无字的证明

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无字的证明

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余弦定理的无字证明

余弦定理｛a^2=b^2＋c^2-2bccosA b^2=a^2＋c^2-2accosB c^2=a^2＋b^2-2abcosC} 指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,就可以求得第四个量．对于余弦定理,教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．根据三角形全等的判定方法,已知三角形的两条边及其所夹的角,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．解这个三角形,就是从量化的角度来研究这个问题．现行教科书先考虑如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边,设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的公式,并利用向量的数量积证明了余弦定理．本文将给出余弦定理C^2=a^2＋b^2-2abcosC的其他几种简洁证法．     

基本不等式的无字证明

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从一则无字证明谈起

多年前，曾在美国的数学网站上看到这样的一个图片（图1），只有图片，没有文字说明．当时，笔者很迷糊，在大正方形当中作两个小正方形和√2有什么关系啊？     

无字证明及其教育价值

1引言：近年来,以美国Lewis＆Clark大学教授Roger B．Nelsen为首的一些数学家特别关注将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现,这就是所谓的“无字证明”（proof without words）,其内容涵盖代数、几何、三角、微积分以及组合数学等众多数学分支,     

一个不等式的优美证明

试题(2013年国际数学奥林匹克试题)已知a,b,c,d是满足abcd=1的正数,求证(a-1)(c+1)/(1+bc+c)+(b-1)(d+1)/(1+cd+d)+(c-1)(a+1)/(1+da+a)+(d-1)(b+1)/(1+ab+b)≥0这是2013年国际数学奥林匹克的不等式证明题,她是一个结构简洁对称     

无字证明在数学教学中的应用

无字证明是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形,可能包含数学符号、记号、方程,但不附带文字.本研究建议在高中数学教学中融入无字证明,实施基于无字证明的留白教学.具体而言,教师需要在课前遵循五项原则对现有无字证明进行设计,使其适合于课堂教学.在课堂中,教师可以按照“分组研讨,小组补白”“小组展示,分享论证”“教师点拨,完善补白”的流程开展教学.     

对勾股定理的一个无字证明的研究

九年义务教育课程标准实验教科书初二年级上册第58页“§14．2勾股定理的应用”的“做一做”： 如图1，以直角三角形ABC的三边为边分别向外作正方形，其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形．试将图中5个带阴影的图形拼入到大正方形中，填满整个大正方形．     

数学证明及其优美性

过去数学证明通常简捷而优美 ,但现在它们更像是洋洋洒洒的《战争与和平》甚至枯燥无比的电话簿。人们不禁质疑 :优美的数学证明是否已经成为一种失去了的艺术 ?欧几里德以简捷、优美、充满智慧的数学论证为世人所仰慕。人们都为数学的优雅和数学世界的美丽而惊叹 ,也为能理解其证明的正确性而高兴。性情古怪但又聪明绝顶的数学家ＰａｕｌＥｒｄｏｓ断定上帝有一本关于所有最佳数学证明的书。在他看来 ,数学家的工作就是越过上帝的肩膀偷看一下那本书 ,并将上帝的智慧传递给人类。但是现在看来这种简单、优美的方法只是几种数学证明方法之一…     

运用判别式△证明不等式

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≥0;若a<0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≤0. 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,则△=b2-4ac≥0. 以上性质,我们可以用来证明不等式. 例1 已知a,b∈R,且b>0.求证:a2+b2>3a-2ab-3. 证明:被证不等式可变形为     

正弦定理的一个优美的证明

正弦定理:若△ABC的外接圆⊙O的半径为R,则证明:先证 .分三种情况证明.     

几个优美代数不等式的证明

宋庆老师在文[1]提出了4个猜想,经探讨发现,这4个猜想均成立.今给出完整证明,以供读者学习参考.猜想1 已知a,b,c是满足5a＋12b＋13c=60的非负数,求证：5ab＋12bc＋13ca≤180.证明：令5a=x≥0,12b=y≥0,13c=z≥0,则a=1/5x,b=1/12y,c=1/13z.原不等式等价于：已知x,y,z是满足x＋y＋z =60的非负数,求证：1/12xy＋1/13yz＋1/5zx≤180.     

第9个优美不等式的证明

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一个优美不等式的证明及应用

《数学通报》99年第 9期“从一道习题到两个优美的不等式”一文的结尾给出了如下的一个猜想 :设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ (ｉ =1、2 ,… ,ｎ) ,ｎ≥ 2 ;α >0 ,则Σｎｉ=1ａα 1 ｉｂαｉ≥Σｎｉ =1ａｉ) α 1(Σｎｉ=1ｂｉ) α当且仅当 ａｉΣｎｉ =1ａｉ=ｂｉΣｎｉ =1ｂｉ时等号成立。本文将给出严格的证明 ,并用它将《数学通报》问题 893作广泛的推广 ,从中可初步看出它的应用前景。一、不等式的证明证明 :原不等式等价于(Σｎｉ=1ａｉα 1ｂαｉ) (Σｎｉ =1ｂｉ) α≥ (Σｎｉ=1ａｉ) α 1 ( 1)若记λ =Σｎｉ =1ｂｉ,则(Σｎｉ=1·ａｉ…     

一个优美不等式的推广及证明

文【l]给出了一对非常优美的姐妹不等式:设a、b、c都是正数,且a十b c二1,则有1、,l,、,1、、,7、1,‘、(下午一一a)(一一b)(一今:一e)李(于)j(l)、b e一尹、e a一/、a b”/一“6‘、‘’〔只一 。)(-」- b)卜冬二十。)李(毕),(2)、b c一产、c a一尹、a b一/一、6了、一     

第8个优美不等式的证明

笔者利用构造辅助函数及导数方法证明了安振平老师提出的一个不等式问题.