初中数学教师无理数知识调查研究

通过对参加西北师范大学"国培计划2013"短期集中研修项目和置换脱产研修项目共114名初中数学教师的调查,考察教师对无理数概念和性质的掌握情况.研究发现:(1)初中数学教师对无理数定义类型掌握单一,基本证明方法不熟悉;(2)教师对无理数的概念和性质理解不够深入;(3)教师缺乏与无理数相关的数学史知识;(4)教师缺乏整体的数学观及对无理数知识的重视程度不够.     

“实数的概念”:折纸、拼图中发现,计算、比较中建构

无理数的产生源于生活的实际需要,无理数的发现是人类对数的认识的一次理性飞跃,无理数定义的发展说明了人们对任何新事物的认识都伴随着曲折往复而螺旋上升。从HPM的视角设计"实数的概念"的教学,通过对常见的A4纸长和宽的比值的探讨来引入,融入拼图活动来凸显2~(1/2)的几何意义,通过求近似值的计算来体验2~(1/2)是无限不循环小数,通过与有理数的区别来建构无理数的概念,播放微视频来展现无理数的历史。课后反馈表明,这样的教学实现了融入数学史的"知识之谐""文化之魅""探究之乐""德育之效"。     

“2~(1/2)的认识”:HPM视角下的数感培养

2~(1/2)是学生学习的第一个真正意义上的无理数,2~(1/2)数感的建立对后续的无理数学习具有十分重要的意义。根据数感的组成成分,采用HPM视角来设计和实施"2~(1/2)的认识"的教学:采用重构式,通过面积计算来引入2~(1/2);采用复制式,通过反证法来证明2~(1/2)不是有理数;采用附加式,介绍无理数的历史;通过"在数轴上标出2~(1/2)的准确位置"的活动来凸显2~(1/2)的几何表征。课后的问卷调查和访谈表明,这样的教学对于培养学生无理数的数感是有效的。     

无理数的大小比较及估算

自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过.而比较两个无理数的大小,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法直接写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如:π,2等等,但这给比较它们的大小带来了一定的困难.那么,究竟如何比较两个无理数的大小呢?要比较两个无理数的大小,首先应明确以前学过的有理数大小比较方法对于实数也适用,即:(1)借助数轴:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;(2)根据数的符号性质:①正数大于零和一切负数,零大于一切负…     

数之12(初一、初二、初三)

(8)无理数e,牛顿和欧拉前面讲到π是一个非常重要的无理数,和π同样非常重要并且更奇妙的另一个无理数就是e.首先发现这个无理数的是18世纪伟大的瑞士数学家列昂纳德·欧拉(1707～1783),他用自己的名字Euler的头一个字母命名这个无理数.这个数,通常被称为自然对数的底.这里,简单介绍一下对数. 世界上研究对数的第一个人是英国数学家纳     

《数的开方》自测题

一、选择题1 在实数2 27,0 .6 · ,3- 5,4 9,3 1 4,0 ,3 - 3中无理数有(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个2 下列各式中 ,最简二次根式是 (　　 ) (A) 2 7a (B) 4+a2 (C) 1a (D) 3a2 b3 下列说法中正确的是 (　　 ) (A)不带根号的数不是无理数(B) 8的立方根是± 2(C)实数与数轴上的点一一对应(D)绝对值是 2的数是 24 下列说法 :(1 )两个无理数的和或差是无理数 ;(2 )两个无理数的积或商是无理数 ;(3 )一个无理数乘以一个有理数 ,一定得无理数 ;(4)一个无理数的平方一定是…     

“无理数”的认识误区

学生对无理数的认识存在误区.1."无限小数是无理数"分析无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,只有无限不循环小数才是无理数.所以,说"无限小数是无理数"是片面的.2."带根号的数是无理数"分析4^1/2带根号,但4^1/2=2是有理数,所以不要认为带根号的数就是无理数.     

无理数的认识——对64名职前数学教师的调查研究

无理数是有理数系扩充到实数系的重要内容,但是许多初中教师认为这部分内容难以理解更难以讲授。本研究从无理数的概念定义、概念意象以及无理数在数轴上的表示三个维度的内、容对64名数学专业职前教师进行了调查,发现：职前数学教师虽然对无理数的定义掌握较好,但定义的表述形式较单一;多数人在无理数的表达形式方面的认识还存在误区;他们对无理数与数轴的关系理解并不深刻,且对所学知识缺乏整体性运用．最后基于调查结果对职前数学教师的培养提出三点建议．     

抓无理数特点巧明概念内涵

一、抓定义无理数的定义是无限不循环小数 ,它有两层意思 :(1)无限小数 ;(2 )不循环。二者缺一不可。有些无理数 (不是全部 )表现为带根号的数 (如 2、 3等 ) ,但带根号的数不一定是无理数 ,关键要看这个带根号的数最终结果是不是无限不循环小数。如9=3,19=13=0 .3· ,虽然形式上带根号或是无限小数 ,但都是有理数。无限小数与无理数是整体与部分的关系。例 1.判断下面的说法是否正确 ?如果不正确 ,举例说明。(1)无限小数都是无理数 ;(2 )无理数都是无限小数 ;(3)带根号的数都是无理数。思路分析 :从无限小数与无理数的关系以及无理数概念的…     

