巧设必须合理 妙解还应防误

在学习等比数列时,老师布置了如下一道习题:“已知一个各项均为实数的数列,前四项之积为81,第二项与第三项之和为10,试求这个等比数列的公比”.许多同学采用的解法是:错解;设这个实数等比数列的前四项依次为 a/q~3,a/q,     

一道递推数列求通项的多种方法

题目:数列{an}满足a1=1,an=2an-1+5求通项an. 法一:构造法解:由得设则∴数列{bn}是以首项为6,公比为2的等比数列说明:由已知递推公式变形非常巧妙地构造新等比数列,体现了转化的思想.     

对一道题已知条件的探讨

省编中师函授数学教材第三册有一道等比数列习题(P.517第2题)。一个等比数列前三项的和等于3.5,前三项平方的和是52.5,求这个数列的第一项和公比。解答时,设此等比数列的前三项分别为a_1,a_2,a_3,则     

高考数列基础试题考点解析

数学科《考试说明》要求考生:1理解数列概念,了解数列通项公式、递推数列的意义,能根据递推公式写出数列的前几项;2理解等差数列、等比数列的概念,掌握其通项公式、前n项和公式及其应用.下面介绍数列基础试题考点及其求解策略.考点1　等差数列性质应用例1　(2003年新课程卷高考题)已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m-n|=(　　)(A)1.　(B)34.　(C)12.　(D)38.解析:运用等差数列性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”与题设条件可求出四个根.设a1、a2、a3、a4成等差数列,则a1+a4=a2+a3=2.故a1=14,a2=34,a3=54,…     

巧设必须合理 妙解还应防误

在学习等比数列时,老师布置了如下一道习题:“已知一个各项均为实数的数列,前四项之积为81,第二项与第三项之和为10,试求这个等比数列的公比”,有些同学采用的解法是:     

解答数列题的四个“用”

解后反思数列问题的常规解法就是利用数列的通项公式列出方程组．然后求出首项和公差（公比）,当有了首项和公差（公比）之后,任何一项的求解都不是问题了,但是运算往往较繁琐．优化解法则巧妙利用等差数列和等比数列的一些常用的结论和性质,这样做题时必能事半功倍．     

数列题求解通法

通法一：基本量法我们把等差数列、等比数列的首项ａ１、公差ｄ、公比ｑ、项数ｎ叫做这两种数列的基本量．通项公式及前ｎ项和公式则反映了这些基本量的数量关系．对一个数列问题先设出其首项ａ１、公差ｄ（或公比ｑ）等基本量,再通过通项公式或前ｎ项和公式求得结果,是...     

数列自测题

一、填空题(每题3分,满分36分)1.已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=52,则a5=.2.已知{an}为等比数列,公比为q,且a5=8,q=2,则an=.3.已知{an}是等比数列,公比为q,前n项和为Sn,q=2,a1=7,Sn=217,则n=.4.在等差数列{an}中,若a3=6,且a3、a7、a10成等比数列,则公差d=.5.设已知{an}是单调递增的等比数列,若a1=-2,则公比q的取值范围为.6.根据下列4个图形及相应点个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.7.已知数列{an}为等差数列,a1 a3 … a2k 1=96,a2 a4 … a2k=80,则整数k=.8.已知数列{an}满足以下关系a1=3,an 1=a2n 1,则数列{an}的通项公式为an=.9.等…     

错在哪里

1 重庆市綦江县三江中学周明煜（邮编：401431） 在学习等比数列时,我布置了如下一道习题：“已知一个各项均为实数的数列,前四项之积为81,第二项与第三项之和为10,试求这个等比数列的公比”．许多同学采用的解法是：     

浅谈高考对求数列通项公式问题的考查

<正>一、直接利用等差或等比数列定义求通项利用已知条件求出首项与公差(公比)后再写出通项.例1已知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4、a5+1、a5成等差数列,求数列{an}的通项公式.     

实数集与复数集的相异性质——从一类数列高考题谈起

<正>一、一类数列高考题的刍议1.问题的提出先看2009年高考文科数学全国卷Ⅱ第13题:问题设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,S6=4S3,则a4=_______.原解设等比数列{an}的公比为q.若q=1,则S6=6a1=6,S3=3a1=3,不满足题意S6=4S3,故q≠1.由S6=4S3,得     

构造法求递推数列的通项公式

一、平移法构造新数列1.平移向量为常量例1在数列{a}n中,若a1=1,an+1=2an+3,(n≥1),则数列的通项an=.解:由题意得an+1=2an+3.(1)则设存在x满足等式an+1+x=2(an+x),与(1)相比较可得x=3.即an+1+3=2(an+3).所以数列{an+3}是以a1+3=4为首项,以2为公比的     

