一道世界数学团体锦标赛试题的研究

题目二次函数,f（x）=-x^2＋bx＋c的图象与x轴相交于点A和点B．     

对一道希望杯赛题的赏析及思考

赛题 如图1,已知二次函数y=-x^2＋2x＋8的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其顶点为D．     

第3课时 二次函数与一元二次方程

知识梳理 1．二次函数与一元二次方程之间的关系． （1）抛物线y=ax^2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根． （2）一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根可以看做抛物线y=ax^2与直线y=-bx-c交点的横坐标．     

一元二次方程实根分布新探

设一元二次方程αx^2＋bx＋c=0（α≠0）（1），其实根为x1，x2．对应的二次函数为f（x）=αx^2＋bx＋c（α≠0），则f（0）=c．     

二次函数零点与二次方程根的分布处理策略

1一元二次函数图象与一元二次方程根的关系一元二次函数f（x）=ax2＋bx＋c（a〉0）一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a〉0）Δ=b2-4ac.1）当Δ〉0时,f（x）的图象与x轴有2个交点,f（x）=0有2个相异实根;     

两点间距离公式及其在中考中的应用

二次函数y=ax^2＋bx＋c的图象（抛物线）与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应的一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两个实数根,抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：     

“二次”联姻 真情伴永远

一元二次方程船ax^2＋bx＋c=0与二次函数y=ax^2＋bx＋c（a、b、c为常数。a≠0）在形式上几乎相同．这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切．实际上当y取0时。二次函数就变成一元二次方程;而一元二次方程的根,也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．由此可见,方程中的很多知识点可以运用到函数中．下面,我们就采撷2007年相关中考试题以窥一斑．     

两根之差公式的解题功能

若一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的两交点间的距离为两根差的绝对值：｜x2-x1｜=√（x1＋x2）^2-4x1x2=√b^2-4ac/a,利用这个公式可以很方便地解决与此有关的较棘手的一些问题．     

基础练习

一元二次方程 1．下列方程中,关于x的一元二次方程是（ ） A．3（x＋1）2=2（x＋1） B.1/x2＋1/x-2=0 C.ax2＋bx＋c=0     

二次函数与一元二次方程关系的应用

二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的关系是：二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根;反之,一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的根是二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标.它们之间的这种关系在求解相关的问题时,如果能够灵活地运用,则不仅可以使解题过程大为简化,而且还可以获得巧解.     

用二次函数的图象求一元二次方程中的参数

周知,一元二次方程ax~2÷bx c=0(a≠0)的根与二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象之间有着密切的联系。在探求二次函数的图象与x轴有无交点的的问题中常利用一元二次方程的根的情况来考察;反之,也可以从二次函数的图象的某些特征来考察一元二次方程的根的情况。本文对系数含参数的一元二次方程已知根的某些性质,利用二次函数图象的特征来求出参数这个问题作一探讨。 例1 已知关于x的方程2x~2-6x 3m=0的两个实数根都大于1,求m的取值范围。 分析:学生往往用韦达定理来解如下: 设方程2x~2-6x 3m=0的两根为x_1、x_2。     

根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根x1、x2,那么x1＋x2=-b/a,x1x2=c/a,这就是一元二次方程根与系数的关系．这两个关系式的应用十分广泛．     

巧用对称轴 解题不用愁

性质 二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象经过（x1,m）、（x2,m）两点时,则该二次函数图象的对称轴为直线x=x1＋x2/2,证明略。     

别证与体悟

问题 （江苏省盐城市2008年2月调研卷试题）设函数f（x）=-x^3-2mx^2-m^2x＋1-m（其中m〉-2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x＋12平行。     

剖析三个“二次”的联系

三个＂二次＂即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式,它们是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系,也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.一、重点知识归纳1.二次函数的表达式.设二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c,则f（x）=a（x＋b/（2a））^2-（b^2）/（4a）＋c.     

利用根与系数关系解题

如果一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1、x2,则x1＋x2=-b/a,x1·x2=c/a．我们称这一结论为一元二次方程根与系数的关系,利用这一关系,可以解决许多与一元二次方程根有关的问题．现举例说明．     

一元二次方程与二次函数的关系探究

一元二次方程ax^2＋bx＋C=0（a≠0）,二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）在形式上几乎相同,差别只是一元二次方程的表达式等于0,而二次函数的表达式等于Y．     

一元二次方程及其解法

一、一元一次方程的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是一’＋bC半C—0（。学0）．注意。学0是一元二次方程的一个重要隐含条件，解有关一元二次方程的问题时，必须挖掘和应用这个隐含条件．否则将会导致谬误．例1当m时，关于x的方程（m‘－3m＋2）x’＋（m－2）x＋7—0是一元二次方程．解由一元二次方程的定义知，当m‘－3mWe2－0时，即mwtl且m－2时，（m‘一3m＋2）x’＋（m－2）x＋7—0是一元H次方程．二、一无二次方程的解法解一元二次方程的基本方法有：（1）直接开平方法；（2）…     

中考中的抛物线变换问题

1．平移 例1已知二次函数y=（t＋1）x2＋2（t＋2）x＋3/2在x=0和x=2时的函数值相等．     

利用一元二次方程根的定义解题

若x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，则有ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0．反之，若ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0，且x1≠x2，则x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根。