一道高考题的推广及其应用

如图一,三棱锥P—ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA、BC 的公垂线ED=h,求证三棱锥P—ABC的体积V=1/6l~2h。这是1987年理科数学高考题第四题,该题可推广如下: 定理如果四面体P—ABC中,PA、BC的长为a、b,PA与BC两异面直线间的距离为h,且PA与BC所成角为θ,那么,该四面体的体积为 V=1/6abhsinθ证明,如图二,以P为顶点作四棱     

从一道高考试题谈起

今年高考试题文科和理科的第四题都是“如图,三棱锥P—ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC的公垂线ED=h,求证三棱锥P—ABC的体积V=(?)l~2h。” (以下简称“试题四”)。这是一道求证(实质是     

一道WMTC试题的解法与拓展

例已知Rt△ABC,AB—BC,点P在此三角形内,若PA=5,PB=4,PC=1,求△ABC．的面积．     

巧推三角形的面积公式

题目:三棱锥P—ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(Ⅰ)求证AB⊥BC(Ⅱ)设AB=BC=23,求AC与平面PBC所成角的大小.浅析(Ⅰ)图1思路一:由PA=PB=PC,联想到圆锥的所有母线长相等,于是作圆锥PO,使PA、PB、PC都是该圆锥母线,如图1,由面PAC⊥面ABC及PO⊥面ABC,知PO面PAC,因此AC是圆锥底面圆的直径,可得AB⊥BC.思路二:如图2,延长CP到D,使PD=PC,连结DA、DB,由PA=PB=PC=PD可知DA⊥AC,DB⊥BC,又面DAC⊥面ABC,于是有DA⊥面ABC,由三垂线定理的逆定理可知AB⊥BC.思路三:由PA=PB=PC,联想到球的所有半径长…     

每期一题

题:一平面过三棱锥P—ABC的棱PA、PB、AC、BC的中点M、N、R、T,求证:这个平面把三棱锥P—ABC的体积二等分。证法一:连PT、PR、AT、AN,由题设知PC、AB平行于平面MNTR,且到平面MNTR的距离相等。∴V_P=MNTR =V_A-MNTR     

一个命题的别证及对偶结果

命题 设P是△ABC内的任一点,记BC=a,CA=b,AB=c,PA=x,PB=y,PC     

二面角的一题多解

例题△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=2,点P是平面ABC外一点,PA⊥平面ABC,PA=AC,求二面角B—PC—A的平面角的一个三角函数值.     

浅谈三棱锥的解题技巧

三棱锥是重要的多面体,空间图形的很多问题都与它有关.因而对三棱锥的解题方法的研究,无疑是十分必要的,本文就三棱锥的解题技巧谈几点体会. 一、注意确定顶点射影的位置 因为三棱锥的高是它的主要元素,所以在解有关三棱锥的题目时,确定顶点在底面上的射影的位置,往往是解题的关锥. 例1 在三棱锥P—ABC中,PA=PB=PC.底面ABC中,∠C=90°,AC=18,三棱锥的高为40,求P到另一直角边BC的距离. 解:如图1,过P作PO⊥底面ABC,O是垂足.∵PA=PB=PC.∴OA=OB=OC,因此O是△ABC的外心,又△ABC是直角三角形,故O是斜边AB的中点.     

谈立体几何复习

例如图1,在三棱锥P—ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC.     

从学生对一道题目解答的困惑谈起

在一次测试中有这样一道题： 如图1,已知PA⊥面ABC,AD⊥BC于D,BC=CD=4D=1。     

简洁而丰富 简约而深刻——对2019年安徽中考第23题的赏析

1原题呈现(安徽23题)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:h12=h2·h3.     

数学奥林匹克高中训练题（114）

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.设P为△ABC所在平面内一动点.则使得PA.PB PB.PC PC.PA取得最小值的点P是△ABC的().(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心2.如图1,在矩形ABCD中,AB=1,BC图1=m,O为矩形的中心,PO⊥平面ABCD,PO=n,且在边BC上存在唯一的点E,使得PE⊥DE.若平面PDE与平     

对一道数学竞赛题的探讨

1990年全国初中数学竞赛第一试有中这样一道题:△ABC中,AB=2,BC=2~(1/2),AC=1,设P为BC上任意一点,则PA~2>PB·PC。本文在三角形中讨论了PA~2>PB·PC成立的充要条件,由此进一步讨论了使等式PA~2=PB·PC成立的PA分别是△ABC的中线、高、角平分线的充要条件。     

