小条件 大问题——对一个轨迹问题的一点注解

文[1]得到了椭圆互相垂直的切线的交点的轨迹的一个结论,记为命题1：设l1,l2是椭圆x/a2＋y/b2=1（a＞b＞0）的两条切线,且l1⊥l2,l1,l2交于点P,则点P的轨迹是圆x2＋ y2=a2＋ b2.     

一道数学奥林匹克试题的推广

文[1]介绍了一组“世界各地数学奥林匹克试题”(文[1]未注明时间及出处)．第5题点M是△ABC的边AC上一点,以BM为直径的圆Γ交AB,AC于点P,Q,圆Γ在P,Q两点处的切线相交于点R．当点M变动时,求点R的轨迹．本文旨在对这道数学奥林匹克试题加以推     

也谈椭圆切线的作图法

文[1]利用辅助圆,解决了圆锥曲线上任一点的切线的尺规作图问题.文[2]介绍了圆锥曲线准线的5种作法,其中作法4是利用圆锥曲线的切线作图.本文利用文[2]作法4所提供的命题1,简单的处理圆锥曲线上任一点处的切线的尺规作图问题,同时解决当点在椭圆外的时候,切线的尺规作图问题.     

双曲线定点弦的一个结论

文[1]介绍了椭圆定点弦的一个结论:命题设P是椭圆x2/a2+y2/b2=1上任意一点,M(-λ,0),M2(λ,0),(其中λ∈R,λ≠0,λ≠±a)是x轴上的两个定点,直线PM1,PM2分别与椭圆相交于P1,P2,过P1,P2的切线交于P′点,则点P′的轨迹     

抛物线两弦端点处切线交点的两个有趣性质

文[1]给出了椭圆两弦端点处切线的两个有趣性质,作为文[1]的补充,文[2]给出了双曲线两弦端点处切线的两个有趣性质.作为文[1]和文[2]的又一补充,本文给出抛物线在两弦端点处切线的两个有趣性质.     

与圆锥曲线的切线有关的一个结论及证明

文[1]给出了与抛物线有关的若干性质,其中性质1如下:已知抛物线C:y=px2,过Q(0,b)(b>0)的任一直线与曲线C交于M,N两点,过点M和N的切线的交点R的轨迹方程为y=-b.     

圆锥曲线切线的又一种几何作法

文[1]、[2]提出的几种圆锥曲线的切线的几何作图都是以先作出焦点为切线几何作法的必要条件。本文给出一种不一定借助焦点的圆锥曲线的切线的几何作法。 为作图方便,我们把“圆锥曲线的对称轴的几何作图”作为读者已知的基本作图问题而直接引用(见文[2])。另外过已知点作圆锥曲线的切线,有两种情况,就是点在曲线上和点不在曲线上,点不在曲线上时所指的点是使切线存在的点     

圆锥曲线切线的尺规作图

已知Q(x0,y0)是椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a＞b＞0)上一点,求作过Q点的切线,文[1]给出了一种尺规作法,若Q在非顶点处,文[1]作法的实质是:取点P(x0,(ay0)/(b)),作PN⊥OP(O为坐标系原点),交x轴于N,则直线NQ为所求的切线.     

再谈一条美妙性质

文[2]对文[1]作了推广,文[2]中定理如下:定理:过圆锥曲线准线上一点,作该曲线的两条切线,两切点所在直线过相应焦点(其中双曲线准线上的点应在两渐近线之间).笔者受其启发,对文[2]再作推广如下:定理:直线z与圆锥曲线无交点,P∈l,过P若存在两条直线与圆锥曲线相切,则两切点所在直线恒过定点,并以该定点为中点的弦平行于直线 l.证明:设直线 l 方程:Ax By C=0(C≠0),两切点为 M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_0,y_0).     

用超级画板探究圆锥曲线的垂足曲线

1.引言 所谓垂足曲线,文[1]指出:在平面内,已知曲线c和定点,从定点向曲线c的任意切线作垂线,垂足的轨迹叫做曲线c关于这一定点的垂足曲线.文[1]特别介绍了圆锥曲线关于焦点的垂足曲线:椭圆关于一个焦点的垂足曲线,是以长轴为直径的圆,如图1;双曲线关于一个焦点的垂足曲线,是以实轴为直径的圆,如图2;抛物线关于焦点的垂...     