π还是个超越数

正笔者在《π是除出来的吗?》一文(详见本刊2014年第2期)中,指出π是不可能通过两个整数相除得到的,因为它是个无理数。说起无理数,大家一定会想到另外一个著名的无理数:2=1.414……那么,同为无理数,π和2,有没有区别呢?区别大着呢!2是"代数数",而π是"超越数"。什么是代数数?如果某个数能成为一个整系数整式方程anxn+an-1xn-1…+a1x+a0=0(其中,an,an-1,…,a1,a0是整数)的解,我们就把它叫做"代数数"。整数3是代数数,因为它可以看作     

利用有理数和无理数的性质解题

<正> 有理数和无理数的性质主要有: 1.两个有理数的和、差、积、商(除数不为零)仍是有理数; 2.任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数;     

历史视角的“无理数”概念教学思考——基于对无理数概念教学浅表化现象的分析

无理数概念教学的浅表化现象普遍存在.通过对其中几个典型表现的分析发现,从历史视角来分析无理数概念的认知过程,有助于我们找到有效的教学路径.人类认知无理数的历史表明,无理数概念建构的关键在于认识它与有理数的本质区别.因此,无理数概念教学的重点应该是让学生感受"不可公度量"的存在.     

“实数”学习经纬

初中阶段 ,我们共经历了两次数系的扩展 .在初一 ,引入负数 ,将我们对数的认识扩展到有理数的范围 ;在初二 ,学习了无理数 ,将数的范围进一步扩展到实数 .我们主要从以下几方面学习实数 .　　 一、实数的概念　　对实数 ,教材是这样介绍的 :有理数和无理数统称为实数 .因此要学好实数 ,就得先掌握好无理数的有关知识 .1 无理数的存在性历史上对数系的每一次扩展都源于实际生活的需要 :引入负数是为了解决“不够减”的问题 ;由于发现用已有的数无法表示边长为 1的正方形的对角线的长度 ,所以引入了无理数 ,这个长度就可用无理数 2表示 .2 …     

数轴上找分数1/n对应点的作图法

<正>学习"实数"的有关知识后,我们知道无理数和有理数一样都可以用数轴上的点来表示,教材介绍了像a^(1/2)这样的无理数,可以通过作图的方法在数轴上找出它们的对应点.那么是不是还有其他的数,也可以通过作图的方法在数轴上找出它们的对应点呢?通过探究发现,对于像分数1/n(n为整数)这样的数,同样也可以利用作图的方法在     

《实数》学习问答

1.什么是无理数?为什么要学习无理数?答:无限不循环小数,叫做无理数.理解无理数应注意:①是小数;②无限小数;③不循环.在数学实际中,人们碰到了开不尽的方根,如’!2,’!5等,还遇到了圆周率π等无限不循环小数.于是就将数进行了扩张,引进了无理数.从而可以解决正实数的开方和线段的度量等问题,如边长为1的正方形的对角线为’!2等.2.无理数和有理数有何区别,常见的无理数形式如何?答:无理数是无限不循环小数,而有理数是有限小数或无限循环小数(有理数都是整数或分数).有理数和无理数是两个互相独立的概念,有理数中没有无理数,无理数中也没有有…     

关于a+b~(1/2)的讨论

部编十年制高中数学第三册复习题三第一题:a,b 是什么实数时,a+b~(1/2)是有理数,是无理数,是虚数、是纯虚数?对这一问题现有三种不同解答:(一)安徽省教育厅教学研究室编《教学参考书》给出的解答:当 b≥0且为完全平方数,a 为有理数,或 b>0且为非完全平方数,a 为无理数且 a=-b~(1/2)时,a+b~(1/2)是有理数;当 b≥0且为完全平方数,a 为无理数,或 b>0且为非完全平方数,a 为有理数,或 b>0且为非完全平方数,a 为无理数且 a≠-b~(1/2)时,a+b~(1/2)是无理数;当 b<0时,     

两类无理数的简要判别法

<正>根式运算、对数运算是中学阶段的两种重要运算,在这两种运算之中会产生大量的无理数.通常的学生只知道"无限不循环的数叫无理数",但这个评价无理数的方式太过抽象,对于形如5(1/2),lg 5,39(1/2)的无理数,如何科学准确地判断,值得探讨.针对根式和对数的运算结果,笔者提出若干判断它们是否为无理数的初等方法.一、引理与定义引理任一大于1的整数a能够唯一地     

第八讲 无理数(之5)

(8)无理数e,牛顿和欧拉前面讲到π是一个非常重要的无理数,和π同样非常重要并且更奇妙的另一个无理数就是e.首先发现这个无理数的是18世纪伟大的瑞士数学家列昂纳德·欧拉(1707～1783),他用自己的名字Euler的头一个字母命名这个无理数.这个数,通常被称为自然对数的底.这里,简单介绍一下对数.     

不可小觑的“21/2”的教学

本学期初,学校教务处举行"同课异构"听评课活动,课题是人教版八年级(上册)数学《实数》.在教学这一节课中,不少教师对"在数轴上画出表示√2的点"有些困惑,认为学生还不具备勾股定理知识(勾股定理的学习被安排到八年级下学期了),教学时学生理解困难,教师很难讲解,并认为教材在此安排不严谨,逻辑性不强;针对这一教学问题,我们从教材和数学史料两方面进行了认真地分析和研究.1关于√2的发现√2是人类最早发现的无理数之一.据说,毕达哥拉斯学派一个名叫希帕苏斯的年轻人,第一个发现了正方形的边和     

无理数,撩起您的面纱！——谈谈怎样认识无理数

首先,应当明白,无理数在我们的生活中大量存在.无理数来自实践,源于生活.请看下面实例:(1)一个正方形,面积是2平方米,它的边长就是2~(1/2)米; (2)一个直角三角形,两条直角边长分别为1和2,由勾股定理知,