利用组合意义证明恒等式

现行高中数学课本里有这样一道习题:证明(C_n~0)~2+(C_n~1)~2+…+(C_n~n)~2=(2n)!/n!·n!。教材提示利用(1+x)~n·(1+x)~n=(1+x)~(2n),比较等式两边的展开式中含x~n项的二项式系数。除此之外,还可从组合意义     

高考二项式定理问题分类解析

一、展开式中的某一指定项例1(2004年河南、河北、山东、山西、安徽、江西高考题)(2x3-1x姨)7的展开式中常数项是()A.14B.-14C.42D.-42解析Tr+1=Cr7(2x3)7-r(-1x姨)r=(-1)rCr7·27-r·x21-7r2,由题意知21-7r2=0,得r=6,即展开式中常数项是第7项,T7=(-1)6C67·2=14,故选A.评析直接利用通项公式进行求解.二、求展开式中某一指定项的系数例2(2004年甘肃、新疆、宁夏、青海高考题)(x-1x姨)8展开式中x5的系数为_____.解析利用公式Tr+1=Crnan-rbr求得Tr+1=(-1)rCr8x8-3r2.令8-32r=5,得r=2,进而得到x5的系数为28,故填28.例3(2004年江苏高考题)…     

六考二项式系数

一考:求中间项的系数[例1]求(x~(1/2)-1/(x~(1/3))~(10)的展开式的中间项的系数。解:∵T_(r+1)=C_(10)~r(x~(1/2)~(10-r)(-1/(x~(1/3))~r,∴展开式的中间项为C_(10)~5(x~(1/2))~5 (-1/(x~(1/3))~5=-252x~(5/6)即中间项的系数为     

二项式定理及其应用

内容概述二项式定理(a+b) (n∈N)是二项式n次幂的展开式.其通项公式即第r+1项是Tr+1=Crnan-rbr(O≤r≤n),通项公式主要用于解决某个特定项问题.而二项展开式系数Crn有如下一些性质在解题中经常用到. 1.组合恒等式:Cn-mn=Cmn. 2.当n为偶数时,中间项Tn/2+1的二项式系数最大;当n为奇数时,中间二项Tn+1/2+1和Tn+3/2+1的二项式系数相等且最大.在解决展开式中绝对值最大的项等一类问题:常需解不等式|Tr+1|≥|Tr|和|Tr+1|≥     

二项式系数教学一得

教材(指六年制重点中学《代数》第三册)P83第24(2)题:在(1+x)~3+(1+x)~4+…+(1+x)~(n+2)的展开式中,求含x~2项的系数。同学们解到C_3~2+C_4~2+…+C_n~2+2这一结果就认为做完了。我引导同学联想已做过     

浅析数学中的概率与统计

<正>在高中概率与统计中存在很多种的思想,主要有以下几种。一、分类讨论思想例1已知(1+mx)ⁿ(m∈R,n∈N*)的展开式的二项式系数之和为32,且展开式中含有x3项的系数为80。求:(1)m,n的值;(2)(1+mx)n(m∈R,n∈N*)的展开式的二项式系数之和为32,且展开式中含有x3项的系数为80。求:(1)m,n的值;(2)(1+mx)ⁿ(1-x)n(1-x)⁶展开式中含x6展开式中含x²的系数。     

高考佳题 奇思妙解2005——年全国高考部分优秀试题的妙解欣赏

1.(湖北,理14)(x2+1x+2)5展开式中整理后的常数恒为.解法1:把三项看作两项展开2+x2+1x5,则Tr+1=Cr525-r2x2+1xr(0≤r≤5,r∈N).假如第r+1项恒为常数项,则Tr+1=Cr525-r2Ckrx2r-k1xk=Cr5Ckr2k-r25-r2xr-2k(0≤k≤r,k∈N),则r-2k=0r=2k(r,k∈N),∴r=0,k=0,r=2,k=1,r=4,k=2,常数恒为C05252+C25C12212+C45C242122-2=6322.解法2:x2+1x+25=x2+22x+22x5=[(x+2)2]5(2x)5=(x+2)10(2x)5.对于二项式(x+2)10中,Tr+1=Cr10·x10-r·(2)r要设列常数项需10-r=5,则r=5,则常数项为C510(2)525=6322.解法3:不妨设x>0,则x2+1x+25=x22+1x2+25=x2+1x25=x2+1x…     