双曲线两弦端点处切线的两个有趣性质

文[1]给出了椭圆两弦端点处切线的两个有趣性质,作为文[1]的补充,本文给出双曲线在两弦端点处切线的两个有趣性质．     

从切线概念的理解到数学课堂教学

文[1]就切线概念的理解及一个“常见”的误区提出了自己的观点,并且就切线问题的实际来源给出了正确的解释．对于文[2]产生的错误,文[1]仅就事论事地评析了错误产生的原因,没有从切线概念的理解及曲线切线的求解与数学课堂的教学的角度去剖析当前的数学课堂教学现状及教师队伍素质分析．     

导数应用的常见错误

1混淆曲线y=f（x）在点P处的切线与过点P的切线 例1已知曲线y=1/3x^3上一点P（2，8/3），求过点P的切线方程．[第一段]     

对一个动点轨迹的再研究

文[1]研究了这样一个动点的轨迹问题:问题Rt∠POQ的顶点O是定点,直角边上的动点P、Q在某定曲线上,若OM⊥PQ于点M,动点M的轨迹是什么?     

再探究x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2的关系

贵刊文[1]给出了直线x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2圆的关系：结论1 已知圆O：x^＋y^2=r^2,点P（x0,y0）.（1）若点P（x0,y0）在圆上,过点P的圆切线方程为x0x＋y0y=r^2;（2）若点P（x0,y0）在圆外,过点P向圆引两条切线,两切点A、B两点,过A、B两点的两条切线交点的轨迹方程为x0x＋y0y=r^2.     

有心圆锥曲线的一个性质的推广

1引言文[1]给出了有心圆锥曲线22ax2±by2=1上一点P,PP'为曲线的直径,点Q为过P点切线与x轴的交点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,P'M,P'N分别交x轴于M0,N0,则总有OM0=ON0.文[1]未指出:文中的性质能够推广到更一般的情形吗?回答是肯定的,我们有:推广设P为有心圆锥曲线22xa2±by2=1上一点,PP'为曲线直径,点Q为过P点切线上任意一点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,直线QO交P'M,P'N分别于M0,N0,则总有OM0=ON0.2推广的证明分两种情况(1)当曲线为22ax2 by2=1时,如右图.设P(a cosθ,bsinθ),则P'(?a cosθ,?b sinθ),过P点的切线方程为…     

从切线概念的理解到数学课堂教学

文[1]就切线概念的理解及一个"常见"的误区提出了自己的观点,并且就切线问题的实际来源给出了正确的解释.对于文[2]产生的错误,文[1]仅就事论事地评析了错误产生的原因,没有从切线概念的理解及曲线切线的求解与数学课堂的教学的角度去剖析当前的数学课堂教学现状及教师队伍素质分析.本文     

圆锥曲线切线性质在高考试题中应用

文[1]证明:对于圆锥曲线C,过点P(x0,y0),任作直线l交圆锥曲线C于M,N两点,若圆锥曲线C在点M、N处切线的交点为Q,则点Q在一定直线上.     

圆锥曲线切线的尺规作图

已知Q(x0 ,y0 )是椭圆x2a2 y2b2 =1 (a>b>0 )上一点 ,求作过Q点的切线 ,文 [1 ]给出了一种尺规作法 ,若Q在非顶点处 ,文[1 ]作法的实质是 :取点P(x0 ,ay0b) ,作PN⊥OP(O为坐标系原点 ) ,交x轴于N ,则直线NQ为所求的切线 .我们指出 ,当b>a>0时 ,这种作法同样正确 ,过双曲线上一点作双曲线的切线也有类似的作法 .已知双曲线 x2a2 - y2b2 =± 1上一点Q(x0 ,y0 ) ,过Q点的切线方程是x0 xa2 - y0 yb2=± 1 ,当Q不是顶点时 ,该切线的斜率为b2 x0a2 y0.下面给也切线作法 :作法 :( 1 )若Q为双曲线顶点 ,则切线垂直于Q点所在的轴 .( 2 )或Q…     

对一道高考试题的再探究

文[1]就2004年福建省高考理工类22题、文史类21题给出了受限动弦中点轨迹方程的一般形式,本文就此涉及的问题给出中心(或顶点)在动弦上射影的轨迹方程.并予以推广.定理1椭圆22xa2 by2=1的弦PQ垂直于过P的切线.则中心O在弦PQ上的射影D的轨迹方程为:22222222(x y)(xa2 by2)=(a?b)