要注重几何图形的组合与分离

立体几何离不开图形,而其中最主要的是基本图形.因此,在立体几何教学中,要引导学生在掌握好基本图形的基础上,学会基本图形间的组合与把较复杂图形分离成基本图形的方法,这是学好立体几何的关键之一。例1.比较下列4题中4种图形在结构上的异同.(1)三棱锥P—ABC中,PA⊥面ABC,平面PBC⊥平面PAB,求证:BC⊥AB.(2)在上题中,若AD⊥PB交PB于D,AE⊥PC交PC于E,AD∶AE=1∶2.求二面角A—PC—B的大小.(3)直三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱AA1=4,底面△ABC中,AB=BC=2,∠B=90°.求截面A1BC与侧面A1ACC1所成的锐二面角的大小.(4)圆柱侧…     

(二十)直线与圆的位置关系测试卷

一、填空题（每空5分，共50分）：1．如图1，PA切于A，AB是OO的弦，BC是①O的直径，／PAB—35”，则／ABC一2．如图2，凸ABC肩接于OO，／B一AC，ZBOC—100”，MN是过B点而垂直于OB的直线，则／ABM一，上CBN一；／3．若PA、PB分别切①O于A、B，左APB—60”，OP—12，则PA一，PB一；4．在凸ABC中，若全C—90“，AB—10，BC—2八，以AC为直径的圆交AB于D，则AD一，on＝；5若BC是①O的弦，A为OO上一点，过A点的切线交CB的延长线于P，BC一IO，PA—12，则PB二；6．OO的内接正方形ABCD的边长为6，E是BC的中…     

与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

关于费尔马点的一个不等式

设P是△ABC内部满足∠BPC=∠CPA=∠APC=120°的一点,则称点P是△ABC的费尔马点。 定理 设P是△ABC的费尔马点,点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,△ABC的内切圆半径为r.则有 r_n r_2 r_3≤3r.(1) 证明:记BC=a,CA=b,AB=c,PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,则有 a~2=R_2~2 R_3~2 R_2R_3, (2) b~2=R_3~2 R_1~2 R_3R_1. (3) 不妨设a≥b≥c.则可证     

三棱锥的两个性质

命题已知三棱锥P-ABC,Q是底面△ABC内的一点,S△BQC∶S△CQA∶S△AQB=α∶β∶γ,且α β γ=1.(ⅰ)一平面分别交PQ、PA、PB、PC于Q′、A′、B′、C′点,则PQPQ′=α.PPAA′ β.PPBB′ γ.PPCC′.(ⅱ)过P点的一个球面,分别交PQ、PA、PB、PC于Q′、A′、B′、C′点,则PQ′.PQ=α.PA′.PA β.PB′.PB γ.PC′.PC.为证明该命题,先介绍几个引理.引理1已知P为△ABC内一点,S△BPC∶S△CPA∶S△APB=m∶n∶r,延长AP交BC于M,则MBMC=nr,PAPM=n m r.引理2已知M为△ABC边BC上一点,且BMMC=mn,任作一直线…     

关于三角形内点的一个向量命题

命题　若P是△ABC内的一点 ,记△BPC、△APC、△APB的面积为SA 、SB 、SC ,则SA ·PA SB ·PB SC ·PC =0 .证明　延长AP与BC边相交于D点 ,则｜BD｜｜DC｜ =S△ABDS△ACD=S△BPDS△PCD=-S△BPD-S△PCD等比定理 SCSB.记｜BD｜｜DC｜=λ ,有BD=λDC ,所以PD- PB=λ( PC- PD) ,所以 - ( 1 λ) ·PD PB λPC=0 .又因为PD =- ｜PD｜｜PA｜ · PA =-SASB SC·PA ,所以 SASB SC( 1 SCSB) ·PA PB SCSB ·PC=0 ,所以SA·PA SB·PB SC·PC =0 .推论 1　当P为△ABC的内心时 ,有sin…     

一例中考题的13种解法及其反思

例1(2011年四川泸州中考)如图*,点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC;(3)设PA,BC交于点M,若AB=4,PC=2,求CM的长度.解析:这是一例延用许多年的经典问题.其中(1)较为简单,由"圆周角"定理易知:∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,则∠BPC=∠APB+∠APC=60°+60°=120°.对于(3),解法较少,不做过多探究:由∠ABM=∠CPM,∠AMB=∠CMP,可得△ABM∽△CPM,则AMCM=BMPM=ABPC=42=2,设CM=x,则AM=2x,结合BC=AB=4,可知BM=