平衡点：O（0，0，0），A（，0，0），B（0，0），C（0，0，），D（0，），系统（1）的导算子为特征根，原点为不稳定平衡点，即从中原点附近出发的轨线都将远离原点并保持在中，在生物学上，这意味着三个种群的数量都将增加并且都不会灭绝。特征根均小于零，平衡点A渐近稳定。即从R3十中A点附近出发的轨线都将…     

一个三角不等式的证明与应用

定理 对于αi,βi,γi∈（0,π）,其中i=1,2,且α1＋α2＋β1＋β2＋γ1＋γ2=2π则sinαisinβ1sinγ1＋sinα2sin2sinγ2≤2sin（α1＋α2）/2 sin（β1＋β2）/2sin（γ1＋γ2）/2（1）当且仅当α1=α2,β1=β2,γ1=γ2时,（1）式取等号。     

函数方程问题的常用解法

用函数方程定义的函数比较抽象，由于没有具体的解析式来明确表出，给研究函数的性质带来一定的困难，鉴于这类问题经常在考试中出现，因此我们在教学中给予足够的重视，并总结出如下一些解法，供学生参考．1代换法例1定义在R上的函数y一八X）满足人2＋X）一八2一X），老人X）为偶函数且XE［0，Zj时，八X）一ZX－1，求XE［－4，o）时八X）的表达式．八L）一八L＋2），所以八X）的周期为2．例4函数人X）对任意实数工，y满足f（）十八／一八X＋”＋2，当X＞0时，f（）＞2．（1）求证人X）在R上是增函数；（2）当人3）一5时，解不等式…     

1999年全国高中数学联赛第三题简解

已知当x∈［0，1］时，不等式xZcos6－x（1－x）＋（1—x）’sin6＞0恒成立，试求0的取值范围．这是1999年全国高中数学联赛第三题，原解利用形式上的特点去配方，因配方不可避免地出现根式，故较为繁琐．其实，将它化为X的二次三项式，便可利用二次函数的性质简便地解出，观介绍如下；令人工）ZX’COS0—S（－S）＋（I－x）’sin6，即f（x）一（1＋sin0＋cos0）x’－（1＋Zsin0）x＋sin6于是原题便化为：当XE〕，河时，f（X）＞u但成立，求0的取值范围．解Yf（）Zsin6＞0，f（1）一cos8＞0，．．．Zkff＜6＜Zk7t十号．（足6Z）－”…     

算子在解析函数上的应用

用A表示在E={z：｜z｜〈1）内解析，具有形式f（z）=z＋^∞∑n=2 anzn的全体函数组成的类。当f∈A时,记S^＊（γ）,C（γ）,K（β,γ）,K^＊（β,γ）为γ阶星象函数，γ阶凸象函数，γ型β阶近于凸函数，γ型β阶拟凸函数类，0≤β〈1,0≤γ〈1.用算子D^α刻划上述四个函数类的新子类Sα^＊（γ）,Ca（γ）,Kα（β,γ）,Kα^＊（β,γ）建立了包含关系。     

碱基互补配对的一个"万能公式"

知识点“碱基互补配对原则”在“DNA分子结构与复制”一节中是一个重点，相关计算是一个难点，不少学生由于方法不当经常出现错误。众多教辅材料中有下列“公式”：①Aα=Tβ，Aβ=Tα；②Gα=Gβ，Gβ=Ga；③若α链中：（A＋G）／（T＋C）=m，则β链中（T＋C）／（A＋G）=m，（A＋G）／（T＋C）=1／m；④若α链中：A＋T=n％，则整个DNA分子中，A＋T=n％，C＋C=1-n％。     

一个二元函数的最大值及应用

定理 若x，y∈[α，β]（0〈α〈β），则 y/x＋x/y≤β/α＋α/β,（1） 当且仅当x=α，y=β或x=β，y=α时等号成立．[第一段]     

