数学竞赛问题(13)

482.设k是一个给定的实数,试求出所有的实数f:R→R,使得对于任何的x,y∈R,都有f(x2?y2?f(?k))=xf(x)?yf(y)+k.483.求出所有的整数对(x,y),使得x3?y3?x2y+xy2+1002x2?1002y2?3x+3y=2004.注本题于2004年7月提出并解答于江苏省扬中市.484.设k是一个给定的实数,x和y是实数,且2x2+2y2?5xy+x+y+k=0,试求x+y,xy,x2+y2及x2+y2?xy这四个数的取值范围(值域).485.求出适合于(y?2)x2+yx+2y=0的所有整数对(x,y).486.求出所有的整数n,使得20n+2整除2003n+2002.487.(1)设k是一个给定的实数,试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x,y∈R,都有f(x3?y3+k)=…     

2013罗马尼亚大师杯数学竞赛

第一天 1.任给正整数a,定义整数数列x1,x2,…,满足 x1=a,xn=2xn-1+1(n≥1). 若yn=2xn-1,试确定整数k的最大值,使得存在某个正整数(a)满足y1,y2,…,yk均为质数. 2.是否存在R→R上的函数对(g,h)满足如下性质:若对函数f:R→R使得对所有的x∈R,有 f(g(x))=g(f(x)), f(h(x))=h(f(x)),则f只能为恒同函数,即f(x)≡x? 3.已知四边形ABCD内接于☉O,直线AB与CD交于点P,AD与BC交于点Q,对角线AC与BD交于点R.若M是线段PQ的中点,K为线段MR与☉O的交点,证明:☉O与△KPQ的外接圆相切.     

有奖解题擂台(71)

题设R是全体实数的集合.试解决下列两个问题: (1)试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x、y∈R,都有f(f(x) f(x*y))=f(x) x*f(y); (2)试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x、y∈R,都有f(x2 y f(y) y*f(x))=2*y y*f(x) (f(x))2.     

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…     

数学竞赛问题（9）

305.(1)求出所有的整数n,使得(n~4 2003)/(n~3 n~2 1)是整数.(2)求数20042003被2580除所得的余数.注本题于2003年4月提出并解答于新加坡.306.(1)设111,2(1)nnnaaan == -1 (1,2,3,)n=L,求通项公式na.(2)设2111,2(1)1nnnaaan == - (1,n=注本题于2003年4月提出并解答于新加坡.307.(1)试求出所有的正整数对(,),abab,使得2221abab 是整数.(2)试求出所有的正整数对(,),abab,使得2221abab -是整数.注本题于20004年2月提出.308.(1)试求出所有的正整数对(,),abab使得2221ababab 是整数.(2)试求出所有的正整数对(,),abab使得2212ababab 是整数…     

数学竞赛问题（10）

353.设 a ∈ R, y = fa (x) = x2 (a 2)x ? a . (1) 求证:所有的二次曲线 y = fa (x) 都经过一个定点; (2) 求证:所有的二次曲线 y = fa (x) 的顶点都落在一条固定的二次曲线上; (3) 设 y = fa (x) 与 x 轴相交或相切,求出其小根的取值范围. 注 本题于2004年7月提出,被作为2004年《中学生数理化》主办的“数学夏令营(高中)(郑州) ”竞赛试题. 354.试求出所有的整数对 (a,b) ,使得 (a ?b 1)(a b 2) 整除ab 1. 355.试求出所有的整数对 (x, y) ,使得 x整除 y2 ? 4y 1,并且 y 整除 x2 2x ?7 . …     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 31　已知无穷数列 {an}的各项都是正整数 ,且其中任何连续若干项之和都不等于 1 0 0 .试求max{an,n∈N}的最小值 .(张延卫　江苏省宿迁市教育局 ,2 2 380 0 )初 1 32　试求出所有这样的实数k,使得关于x的方程 12 +k2 x2 + ( 2 +k)x -54( 2 + 1 )k =0的两个根都是有理数 .高 1 31　已知函数f(n)是定义在N+ 上的严格增函数 ,其值域也在N+ 之中 ,且满足f(f(n) ) =3n .求f( 2 0 0 3) .高 1 32　平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .( 1 )若确保图形中出现以给定点…     

数学奥林匹克问题

初95.试求出所有的整数k,使得x的一元二次方程kx~2-2(3k-1)x 9k-1=0的某一个根是一个分母为1999的既约分数。     

第52届IMO预选题(四)

数论部分1.对于任意正整数d,f（d）是满足恰有d个正因数的最小的正整数（如f（1）=1,f（5）=16,f（6）=12）.证明:对于每个非负整数k,均有f（2^k）|f(2^k+1).2.考虑多项式P（x）=（x+d₁）（x+d₂）…（x+d₉）,其中,d₁,d₂,…,d₉是9个不同的整数.证明:存在整数N,使得对于所有的整数x≥N,均有P（x）能被一个大于20的质数整除3.设n是正奇数.求所有函数f:Z→Z,使得对所有整数x、y均有     

