权方和不等式的应用

定理:(权方和不等式)设ai>0,bi>0(i=1,2,…,n),m>0或m<-1,有 (n∑i=1 am 1i/bmi≥(n∑i=1ai)m 1/(n∑i=1bi)m) 定理的证明见文[1]. 本文以近两年初等数学杂志上的数学问题为例,说明权方和不等式的应用.     

权方和不等式在数学竞赛中的妙用

在数学竞赛中,不等式的证明经常出现,且形式多样,不过,许多竞赛试题满足权方和不等式这一特殊形式．本文利用权方和不等式去尝试解决这类不等式证明问题,得到了不等式证明的乐趣与熟记重要不等式的重要性,并收到了意想不到的效果．     

权方和不等式在求三角函数最值中的应用

本文试论述权方和不等式在求三角函数最值问题中的应用.     

权方和不等式的完善

不等式是数学研究的重要内容,在高考试题中受到青睐,并且是竞赛数学的热门话题,是中学数学学习的重难点．分式不等式长期以来就较复杂,在解决分式不等式问题中常常难以突破．对此,本文所给出的权方和不等式在解决分式不等式问题中具有广泛应用．     

例说应用权方和不等式证奥赛题的若干策略

权方和不等式是重要的著名不等式之一,是证明不等式的有力工具,在数学竞赛中有着非常广泛的应用.其条件简明,结构清晰,使用方便,能大大地简化不等式的证明过程,也是证     

权方和不等式引出一个数学问题

问题三角形内切圆半径r，旁切圆半径ra、h、rc、面积．S△、有：     

例谈柯西不等式在解竞赛题中的应用

柯西不等式为:(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a21 a22 … a2n)(b21 b22十… b2n).其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时取"=",(约定ai=0时,bi=0,i=1,2,…,n).对于许多不等式问题,若善于运用柯西不等式及其等价形式,则往往会使一些棘手的问题变得简单明了.关键是构造适合不等式的条件,并能根据问题探索其等价形式.     

构造不等式 巧解竞赛题

在数学竞赛中,有些问题乍看起来无从下手,但用构造不等式的方法可能巧妙获解.本文通过实例,介绍几种构造不等式的方法.一、利用正整数的意义例1(第三届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)求出所有这样的正整数a,使得关于x的二次方程ax2 2(2a-1)x 4(a-3)=0至少有一个整数根.分析本题根据正整数必大于等于1的基本概念构造不等式,即可确定x的可能取值,从而求出a.解将方程变形整理得a(x 2)2=2x 12,显然x≠-2,则a=2x 12(x 2)2.因为a为正整数,必有a≥1,所以2x 12(x 2)2≥1,于是解得-4≤x≤2,且x≠-2.这样x的可能值为-4,-3,-1,0,1,2.代入检验得a=1,3,6,…     

运用不等式控制法解数学竞赛题

在中学数学中 ,许多难度较大的竞赛题 ,从形式上看是等式问题 ,有时直接用等式的有关知识去解 ,是较难达到目的的 .但若根据题设条件 ,设法建立不等式 ,控制变量或变式 ,并通过对不等式的研究 ,最后获得结论的方法 ,我们称之为“不等式控制法”.应用这一方法 ,往往需要由等量关系过渡到不等量关系的思维转变 ,因此 ,它是考查学生思维灵活性和敏捷性的最佳题型之一 .所以 ,在近几年国内外数学竞赛中 ,经常出现利用不等式控制法来解的试题 ,但参赛学生对这一重要解题方法的掌握还不是很熟练 ,为此 ,本文就竞赛中的具体例子 ,介绍利用不等式控…     

应用参数法求解竞赛题

圆与椭圆的参数方程是在数学竞赛具有重要应用的内容,二者的应用价值在于:(1)通过参数简明地表示曲线上任意一点的坐标;(2)将曲线的有关计算问题转化为三角问题,从而运用三角函数性质及变换公式帮助我们求解诸如最值、参数取值范围等问题.这就是求解数学竞赛试题的“参数法”.     

浅谈均值不等式的应用求解

针对现行高中的高二数学（上）中第六章《不等式定理求某些函数的最大或最小值。简称“一正等式》的6．2节《算术平均数与几何平均数》这一二定三相等”。     

用权方和不等式简证一类分式不等式

权方和不等式是著名的重要不等式之一,是证明不等式的有力工具,它具有条件简明、结构优美、使用方便等特点．若能恰到好处地正确运用权方和不等式,将会起到简化证明过程的神奇效果．本文以数学杂志中的几个分式不等式为例,给出证明与大家共享．     

用不等式（组）解竞赛题

学习了不等式(组)的性质和解法后，我们可以灵活应用它们来解一些数学问题。     

浅谈权方和不等式的应用

所谓权方和不等式，是指下面这个不等式：     

变通思维在求解一道化学竞赛题中的应用

变通思维是一种常用的思维技巧，它要求学生在解题时要有一定的思维灵活性和缜密性．下面列举某地一道化学竞赛题，它能较好地考查学生的思维变通能力．     

也谈一道竞赛题的通法求解

题目（2011年全国初中数学竞赛题） 如图1,△ABC中,＜BAC=60°,AB=2AC,     

一类不等式的推广及应用

高中课本以例、习题的形式给出了下列不等式 :已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,并且ａ≠ｂ ,求证 :ａ5 ｂ5>ａ3 ｂ2 ａ2 ｂ3 ;ａ4 ｂ4 >ａ3 ｂ ａｂ3 ;ａ3 ｂ3 >ａ2 ｂ ａｂ2 .其实 ,这一类不等式有如下更一般的形式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｐ·ｑ∈Ｒ ,则　　ａｐ ｑ ｂｐ ｑ ≥ａｐｂｑ ａｑｂｐ,(1)其中等号当且仅当ａ=ｂ时取得 .证明　由 ｐ·ｑ∈Ｒ ,知幂函数 ｙ =ｘｐ 和ｙ =ｘｑ 在 (0 , ∞ )上同为增函数或同为减函数 ,则当ａ ,ｂ∈Ｒ 时 ,ａｐ-ｂｐ 与ａｑ -ｂｑ 总是同号或同时为零(当且仅当ａ=ｂ时 ,ａｐ-ｂｐ =0 ,ａｑ-ｂｑ =0 ) ,从而(ａｐ-…     

不等式竞赛题的解法探究

这里介绍最近见到的8道不等式，以及它们的解法。我们更希望通过这些不等式及其解法提倡2件事：     

特征分析思想在解数学竞赛题中的应用

本文结合例题介绍特征分析思想的应用.1关系式特征数学竞赛题中,常会给出一些关系式,有的时候可恰当地转化关系式的形式,使之与我们学过的某些知识建立起联系,从而找到解题的切入点.例1已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2=b2 bc.求证:∠A=2∠B.分析:考虑到已知条件给出的关系式的特征a2=b2 bc=b(b c),a.a=b.b b.c.比较这两种特征,我们可以联想到相似三角形中的比例关系,同时可以构造图形来解此题.图1证明:如图1,延长CA到D,使得AD=AB=c,则CB2=CA.CD.所以,CB为△ABD的外接圆过点B的切线.注意到∠ABC=∠ADB=∠ABD,故即∠A=2∠B…