三角形三边长的一个不等式

本文先给出关于三角形三边长的一个不等式，然后由此导出三角形中关于三边长的一系列有趣的不等式．定理设α、b、c表示△ABC的三边长，证当α、β、γ中只有一个为零时，不妨设α=0，这时β与γ互为相反数，显然（1）式成立：当α、β、γ中有两个为零时，另一个必为零，这时（1）成为恒等式0＝0，显然成立．现设α、β、γ都不为零，那么α、β、γ则必不全同号，不妨设β与γ同号，则综上，（1）式成立，证毕．在不等式（1）中，灵活地对α、β、γ赋值，可得关于三角形三边长的一系列有趣的优美不等式．例1在△ABC中，令整理即得1964…     

一个数学问题的变式探究与应用

问题：如图1,电影屏幕的上下边缘A、B到地面的距离AD=a、BD=b（a＞b）,屏幕的正前方地面上一点P,求视角∠APB的最大值,以及当∠APB最大时,P、D两点的距离.解：设∠APB=β,∠BPD=α,PD=x,则因为β为锐角,所以当tanβ最大时,∠APB最大.由tan（α＋β）=a x,tanα=b x得tanβ=tan（（α＋β）-α）=a x-b x/1＋a x·b x=a-b/ x＋ab x≤a-b/2√ab,当且仅当x=ab/x即x=√ab时,tanβ有最大值a-b/2√ab.故得结论。     

高等数学在解决初等问题中的应用

用高等数学知识来解决初等教学的有些问题很方便。比如：判断函数的单调性及利用函数单调性来证明不等式。例1判断函数f（x）＝Zx＋slllx的单调性。解：对f（亚球导数f,（x）＝2＋。＜0,故f（x浓卜co＋co）上是单调递增的。例。…加）＝＞的…””乙””—’——“’“’J＋十广“—”q—解：对人x）求导数f,（x）＝＝＝＝＝。。”＋“”－’”””“““”－”（f＋X＋l）2因（／＋X＋l）“＞0所以当X＞一步时f’（）＜0,当X＞一步时1（X）＞0””——”””～”‘——”一2—”“”～”””’”一2—““”～”—一故函数人J在（…     

一类对数方程的推广

一次，老师在数学课上要我们解方程lg（x＋11）＋1＝lg（11x－1）．解原方程可变为得原方程的解为x＝111．如果把其中的11变成10或9时，结果如何？变式（1），解方程lg（x＋10）＋1＝lg（10x－1）．解原方程可变为lg（10x＋100）＝lg（10x－1），得X无实数解．变式（2），解方程似X＋9）＋1一议gX一1）．解原方程可变为得X无实数解．由上述方程，我们想如果把这个常数变为a，又会怎么样呢？那就是解方程似三十a）＋l一议ax－1）．解原方程可变为．．．当a＞10时，方程有实数解；当a＜l时，方程无实数解．上述方程都考虑底数为10的对数方程…     

(五)方程(组)与不等式(组)测试卷(A卷)

一、填空题（每空3分，共54分）；1．方程x2＝5x的解是；2方程x2-2x－4＝0的解是；3．方程x4－5x2－6＝0的解是；4方程的解是；5方程“’”“一【十3，’－2“””“—儿，s．方程xtwsx＋／7河南一ti的解是、；6方程X’一2人一8一0的解是、；7不等式K一2。＞3的解集是；8．不等式X’一4x－12＜0的解集是9．不等式军二＜l冬的非负整数解是；”“一3～3”“”「”“”’”“”10．若关于工的方程m’x’＋（Zm＋l）x＋l—0有两个不等实根，则m的取值范围是；11．已知方程（m－1）x’＋2（m－l）x＋2（。＋3）一0，当m一时，方程有两个相等实…     

三十个有趣的不等式问题

1.已知α,β,γ∈（0,π/2）,且tanα＋tanβ＋tanγ=3,求证： 1/cosα cosβ＋1/cosβ cosγ＋1/cosγ cosα≥6.     