高考中的二项式问题

解二项式问题,首先要熟悉二项展开式的通项公式,其次还要掌握以下三个方面:(1)(a+b)~n的展开式的二项式系数之和为2~n.(2)对于(a+b)~n而言,当n为偶数时,其展开式中只有中间一项,即第(n/2+1)项的二项式系数最大;当n为奇数时,其展开式中中间两项,即第(n+1)/2和(n+3)/2项的二项式系数最大.     

二项展开式系数最大（小）项的求法

一、(x y)^n型展开式中系数最大项的求法 在(x n)^n的展开式中，二项式系数就是项的系数，展开式的中间项就是系数最大项．当n为偶数时，中间项是第(n/2 1)项；当n为奇数时，中间两项是第(n 1/2)项和第((n 1/2) 1)项(注意：此两项虽然系数相同，但字母的次数并不相同)．     

浅谈二项展开式通项的应用

二项标准式(a+b)”的通项公式为:Tk+,一。者an一kb“,其应用是多方面的,现用实例阐明。求展开式特定项的系数例‘求‘X一士,’展开式中系数最大项的系数。__7一1_.7+1解’:k,~—一3,kz-—~4, 2 .2 T3+1一c拿‘X’“一士,’一35x圣,T4+,一c李‘x,’‘一士,‘一35x。 系数最大项的系数是35.、最大系数:当n为奇数时,展开式的项数是偶数,有两个绝对值相等的最大系数,__n十1_.‘,,__.‘.__._、二__…_、_._二_.和k~-二厂一叮,c言的但最大.兰n为偶数时,展升式的项数是奇数,有一个最大系 艺,11工一 一一9自 n一 注:即当k=数,即当k-粤时,c李的值最…     

二项式定理应用题型例析

二项式定理的应用较广,本文结合近年来高考试题,进行分类例析. 一、求特定项例1 (2000年上海)在二项式(x-1)11的展开式中,系数最小的项的系数为____(结果用数值表示). 解:展开式第r+1项为C11rx11-r(-1)r.要想项的系数最小,则r为奇数,且使C11r为最大,由此得r=5.所以系数最小项的系数为     

二项式定理的五大热点

二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一,本文总结出了近年高考中的五大热点题型,供参考.一、通项运用型凡涉及到展开式的项及其系数(如常数项,x3项的系数等)问题,常是先写出其通项公式Tr 1=Crnan-rbr,然后再据题意进行求解,有时需建立方程才能得以解决.【例1】(2004年全国高考卷Ⅰ)(2x3-1x)7的展开式中常数项是()(A)14(B)-14(C)42(D)-42解:由Tr 1=C7r(2x3)7-r-1xr=(-1)r·27-r·C7r·x21-3r-2r.令21-3r-2r=0得r=6.故常数项为T7=(-1)6·21·C76=14,故选(A).【例2】(2004年浙江卷)若(x 32x)n展开式中存在常数项,则n的值可以是()(A)8…     

有关二项式定理的高考试题分类解析

高考中二项式定理试题几乎年年有 ,主要是利用二项展开式的通项公式求展开式的某一项的系数 ,求展开式的常数项 ;利用二项式系数的性质 ,求某多项式的系数和 ;证明组合数恒等式和整除问题 ,及近似值计算问题 .考查的题型主要是选择题和填空题 ,多是容易题和中等难度的试题 ,但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用 .一、求多项式系数和例 1　 ( 1989年全国高考题 )已知 ( 1- 2 x) 7=a0 +a1x +a2 x +… +a7x7,那么 a1+a2 +… +a7=.简析 :欲求 a1+a2 +… +a7的值 ,则需先求出 a0 ,在已知等式中 ,令 x =0 ,则 a0 =1.再令 x =1,则 a0 +a1+a2 …     

二项式定理中最大系数项的研究

在学习二项式定理这部分内容时,我们常常会遇到这样一种类型的问题,求二项展开式中系数最大的项.如求(1 2x)8展开式中系数最大的项.     

