论一般化思想在数学解题教学中的作用

“由特殊到一般,由一般到特殊”是人们认识事物的两个基本过程．在数学学习中,特殊化和一般化更是常常交替呈现、循环使用（如图1）．解选择题和填空题时,特殊化是学生常用的策略之一,而对于一般化,学生的体会并不是很深,但不可否认,在数学教学中,一般化思想有着其它任何思想方法都无法替代的作用．那么,什么是一般化？     

一般化——一种解题方法

“由特殊到一般”,“由一般到特殊”是人们认识事物的两个基本过程．我们可以通过特殊去探索一般结论,也可以从一般结论去研究特殊问题．用特殊化解决数学问题的方法已司空见惯,这是因为习惯上人们认为特殊问题较一般问题容易解决,特殊问题具备的条件多且有很多性质可以利用．事实上决非所有问题都是如此,正如G·波利亚在《怎样解题》中所说：“一般化也许有助于解题,越一般化的题目可能越容易解答．”这是     

2010年数学高考解析几何试题评析

解析几何是高中数学的主干内容，在高考中占有重要的地位．由于“能力立意”是新课程高考的主要命题思想，因此在新课程高考中解析几何处于高考命题的主体位置．在当前《新课程标准》与《教学大纲》并存时期，研究新课程高考中解析几何命题的基本特征有助于提高现阶段高中数学教学的实效．     

数学解题的一般化策略

在日常数学教学中我们经常会面临一个看似比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题，此时我们要设法把这个问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，找出一个能够揭示事物本质属性的一般性问题，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。这就是“进中求退”的一般化策略思想．运用“进中求退”的一般化思维策略，使我们能在更一般，更广阔的领域，在变化之中寻求化归的途径。这能提高学生思维的敏锐性与深刻性，培养学生的问题意识、勇于探索、敢于创新精神。     

运用一般化、特殊化解题的实践与思考

1 一般化、特殊化的基本认识 1．1 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式 郑毓信、梁贯成老师在《认知科学、建构主义与数学教育》一书第二章第二节“高层次数学思维的研究”第115页中指出，“从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用。具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式。     

一道开放性试题的探究与推广

数学命题一般由“条件”和“结论”两部分组成.正确的命题揭示了“条件”与“结论”之间的必然联系.如果我们把命题中“条件”和“结论”互换身份,就有可能得到一个有意义的逆向命题;把一个数学命题中的某些特殊的条件一般化(比如取消某些条件过强的限制),从而得到更普遍的结论,叫做数学命题的推广.这两种方式都是发现数学新知识的重要途径.     

高中数学学习能力培训“一招鲜”

高中数学学习能力培训最得力的一招就是举例说明,从“举一个例子”开始切入,逐步地从特殊到一般的归纳推理的逻辑思维模式,这样的数学实验能较为轻松地启动学生自我实现探究思考,尤其是极端的思维举例,有助于学生理解数学知识的巧妙与美丽。     

注重“特殊化”，更不能忽视“一般化”

在中学数学中,“特殊化”是一砷重要的思想方法,将一般问题特殊化,可以化抽象为具体,化高维为低维,化整体为部分,化复杂为简单．但我们不能因此就夸大“特殊化”的作用,而忽视“一般化”．事实上,我们在解决数学问题时,经常以特殊问题为起点,逐步分析、比较、讨论,层层深入,从解决特殊问题的规律中,寻求解决一般问题的方法和规律,并由此推广到一般．因此,特殊化是解决问题的起点,将问题一般化才是终点;特殊化是解决问题的手段,将问题一般化才是真正目的．     

习题的价值在探究中升华

荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说过：“数学教学方法的核心是学生的‘再创造’”．数学教学不仅要让学生获得知识，更重要的是要让学生拥有智慧、学会思考和再创造．知识关乎事物，智慧关乎人生，知识能看到一块石头就是一块石头，一粒沙子就是一粒沙子，做一道习题算一道习题；智慧则能从石头和沙子中看到风景，从习题中得到启发，获得创新的灵感．数学探究是高中数学新课程中引入的一种新的学习方法，其中对习题的探究是数学中最常见、最直接的形式，通过对习题的探究和知识的再创造，让学生具有独立获取数学知识的能力．如何对习题进行探究而获取知识呢？可以按照不同的层次进行：可以改变命题的条件或结论，或是对结论的推广；也可对命题进行类比和归纳．     

把关试题的赏鉴与思考

1缘起 考试是高中数学教育评价的核心环节之一，是高中教育阶段不可替代的重要评价方法。与“函数与方程”“数形结合”“分类讨论”等数学思想不同，“特殊与一般”思想的载体更为丰富，解题方向有一定隐蔽性，方法没有固定的程式可套，对学生的数学素养和综合处理能力有较高要求。那么，如何把数学思想方法合理地渗透在试题中，既能考查学生的思维能力，又能不失偏颇，是一个值得深思的问题。本文笔者仅以几道填空题为例进行阐述。     

再谈数学思想方法的多方位渗透

J.S.布鲁纳指出:掌握基本数学思想和方法能使数学易于记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”,不但要让学生学习特定的事物,而且要让学生学习一般模式,模式的学习有助于理解可能遇到的其他类似事物,在基本数学思想和方法的指导下驾驭数学知识,就能培养学生的数     

如何引导学生推广数学命题

任何一个数学命题都是由两部分组成的,第一部是条件,也叫前提,第二部分是结论。结论的正确与否与前提有关。一般地,如果一个命题的条件改变了,那么它的结论也会发生相应的变化。把一个数学命题中特殊条件一般化,或去掉某些条件,从而得出更普遍的结论,就叫做推广数学命题。在数学教学中,教师通过启发、诱导,让学生把数学命题推广,不但可以使学生对命题的认识深化,更重要的是使学生获得举一反三,触类旁通的能力。推广数学命题的过程,就是由特殊到一般的思维过程。这种形式的思考,有助于学生逐步养成观察、分     

用"特殊化"解题应防漏解

拜读了《小学教学研究》2003年9期《既然是“任意”何不当“特殊”》一文，颇受启发。文中所例举的4道习题，有助于开阔解题思路，更能使学生体会到“任意”中蕴含着“特殊”，从而可以借助于特殊来解一般情形的问题。     

"赋值法"在中学数学解题中的运用例说

人们认识事物的过程往往是先从特殊再到一般．由于事物的特殊性中也蕴涵着事物的某些普遍性,因而我们有时就可用这种特殊性去探讨事物的普遍性,这种方法之一便是“赋值法”．“赋值法”的运用十分广泛,它不仅是解决选择题与填空题简便易行的方法,也是探索思路和发现问题的向导．本文选取高中数学中的几个典型例题加以说明,供参考。     

高中"数学情境与提出问题"的教学实践--"归纳-猜想-证明"教学案例

“数学情境与提出问题”教学模式强调创设激发学生思维火花的情境，师生和谐于一体，并围绕相关问题而探索，集思广益，共同提高．具体到讲授“归纳-猜想-证明”一课，可从讲述著名的哥德巴赫猜想的产生与发展历程引入，给学生以探索求真的感染力，同时揭示从特殊到一般的探索真理的思想方法及意义．适时提出探索性问题，让学生学习和体会数学归纳法在探索性问题求解中的运用，体会“归纳-猜想-证明”这一认识事物重要方法的意义．     

运用数学归纳法解决一般化问题

(本讲适合高中)与特殊化相反,一般化就是将具体的个性问题转化为一般的共性问题来研究.由于特殊情形往往涉及一些无关紧要的枝节而掩盖了问题的关键,而一般情况却更能明确地表明整体性质和本质属性,因此,一般化在数学解题中有着广泛的运用.本文结合实例,谈谈一般化在数学归纳法证明中的运用.     

例谈立体几何与解析几何的交汇

立体几何与解析几何是高中数学两大分支学科．在崇尚“于知识网络的交汇点处命题”的当今，立几与解几交汇的学科内综合题，正以它的新颖性、综合性“闪亮登场”．在各类考试中崭露头角．这类问题涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分．本想通过几个典型例题的分析引起大家的重视．     

运用一般化的思想方法解题

所谓一般化的思想方法是指在解决问题时,把具体问题一般化,也就是说将给定问题看作某个一般问题的特殊情况,先解决一般问题,再解决具体问题．本文将通过一些具体的例题谈谈一般化的思想方法在解决数学问题中的运用。     

用“一般与特殊”的哲学观点看数列

哲学告诉我们,矛盾的普遍性与特殊性具有辩证统一的关系,表现在高中数学的数列上,“一般”比“特殊”抽象、深刻、更接近本质,“特殊”比“一般”具体、丰富、明了易懂。有时,合理地进行“一般”与“特殊”之间的转化,还能为数学问题的理解和求解提供途径,具有重要的方法论意义。     

只剪一刀

一般化思想是一种重要的数学思维策略，它在数学中应用广泛．当有些数学问题在原问题中较难处理时，可以将它置于一个较一般的问题中以获得问题的解决，这种处理问题的思考方法就是一般化思想．以下笔者谈一谈一般化思想在数学解题中的几种应用．