数学问题与解答——1994年第1期问题解答

321.△ABC中,从A向∠B、∠C平分线引垂线,垂足分别为P、Q;从B向∠C平分线引垂线,垂足为E;从C向∠B平分线引垂线,垂足为F,求证;P、Q、E、F四点共圆。 证:延长AP、AQ分别交BC于M、N,因BP是∠ABC的平分线,AP(⊥)BP,故AP=PM,同理,AQ=QN。 所以,PQ是△AMN的中位线,PQ∥BC,QPB=PBC。 连EF因∠BEC=90°=∠CFB,故B、C、F、E四点共圆,于是∠CEF=∠FBC,从而∠QPB=∠CEF,所以P、Q、E、F四点共圆。     

等角共轭点一个性质的推广

定理　设P、Q为△ABC内两点 ,则AP·AQAB·AC +BP·BQBA·BC+CP·CQCA·CB≥ 1 . ( )等式当且仅当P、Q为△ABC等角共轭点 (即∠PAB=∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB =∠QCA)时成立 .证明 :如图 ,顺次以BC、CA、AB为对称轴作△PBC、△PCA、△PAB的对称图形 ,分别为△A′BC ,△B′CA ,△C′AB ,连结A′Q、B′Q、C′Q ,则易知 (以S△ 表示面积 ) :S△AC′Q+S△AB′Q=12 AC′·AQsin∠C′AQ +12 AQ·AB′sin∠B′AQ =12 AP·AQ(sin∠C′AQ +sin∠B′AQ)=12 AP·AQ·2sin ∠C′AQ +∠B′AQ2　·c…     

数学问题与解答

516.如图,凸四边形ABCD中∠A ∠D=120°,以AC、BD、BC为边长分别作正三角形PAC、QBD、SBC。求证:P、S、Q三点共线。     

一题一议

【题目一】图1为某地某日太阳视运动图,M、N、P、Q代表该地地平面上的四个方位,∠1、∠2为不同时刻的太阳高度,读后回答1～2题。1.若∠1=10°,∠2=30°,且∠1出现时世界时间为8点,则下列说法正确的是:A.该地地理纬度为80°S,太阳直射点为(20°S,60°E)B.该地地理纬度为80°S,太阳直射点为(10°S,120°W)C.图示日期前后,正值我国极地考察站黄河站最佳考察期D.图示日期,武汉太阳从地平面的东北升起,西南落下2.若∠1=∠2=20°,则M、N、P、Q的方位正确的是:A.M—北,N—东,P—南,Q—西B.M—南,N—东,P—北,Q—西C.M—南,N—南,P—南,Q—南D.M—北,N—北,P—北,Q—北     

第42届IMO试题解答

1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明: ∠CAB ∠COP<90°。 证明:令α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,δ=∠COP。 设K、Q为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,R为△ABC的外接圆半径。则     

直线与圆单元测试题

一、选择题1.已知⊙O和三点P、Q、R,⊙D的半径为3,OP=2,OQ=3,OR=4,经过这三点中的一点任意作直线总是与⊙O相交,这个点是().A.PB.QC.RD.P或Q2.如图1,直线AD与△ABC的外接圆相切于点A,若∠B=60°,则∠CAD等于().     

一道数学竞赛题的简证及加强

过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线交圆于C、D两点,C在P、D之间,在弦CD上取一点Q,使∠DAQ=∠PBC.求证:∠DBQ=∠PAC.(此题为2003年全国高中数学联赛加试试题)     

一道IMO试题的推广及简证

第 4 4届IMO第四题 :设ABCD是一个圆内接四边形 .从点D向直线BC、AC和AB作垂线 ,其垂足分别为P、Q和R .证明 :PQ =QR的充分必要条件是∠ABC的平分线、∠ADC的平分线和AC这三条直线相交于一点 .现证明该命题对任意凸四边形均成立 .图 1证明 :如图 1 ,连结QR、QP、AD、DC .因为DR⊥AR ,AQ⊥QD ,所以 ,A、R、D、Q四点共圆 ,且AD为该圆直径 .故QR =ADsin∠QDR =ADsin∠BAC .同理 ,QP =DCsin∠ACB .由△ABC及正弦定理有sin∠BACsin∠ACB=BCAB.所以 ,QRQP=ADsin∠BACDCsin∠ACB=AD·BCDC·AB.故QR =Q…     

一道高中联赛平面几何题的新证法

题目 如图1，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B．所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC，求证：∠DBQ=∠PAC．     

数学问题与解答

641.P为ΔABC的内心，射张BP交AC于Q，当1/PB 1/PC=1/PQ时，求∠A的大小。     

探索存在型试题例析

近年来,部分地区的中考题中不断出现探索存在型试题,显得新鲜、活泼,它在检测学生的思维、创造,在推进素质教育等方面,确是一类好题型。1 与三角形有关的存在型试题 例1.如图,已知点A在直线l外,点B,C在l上。 (1)若P为△ABC内的任一点,求证:∠P>∠A; (2)试判断在△ABC外,又和点A在直线l的同侧,是否存在一点Q,使∠BQC>∠A,并证明你的结论。     

