一类无理函数值域求法探究

在函数中,我们常常会遇到求无理函数y=px +a±m((ax2+bx+c)~(1/2))的值域问题．本文通过一道例题探究这类函数值域的几种求法．例题求函数y=x+((x2-3x+2)(1/2))的值域． (2001年全国联赛试题) 方法1方程法函数值域就是使关于x的方程y=f(x)有解时 y值的集合．     

三角代换求无理函数值域的补充举例

文[1]、[2]分别从两个不同的角度对无理函数值域进行巧妙解答,下面就三角代换求无理函数的值域再补充几个类型.     

一类无理函数值域的新求法

关于无理函数f（x）=m√x^2＋1＋nx（其中mn〈0,│n/m│〈1）（以下称函数A）值域的求法在很多数学刊物上都有介绍,经笔者探究,有下面新求法。首先介绍一个引理。     

构造对偶函数求一类无理函数的值域

文[1]对型如:y＝mg(x) nf(x),其中g(x) f(x)＝c(常数),mn>0的函数求最值,其构思有独到之处,值得借鉴.本文利用构造对偶函数式的方法对其中的例题作解答,更易被学生所接受.     

构造向量求一类无理函数的值域

文[1]、[2]对型如y=m√g（x）＋n√f（x）,其中g（x）＋f（x）=c（正常数）,mn〉0的函数求最值．这两篇文章都有一个限制条件“mn〉0”,事实上这是不需要的,本文将这个条件去掉,用构造向量的方法来完成这一类无理函数值域的求解．     

用数形结合法求无理函数的值域

函数是高中数学的重点章节，也是近几年高考的热点，与函数值域有关的题目高考中屡屡可见。因此教给学生求函数值域的方法．也就成了我们教学的重点．对于有理函数的值域，可用代数法（如①配方法、②分离常数法、③判别式法、④反函数法（或者反解法）、⑤换元法、⑥分类讨论法等）易求．而对一些无理函数的值域，用代数法求解比较困难，而采用数形结合的方法较易．现举以下几例，从而开拓学生的思路．发展学生的思维能力．     

一类无理函数值域的新求法

文 [1 ],[2 ]各用一种方法介绍了形如函数 f( x) =ax2 + b- x( x≥ 0 ,a>1 ,b≥ 0 )(下称函数 )的最小值的求法 ,文 [3]用三种不同策略研究了比函数 更一般的函数f( x) =m x2 + 1 + nx(其中 mn<0 ,且 | nm|<1 ) (下称函数 )的值域 .本文再给出函数 的值域的一种新求法 .用待定系数法将 f( x)变形为f( x) =m+ n2 ( x2 + 1 + x) + m- n2( x2 + 1 - x) .( 1 )若 m>0 ,n<0 ,则由 | nm| <1得- m0 ,m- n2 >0 ,又　　 x2 + 1 + x>| x| + x≥ 0 ,x2 + 1 - x=1x2 + 1 + x>0 ,故由基本不等式得　f( x)≥ 2·m+ n2 ( x2 + …     

一类无理函数值域的求法

形如y=m√g（x）＋n√f（x），其中g（x）＋，f（x）=c（常数）类型无理函数值域的一般性结论．本文将通过构造向量数量积给出一般性解法：     

求一类无理函数的值域

含根式的无理函数的值域和最值问题，其解法灵活多变且无统一的规律性，从而使学生在求解的过程中难以下手．本文从判别式，三角代换，向量的数量积意义，数形结合和线性代换等方法出发求解此类问题，使问题求解形象、直观、简便有效．本文通过一具体的例子对形如函数y=mx＋l＋n√（ax^2＋bx＋c）（amn≠0，b^2-4ac≠0）的值域问题进行了讨论．众所周知，对于闭区间上连续的函数满足介值性定理，从而其值域就是最小值与最大值所构成的闭区问．另外，该问题的讨论对无理函数的最值问题讨论也有启发．     

利用三角函数求一类无理函数的值域

型如:y=m√g(x) n√f(x),其中g(x) f(x)=c(常数),mn＞0的式子均可化为y=(1)/√(c)[m√(g(x))/(c) n√(f(x))/(c)]的形式,再利用三角代换来求最值.     

无理函数的值域

求无理函数的值域的常用方法有：1．由函数的单调性及定义域直接求解；2．转化为给定区间上的二次函数的值域问题；3．利用基本不等式探求；4、利用三角代换，转化为三角函数在特定区间上的值域问题；     

也谈三角换元求一类无理函数的值域

贵刊2000年第11期第34页介绍了函数y(ac<0)值域的一种三角换元求法.但笔者认为,过程不简,运算量大,可改进为如下三角换元. 容易证明:若0≤x≤π/2,则 (1)当0<θ≤π/4时,sinθ≤sin(x+θ)≤1; (2)当π/4<θ<π/2时,cosθ≤sin(x+θ)≤1. 例1 求函数的值域. 解:所给函数化为     

用代换法求无理函数的值域

用代换法求无理函数的值域，方法简便、灵活，是一种很有用的解题方法．本文就4种常见的无理函数求值域问题从整体上分析一些解法和技巧，可供参考．为计算方便，本文使用以下3个公式（也可用判别式求）：     

求无理函数值域的几种方法

<正> 无理函数内涵丰富,灵活多变,能考查学生的数学素养与创新能力,但学生对此类问题往往心中茫然,因求解不得法而不得其解.本文例谈求无理函数值域的几种求解方法,以供参考. 方法1 利用函数单调性法.     

一类无理函数的值域定理及应用

文[1],[2]介绍了形如y＝a(x-m)2+n2+bx的函数的最值的求法,并总结出该类函数的最值定理,文[3]介绍了一个2001年全国高中数学联赛题(见例1)的几何解法,笔者深受启发.本文旨在总结一类在各级数学竞赛中经常涉及的函数y=a(x-m)2-n2+bx的值域定理,并举例说明其应用.     

对简单无理函数值域的探求

求函数值域是函数方面的重点。也是教学的难点,对无理函数值域的方法没有系统的介绍,同学们感到无所适从,本文将对此作分析,把无理函数值域的初等方法作简单介绍.1 观察法通过对函数定义域和性质的观察,再结合函数解析     

巧用换元法求无理函数的值域

一、形如"y=mx+n±（ax+b）^1/2"的函数对于根号内外自变量的次数相同的无理函数,一般令t=（ax+b）1/2,将原函数转化为关于t的二次函数.通过换元将原问题转化为求二次函数的值域,但是换元后要注意新元的范围.