对2004年全国高考湖南文科卷第20题的发掘

试题　已知数列 {an}是首项为a且公比q不等于 1的等比数列 ,Sn 是其前n项和 ,a1、2a7、3a4 成等差数列 .(Ⅰ )证明 1 2S3、S6 、S12 -S6 成等比数列 ;(Ⅱ )求和Tn =a1+ 2a4 + 3a7+… +na3n- 2 .该题源于教材习题 ,难易适中 ,可运用多种方法求解 ,体现了“重基础、出活题、考能力”的原则 .本文将从三个方面对该题加以发掘 .1　教材背景发掘背景 1　高中《数学》第一册 (上 )第 1 2 9页习题3.5第 7题 :已知数列 {an}是等比数列 ,Sn 是其前n项的和 ,a1、a7、a4 成等差数列 .求证 2S3、S6 、S12 -S6 成等比数列 .背景 2　高中《数学》第一…     

一道高考数学试题的高等数学背景研究

2009年湖南高考数学理科第21题是这样的: 对于数列{un},若存在常数M>0,对任意的n∈N*,恒有|un+1-un|+|un-un-1 |+…+|u2-u1|≤M,则称数列{un}为B-数列. (Ⅰ)首项为1、公比为q(|q|<1)的等比数列是否为B-数列?请说明理由; (Ⅱ)设Sn是数列{xn)的前n项和,给出下列两组论断:     

数列问题特殊解法举隅

涉及数列问题,特别是等差数列与等比数列,通常给出的方法是以其首项及公差或公比作铺垫,由题目的条件获解.但一些习题照此办法则显得繁琐,乃至无法得结果.现介绍一些特殊的方法.     

等比数列的性质及应用

性质 1若 {an}为等比数列,公比为 q,则 {}也为等比数列,公比为 .(其中 q是实常数,下同 ) 性质 2若 {an}为等比数列,公比为 q,则 {kan}也为等比数列,公比为 q.(其中 k≠ 0,是实常数 ) 例 1在等比数列 {an}中,已知 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5=,,求 a3. 解：设 {an}公比为 q,由性质 1可知 {}是公比为的等比数列,已知的两式又都恰是五项 . 所以得 =,① a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5=.② 由①②可得 a1q2=± , 即 a3=a1q2=± . 性质 3若 {an}成等比数列,且 m＋ n=k＋ l,则 am· an=ak· al.(m,n,k,l∈ N) 性质 4若 {an}成等比数…     

错在哪里?

一、险西绘德城郊二中刘永粤来稿 越.在等比数列{入}中,已知q、”、S:,求a:与a。。(现行高中代数二册第7G页第5(2)题) 解:由等比数列公式可得。》2”。在上述解答中,当求得a。 ,二3么时应加上限制条件“、》2”,所以数列{a:}中除第一项外的其余各项构成以3为公比的等比数列,此等比数列的首项为a:=25,=2al=2,:’a。=2.3”一2(”)2)综上可得原数列的通项公式为口1=红<址~夕2_。S。(1一q)q”一‘1一qn1一q解答错了,错在哪里? 错在解答过程中没有考虑q二1的情况。试看:若g=1,不妨取n“5,S二二10,这时a:=a。二2,而错解得不出此结论。正确的解法…     

数列中的错解两例

例 1　已知 4个数成等比数列 ,其积为81 ,且中间两项之和为 1 0 ,求它的公比 .错解　设此 4数为 ａｑ3,ａｑ ,ａｑ,ａｑ3,求得ａ4=81 ,而ａ∈Ｒ ,ａ2 =9,从而有ａｑ ·ａｑ =9,ａｑ +ａｑ =1 0 ,.∴ａｑ和 ａｑ 是方程ｘ2 -1 0ｘ +9=0的两根 ,解之得ｘ1 =9,ｘ2 =1 ,∴ａｑ =1 ,ａｑ=9,或ａｑ =9,ａｑ=1 .从而 ,所求公比是 9或 19.剖析　在上面的解法中 ,所设的 4个数 ,组成公比为 ｑ2 的等比数列 ,这就无形之中限定了该数列的公比为正数 ,其实所求的公比也可能是负数 .正解　设公比为 ｑ ,显然 ｑ≠ 0 ,并设这 4个数为 ａｑ ,ａ ,ａｑ ,ａｑ…     

数列解答题集锦

1．已知数列{an}满足an=an＋1＋4,a18＋a20=12,等比数列{bn）的首项为2,公比为q。     

高考专题复习——数列

数列是初等数学与高等数学的重要衔接点,是考查学生逻辑思维能力和推理能力的好素材,因而数列一直是高考的热点,而对数列的考查又集中在等差数列与等比数列上,又因为数列中第n项与n形成的函数关系,使得数列又成为函数知识的一个重要载体,题目类型、解题方法趋于多样化,可归纳为以下四个方面:1运用数列中基本量关系,突出核心量等差、等比数列中五个基本量,首项a1,项数n,通项an,前n项和Sn,公差d(公比q),由通项公式及前n项和公式密切联系,组成数列的基本运算网络.例1数列{an}中,a1=1,当n≥2时,前n项和Sn满足S2n=an(Sn-21)(1)求Sn的表达式;(2)…