第九章 开放型

开放型试题大体分为条件开放、解法开放、结论开放三种 ,解法不同 ,出现的结果也可能不同 ,但这些结果都是正确的 .同学们在解题时应不拘一格进行思考 ,才能获得完美的结果一、例题解析图 2 - 9- 1DANMPQCB例 1　如图 2 - 9- 1, ABCD中 ,A Q、BN、CN、D Q分别是∠ D AB、∠ ABC、∠ BCD、∠ CDA的平分线 ,A Q与 BN 交于 P,CN与 DQ交于M,在不添加其他条件的情况下 ,试写出 ·一 ·个由上述条件推出的结论 ,并给出证明过程 .(要求 :推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件 )解 :( 1)由题设条件可得出 :△ …     

立足基本图形 培养解构能力——以一道中考压轴题的解析与拓展为例

<正>一、试题呈现(2020年苏州市中考压轴题)如图1,已知∠MON=90°,OT是∠MON的平分线,A是射线OM上一点,OA=8cm.动点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动.连结PQ,交OT于点B.经过O,P,Q三点作圆,交OT于点C,连结PC,QC.设运动时间为t(s),其中0相似文献   

对一道传统几何题的有益探索

题目已知：如图1,正方形ABCD中,P,Q分别是边BC,CD上的点,且∠PAQ=45°.求证：PQ=PB＋DQ.证明如图1,将Rt△ADQ绕着点A旋转到Rt△ABQ′的位置,则P,B,Q′     

赛题另解

题1 如图1,BE、CF为锐角△ABC的高,以AB为直径的圆与直线CF交于点M、N,以AC为直径的圆与直线BE交于点P、Q.证明:M、P、N、Q四点共圆.[1] (第19届美国数学奥林匹克) 证明由BE、CF为锐角△ABC的高知 ∠CFB =∠CEB =90° ?B、C、E、F四点共圆. 若以A为反演中心、A关于四边形...     

高二数学单元测试(简单多面体与球)

一、选择题1 .命题甲 :四棱锥P-ABCD的 4个侧面是全等的等腰三角形 ;命题乙 :四棱锥P -ABCD是正四棱锥 ,那么甲是乙的 (　　 )　　 (A)充分不必要条件　　 (B)必要不充分条件　　 (C)充要条件　　 (D)既不充分又不必要条件2 .一个正四棱锥的中截面面积是Q ,则它的底面边长是 (　　 )　 (A) 4Q (B) 2Q (C) 2Q (D)Q3 .已知直棱柱MNP -M1 N1 P1 的底面MNP是直角三角形 ,其中∠MPN =90°,记∠M1 NM =θ,∠NMP=α ,∠NM1 P=β,则α ,β,θ间一定有关系式 (　　 )　　 (A)sinα=cosθsinβ　　 (B)sinβ=cosθsinα　　 (C)cos…     

平面几何的性质在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点,这一章涉及的题目运算量大,这不但需要较强的运算能力,而且更需要运算的技巧与方法,巧用平面几何的性质,可使繁杂运算简单化,现举例说明。例1点P是椭圆xa22 yb22=1(a>b>0)上任意一点,F1、F2为其左、右焦点,过F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线,垂足为Q,求点Q的轨迹方程.解:如图1,易知:Q是线段F2M的中点,PM=PF2∴OQ是△F2F1M的中位线∴OQ=12F1M=21(F1P PM)=21(F1P PF2)=a设点Q坐标为(x,y),则点Q的轨迹方程为:x2 y2=a2.图1图2例2已知两定点A(-1,0),B(2,0)满足∠MBA=2∠MAB,求动点…     

二面角的平面角的极值特征

二面角的平面角是立体几何中的一个重要的概念之一．本文将给出二面角的平面角的极值特征，以加深对这一概念的理解．设P─MN─Q为给定的一个二面角，其平面角为a，在平面P上作AB⊥MN于B，射线BC在平面Q上，∠ABC＝0．下面的命题刻划了二面角的平面角的极值特征：命题1）当a＜90°时。恒有0＞a，当且仅当∠ABC为二面角的平面角时等号成立；2）当a＞90°时，恒有0＜a，当且仅当∠ABC为二面角的平面角时等号成立；3)当a=90°时，0＝α＝90°恒成立．证作AD⊥平面Q，垂足为D联BD，则由三垂线定理知BD⊥MN．又已知α＜90°，故∠A…     

圆锥曲线中的等角问题

文[1]有这样一个定理：F1，F2是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的两个焦点，直线l1过长轴顶点A2且垂直于长轴，l2为准线且交x轴于H，B1为短轴上的一个顶点，P，Q分别为l1，l2上的动点，且A2P，HQ与OB1同向（图1），则当PA2=b，QH=ab/2时，∠A1QA2，∠F1PF2各达到自己的最大值∠F1B1O．[第一段]     

八六年初中竞赛第三题的多种证法

一九八六年全国初中数学竞赛第三题是:设 P、Q 为线段 BC 上两定点,且 BP=CQ,A 为 BC 外一动点(如图1).当点 A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时,ΔABC 是什么三角形?试证明你的结论.参考答案列出了两种证法: