非线性递归数列化归为线性递归数列的常见技巧

在数学竞赛中,常常遇到一些具有一定难度的非线性递归数列,对这类问题有时不妨将其化归为线性递归数列,然后用特征根方法求解．     

递归数列

由于递归数列已写进中学教科书里,而且全国高考中也常有这类试题出现,因而引起了中学师生对这类问题的关注。不仅如此,运用递归数列还能解决许多实际问题。这样一来,研究递归数列就显得更加有意义了。什么叫递归数列呢?简明地说,就是给出初始项和递推公式的数列,叫做递归数列。例如,右边表格中所确定的数列,都是递归数列。递归数列的通项公式如何求呢?这将是我们所讲的主要问题。到目前为止,只解决了线性递归数列通项的求法,而非线性递归数的通项,还没有一般的求法。     

线性递归数列

讨论线性递归数列的性质，由递推公式和特征方程解的情况得出通项公式。     

线性递归数列初探

本文试用待定法导出一类较简单递归数列的通项公式.由此对著名的斐波那契(Fibonacci)数列作重要推广.     

线性递归数列的周期性

本文引入周期数列的极小多项式,多项式的周期。得到了周期数列的极小多项式必定是x~n-1的因式;x~n-1的任一因式必定存在以它为极小多项式的周期数列;周期数列的周期等于它的极小多项式的周期。     

递归数列问题的探讨

递归数列是高考数列命题的热点.它的方法灵活,技巧性强,学生往往难以把握.对于常用的等差数列或等比数列可直接求出他们的通项公式,但对一些复杂的递归数列,我们需要把它转化为等差数列或等比数列的问题来求其通项公式,如何进行求解成了研究的重点.由于递归数列的类型有很多种,解题方法也不尽相同,所以导致递归数列的研究相对分散,本文综合归纳总结几种常见类型的递归数列求通项的方法.     

递归数列与复合函数

已知,(x)=2x-3,容易求得f[f(x)]=4x-9,进而可以求得f{f[f(x)]}=8x-21。如果要求(?)的解析式,问题仍可解决,但若通过逐次复合去求解,运算过程便将变得十分复杂。如果进一步要求(?)的解析式,则上述方法便完全失效。这就迫使我们去另辟蹊径,寻求新的解决问题的方法。上述问题可以如下形式一般地提出:“记f_n(x)=(?)(下文同),若已知f(x)的解析式,求f_n(x)的解析式”。本文试用递归数列为工具,给出解决该类问题的思想方法,并导出若干公式。     

递归数列应用几例

近几年高考试卷中屡次出现关于递归数列的试题,在高中毕业生中引起强烈反响。各数学刊物也相继发表了不少求递归数列通项的文章,但关于递归数列的应用方面的文章却不多。本文举几个递归数列应用的例子,同时也提供几种求形如a_1=b,a_(n+1)=ca_n+f(n)的递归数列的通项的方法。例1 某运输队必须在规定的时间内完成360吨货物的运输,调度员这样安排:第一天上午运10吨,下午运剩下的1/7;第二天上午运20吨,下午运剩下的1/7。以此类推,第k天上午运10k吨。下午运剩下的1/7。这样在规定的时间内刚好运完,问规定的时间     

圆形涂色中的递归数列

递归数列是高考数学的重点和难点,涂色问题是排列组合中的难点,两者的有机整合是一类较难的问题,本文以独特的视角从圆形涂色中分析了递归数列,目的是突破这类型的常见问题.     

一类特殊递归数列的极限

研究一类特殊递归数列的极限问题,通过将递归数列写成矩阵的迭代格式,讨论其极限的存在性给出了几个特殊情形时的极限值.     

非线性递归数列的求解方法

数学是数学竞赛中重要课题之一 ,许多数列都是通过递归公式给出的 数列的递归式有线性递归式和非线性递归式两种 ,线性递归式都有具体的模型可循 而非线性递归数种类繁多 ,解决这些问题的方法很多 ,但是可通过好方法转化为线性的来处理 ,下面介绍一些常见的转化方法 1　特征方程法ａｎ+1 =ａａｎ +ｂｃａｎ +ｄ(ｃ≠ 0 ,ａｄ-ｂｃ≠ 0 ) ,ａ1= 1为已知 ,求ａｎ 的一般表达式 上式称为一阶分式线性方程 ,我们有下面的定理 :定理　设Ｘ1 ,Ｘ2 为递推关系ａｎ+1 =ａａｎ +ｂｃａｎ +ｄ 的特征方程ｘ =ａｘ +ｂｃｘ +ｄ 的两根 ,那么(ｉ)若…     

谈谈递归数列的极限求法

介绍递归数列的械念及求递归数列极限的两类常用方法：确定通项公式极限法与转化方程法。     

非线性递归数列的求解方法

数学是数学竞赛中重要课题之一,许多数列都是通过递归公式给出的.数列的递归式有线性递归式和非线性递归式两种,线性递归式都有具体的模型可循.而非线性递归数种类繁多,解决这些问题的方法很多,但是可通过好方法转化为线性的来处理,下面介绍一些常见的转化方法.     

递归数列通项的求法

许多数列都是通过递归公式给出的,而通过递归公式来求递归数列的通项公式是数学竞赛的重要课题,本文就一些由递归关系求数列通项的方法作一点探讨.     

一类分式递归数列的周期性

利用求数列通项公式的不动点法,讨论了一类分式递归数列的周期性,并得到了关于一类分式递归的数列的周期性的一个结论,最后给出了这个结论的应用。     

递归数列的五种技能

给出了涉及递归数列问题求解的几种技能。     

常系数线性递归数列是周期数列的充要条件

给出了常系数线性递归数列u2n=a1un-1 a2un-2 … akun-k f（n)是周期数列的充要条件。     

常系数线性递归数列是周期数列的充要条件

给出了常系数线性递归数列un=a1 un-1 +a2 un-2 +… +akun-k+f (n)是周期数列的充要条件     

线性递归数列通项求法

新教材将数列放在高一讲授 ,并提出了递推公式的概念 ,笔者认为这是一个很重要的信息 ,许多数列问题中的通项主要由递推关系给出的 ,递归数列在竞赛试题中也是屡见不鲜 .本文举例谈谈线性递归数列求通项的几种常见类型和方法 ,旨在抛砖引玉 .1　可化为 an+1 -an =f (n)型的递归数列方法 :an =a1 + ∑nk=2(ak -ak-1 ) =a1 +∑nk= 2f (k -1)例 1　已知递归数列a1 =2an -an-1 =2 n (n≥ 2 ) .求 an.解 :an =a1 + ∑nk=2f (k -1) =a1 + ∑nk=2(2 k) =n2 + n.2　可化为 an+1 an=f (n)型的递归数列方法 :变形为 anan-1=f (n -1) ,an-1 an-2=f (n -…