多项展开式中的项数与项的确定

与多项展开式有关的计数问题,灵活性强,思维方法独特,是各类考试的常见题型,用二项式定理或直接用多项式乘法展开求解,有时比较麻烦,若利用组合知识及分类计数原理与分步计数原理,则容易获得问题的解题思路,且方便、直接、易于掌握.1求项数问题例1(x3+x2+x+1)(y2+y+1)(z+1)展开后不同的项数为.分析由多项式乘法法则,展开式中的项是从每一个括号中任取一项的乘积.由于各括号中字母不同,因而所得乘积项也不同,因而(x3+x2+x+1)(y2+y+1)(z+1)展开式的项有C14·C13·C21=24项.例2(a+b+c+d)10展开式中共有多少项?解析(a+b+c+d)10展开式中的每一…     

多项展开式通项公式的统一形式

我们知道,(二十妇.二项展开式的通项公式是C七义一rgr= r名!(”一r)1 rlx,,rg『,改记一种形式为 拐l。一月一义u封UG!01这里。、b为非负整数,且a十b=n.形式推而广之, 件!:a x6:el一‘劣+灯一卜封’展开式的通项公式具有x勺啥。,a、b、。为非负整数,_巨a+b+c=n.证:,.’(二+。十:)一名吼(二+。)‘·『:r一刀 作l(n一r)1 rl(劣+,)“‘r:r…(1)(x+g)’·r展开式的通项可写为二幂{‘!·。‘…(2,其中数,月a+b=n一r.由(1)、(2)即知。、b为非负整(劣+g+:).展开式的通项为 炸l(”一r)lr皿L二仔g乙之r二.劣agb之。(巴记r=c).其中a、b、e为非负整数,…     

二项式定理的系数问题商讨

一九八二年浙江省中专(技校)统一招生高中毕业文化程度数学试题第二题第(1)小题的题目是“已知(x+2/x~2)~n展开式中第6项的系数与第4项的系数的比是6∶1.求n”.命题者本意是第6项的系数为C_n~52~5,第4项的系数为C_n~32~3.这样解得n=9。全日制十年制高中课本《数学》关于二项式定理的系数问题是区分为二项展开式的系数和指定项的系数两种情况的。第三册第151页“二项展开式各项的系     

二项展开式系数最大项的求法

关于二项展开式中系数最大项的求法 ,已经有多篇文章论及 .但是 ,这些解法或者运算量过大 ,或者理论依据抽象 .这里 ,笔者给出一种通俗的简便解法 ,为行文方便 ,特以例题示之 .例 1　试求 (2ｘ + 3ｙ) 10 0 展开式中系数最大的项 .分析　我们研究 (2ｘ + 3ｙ) 10 0 展开式的系数增减规律 .令Ｘｒ 表示其展开式的第ｒ项的系数 ,则Ｘｒ+ 2Ｘｒ+ 1=Ｃｒ+ 110 0 · 2 10 0 -ｒ- 13ｒ+ 1Ｃｒ10 0 · 2 10 0 -ｒ3ｒ =10 0 -ｒｒ+ 1· 32 ≥ 1 　 5ｒ≤ 2 98 ｒ≤ 5 935 .∴Ｘｒ+ 2 >Ｘｒ+ 1 ｒ≤ 5 9,故ｒ + 2 =6 1.这就表明 (2ｘ+ 3ｙ) 10 0 展开…     

一个排列数恒等式及其应用

本文先导出一个排列数恒等式,然后举例说明其在数列求和中的应用。我们知道C_m~m,C_(m+1)~m,…,C_(m+m-1)~n分别是(1+x)~m,(1+x)~(m+1),…,(1+x)~(m+n-1)展开式中含x~m项的系数,又     

高中数学基础训练题(6)

排列组合、二项式定理 1.若(x 1/x)n展开式中第32项与第72项的系数相同,那么展开式的中间一项的系数为( ).