数学奥林匹克问题

本期问题 初219 设k是一个给定的正整数．试求出所有的实数a,使得关于x的一元二次方程ax^2＋ax＋a＋2006=0的两个根均为整数,且两根之差的绝对值不小于2k-1．     

第33届IMO试题及解答

第一天(1992年7月15日) 1、试求出所有的正整数a、b、c,其中1相似文献   

第33届国际数学奥林匹克试题

第一天(1992年7月15日) 1.(新西兰)试求出所有的整数。,乃,‘,、其中1相似文献   

数学奥林匹克问题

本期问题初149　已知二次函数f(x)=x2-2mx 1.是否存在实数x,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b、c,f(a)、f(b)、f(c)能构成一个三角形的三条边的边长?(王连笑　天津市实验中学,300074)初150　试求出所有的整数n,使得70n 200n2 1是整数.(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院,51     

数学竞赛问题（7）

176.设*{1,2,3,4}N=L,问:是否存在函数**:fNN,使得对于任何的*nN,都有()(())(1)fnffnnn=??请说明理由. 177.试求出所有的正整数n,使得22n 33n 能整除331nn . 178.试求出所有的实数a,使得关于x的一元二次方程227(2749)axaax - - 14a 490-=的两个根皆为整数. 179.试求出所有的实数a,使得关于x的一元二次方程2430xaxa- =的两根皆为整数. 注 本题是于2002年10月20日为“2002年(第四届)广州市中学生创新精神和实践能力测评(竞赛)”所命制的数学试题(初赛). 180.在平面直角坐标系xoy,点P的坐标为(3,4),而点Q和R分别在x轴和y轴上,使得△PQR…     

第46届IMO预选题(上)

代数部分1.求所有次数为2且首项系数为1的整系数多项式P(x),使得存在一个整系数多项式Q(x),满足P(x)Q(x)的所有系数均为±1.2.设R+表示正实数集.求所有的函数f:R+→R+,使得对所有正实数x、y,有f(x)f(y)=2f(x+yf(x)).3.已知实数p、q、r、s满足p+q+r+s=9,p2+q2+r2+s2=21.证明:存在(p,q,r,s)的一个排列(a,b,c,d),使得ab-cd≥2.4.求所有的函数f:R→R,对于所有实数x、y,满足f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1.5.本届IMO第3题.几何部分1.已知△ABC满足AB+BC=3AC,I为△ABC的内心,内切圆与边AB、BC的切点分别为D、E.点D、E关于点I的对称点…     

第33届IMO越南国家队选拔试题

第一天(4小时) 1.给定两个自然数m和n,其中n>1,且nm,试求最小的整数k,使得任意k个满足条件:“对一切1≤i0,存在一个正整数n_0满足如下条件:对每个次数≥n_0且首项系数等于1的实系数多项式     

S-单式环的交换性条件

本文证明了如果R是一个s-单式环,且满足条件:1.?x,y∈R,存在不全为1有有界正整数k=k(x,y),s=s(x,y),t=t(x,y)使得(xy)~k=x~sy’,(xy)~(k+1)=x~(s+1)y~(t+1);2.R的所有幂零元素集合N是p-扭自由的,这里p是诸s和t的最小公倍数,则R是交换环。     

第48届IMO预选题（一）

数论部分 1.求所有的正整数对(k,n),使得(7k-3n)|(k4 n2). 2.设b、n是大于1的整数.若对每一个大于1的正整数k,都存在一个整数ak,使得k|(b-ank),证明:存在整数A,使得b＝An.     

关于一则高考试题的讨论

今年高考数学试题(理工类)第六题(2)是一则值得讨论的数学题。原题是:设三角函数 f(x):sin((kx)/5) π/3),其中 k≠0。试求最小的正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时     

关于整值多项式的一个定理

88年14届全饿数学竞贵有一题:若当x=一1,O,1,2时,P(x)三ax“十脉2十‘x d取整数值,则对所有整数x,p(x)都取整数值. 当条件变为:“一1,0,1时,P(x)取整值”不成立,当变为“一1,O,1,5时”也不成立(如p(:)=李二,一李二).但我们有 55,,一--一, 定攫设f(x)=a。x” … a。为n次多项式,若存在整数k。.使f(k。),f(k。 i),…,厂(k。 ,)为整数,则厂(x)为整值多式项. 需要两个引理: 引理工当。=i,z,…,n时,e二十:一zpc乏 : 3,c尝,:一 (一1)叹n i),e:洁1=0. 引理2设了(x)=a。x“ … a。,则对任意整数k,f(k)一C盆十:f(k i) C飞 :f以 2)一 (一1)” ‘e:…