谈谈一元二次方程及其解法

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是注意是一元二次方程中一个重要的隐含条件．当。＝0，b一0时，方程成为一元一次方程bC＋“一队解一元二次方程一般有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．选用什么方法来解方程，应根据方程的特．大米决定．一、直辖于平方法估用于一元二次方程缺少一次项或l（＋。小一n（a学0）型的方程．例1解方程：（）（X＋3）（X一引一7；（2）16（又一1）‘一9．解（1）原方程可化为X’－9一7，即X’一16．两边开平方，得X一上4．JI＝4，工…     

一元二次方程中字母系数的求法

纵观近几年各省、市的中考题．求一元二次方程中的字母系数的题目时有出现．本文将其解法归纳总结如下．一、利用方程的定义来解例I（，，x。－nx—2灯“＿。xx＋3—0是关于。的一元二次方程，则IIL的取值范围是（）（A）1／n一一1；（B），11学2；（Ch，I一一1旦I。I＞2；（D＞～切实数．．（1994年贵阳市中考试题）解由一元二次方程的定义知，Ill。一Ill－2一0．即（，。L一2）（，。L＋1）羊0．，，。一2且。一一I．故应选出X二、利用根的判别式来解例2当，。l的取值为时，关于。的一元二次方程h，，＋fo’＋ZIII。＋I。。一3—…     

一个三角不等式证明方法的改进——兼谈"分段线性估计法"

文[1]给出如下一个命题： 命题A设0〈α,β,γ〈π/2,且sin^3α＋sin^3β＋sin^3γ=1,则tan^2α＋tan^2β＋tan^2γ≥3/3√9-1.     

一元一次不等式(组)中考试题集锦

一、填空题1.已知代数式9－3a，当a＿＿＿＿时，它的值大于零；当a时，它的值小于零．（1994年．河南）2．当a时，一元一次不等式ax＋3＞0的解集为x＞（1988年，西藏）3．如果关于x的方程（1－m）x＝1－2x的解是一个负数，那么m的取值范围是（1989年．山东）4.不等式的非负整数解为（1992年，山西）5.求不等式的正整数解为．（1989年，贵阳）6.不等式组的解集是（1993年，甘肃）7．不等式组的解集是（1994年，四川）二、选择题1．使代数式的值为非负整数的m的取值中，最大的一个是（A）0；（B）4；（C）－2；（D）2．（1994年，四川）2．…     

一类奇异三阶三点特征值问题的非平凡解

考察了非线性三阶三点特征值问题 {u^m（t）＋λf（t,u（t）,u′（t）,u″（t））=0,0〈t〈1, u（0）=a,u′（η）=βu″（1）=γ, 其中非线性项f（t,u0,u1,u2）是一个强Caratheodory函数．证明了当a^2＋β^2＋γ^2〉0或者∫1 0｜f（t,0,0,0）｜dt〉0时存在λ^＊〉0使得对于任何0〈λ≤λ^＊,此问题至少有一个非平凡解。     

受控的独立随机变量和的一个极限定理(英文)

本文讨论了受控独立随机变量序列的部分和的极限问题，证明了当控制变量X满足E|X|＜∞，数列{αn}满足αn＞0，αnn-1↓b（b＞0），αn2n-1↑∞时，     

一道竞赛难题的巧解

一九九六年全国初中数学联赛第二试中有这样一道题：a、b、c均为自然数，二次函数y—ax‘＋by＋X的图象与X轴的两个不同的交点为A、B，且A、B到原点的距离都小于1．试求a＋b＋c的最小值．《初中生数学学习》杂志在今年7—8期（（19年全国初中数学联赛试题解答及部分试题背景探源）｝中给出了如下一种解法．【解］设A、B两点的坐标为（X；，0）、（。‘。，o）且XI＜XZ．依题设卜；卜1，卜。KI，又a、b、c＞0，b抛物线的对称轴X—一大＜0．。。。——。。，’。、J、。一山又抛物线y二ax’＋bx＋c与y轴的交点为C（O，C）且C＞0，；…