一类特殊三棱锥的性质

本文给出三条侧棱两两互相垂直的三棱锥的一些性质: 性质1 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,侧面与底面的夹角依次为α、β和γ,则cos~2α     

长方体内的三角不等式

我们先来看长方体的对角线与三个夹角的一个重要性质:定理:若长方体的对角线与三个面的夹角为α、β、γ,则sin~2α+sin~2β+sin~2γ=1……(1)cos~2α+cos~2β+cos~2γ=2……(2)证明:如图所示,长方体的对角线 BD_1,连 BD、BA_1、BC_1,那末 BD_1与三个面:面 BD、面 BA_1、面 BC_1的夹角分别为α、     

中学生课外基本练习题──高中部分

高一年级1．1．已知F（θ）=cos~2θ＋cos~2（θ α）＋cos~2(θ β），问是否存在满足0≤α≤β≤π的α、β，使得F(θ)的值不随θ的变化而变化？如果存在，求出α、β的值；如果不存在，说明理由．l．2．如图，AB是底面半径为R的圆柱的一条母线．O为下底面圆的中心，BC是⊙O的切线．（1）求证：OB⊥AC；（2)若AC与圆柱下底面所成的角为θ高二年级2．1．如图，θ＝30°，S△ABF＝2-求以坐标原点为中心，F为焦点，OA、OB分别为长半轴、短半轴的椭圆的标准方程．2．2．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于底板面积．但按采光…     

从长方体对角线的性质定理谈起

高中《立体几何》(甲种本)第56页上有一个关于长方体对角线的定理:长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。由这一定理可获得推论一若长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ,则 cos~2α+cos~2β+cos~2γ=1。     

一道高考立体几何创新题的思考

20 0 3年数学科高考文科卷中 ,有下面一道采用类比思考而作答的创新试题 :题　在平面几何里 ,有勾股定理 :“设△ABC的两边AB、AC互相垂直 ,则AB2 +AC2 =BC2 。”拓展到空间、类比平面几何的勾股定理 ,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是 :“设三棱锥A -BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直 ,则。”解　因为三棱锥A -BCD中三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直 ,所以三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直。作AH⊥平面BCD于H ,连DH交BC于E ,则易知AE⊥BC ,且DE⊥BC ,于是cos∠AED =HEA…     

长方体中的不等式

学过立体几何的同学都知道,长方体具有如下两条重要性质:(1) a~2+ b~2+ c~2=l~2(a、b、c、l分别为长方体的长、宽、高和对角线); (2)cos~2α+cos~2β+cos~2γ=1(α、β、γ为长方体的对角钱与相邻三条棱所成的角)。由此出发,我们可以得出一系列与长方体有关的不等式。     

构造长方体 巧证不等式

对于长方体,教材给出了如下性质: 定理长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。性质1 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是α、β、γ,则 cos~2a cos~2β cos~2γ=1。性质2 长方体的一条对角线与各个面     

高中部分

1.如右图,设P是正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的上底面A_1B_1C_1D_1内任一点。BP与三条棱AB、BC、BB_1所成的角分别为α、β、γ,那么cos~2α cos~2β cos~2γ的值是( )。 A.2 B.1 C.1/2 D.与P点的位置有关 解法一:以BP为体对角线在正方体内“割”出一个长方体,即为《立体几何》(甲种本) P56例1     

“方程法”在三角中的应用

引入变量,将一些原本不是求解方程的问题转化为解方程,从而使原问题获解的方法,称为“方程法”。可应用在一些三角等式的证明中。 [例1] 已知cos~4α/cos~2β+sin~4α/sin~2β=1,求证:cos~8α/cos~6β+sin~8α/sin~6β=1。证:令cos~2α=x,sin~2α=y,则有,用代入消元方法可得到,x~2-2xcos~2β+cos~4β=0,即(x-cos~2β)~2=0, ∴x=cos~2β,y=sin~2β,即cos~2α=cos~2β,sin~2α=sin~2β。     

构造法解题几例

例1.若锐角α,β,γ满足cos~2α cos~2β cos~2γ=1,求证:tgαtgβtgγ≥2 2~(1/2)。联想到长方体对角线,于是构造棱分别为a,b,c的长方体,立即得解。是为构图法。     

三角形的一个特殊点集

众所周知,三角形有重心、垂心、内心、外心、旁心及费尔马点等特殊点,这里我们将介绍三角形的一个特殊点集。 定理1 以△ABC三边为底向形外（或形内）作三个相似等腰三角形ABD、BCE、CAF,则AE、BF、CD三线共点。（如图） 证明 分三种情况考虑,并设向形外作的三个相似等腰三角形的底角为α。 (1)当α趋于0时,则三个相似等腰三角形的顶点D、E、F分别趋于AB、BC、CA的中点,所以,当α=0时,D、E、F是AB、BC、CA的中点,由重心定理可知AE、BF、CD三线共点。 (2)当α趋于π/2时,则AD与BD、BE与CE、AF与CF趋于平行,则CD与AD、BD;BF与AF、CF;AE与BE、CE也各趋于平行。所以当α=π/2时,CD∥AD∥BD,BF∥AF∥CF,AE∥BE∥CE,(D、E、F为无穷远点)所以此时CD⊥AB、BF⊥AC、AE⊥BC,由垂心定理可知CD、BF、AE三线共点。     

一道无棱二面角题目的不同解法

如图所示,ABCD是直角梯形,∠A BC=90°,SA⊥底面ABCD,AD=0.5,求面SCD与面SBA所成二面角的大小.解法一延长BA与CD,交于点P,连接SP.过点A作AE⊥SP,垂足为E,连接DE.∵SA⊥底面ABCD,AD?面ABCD,∴SA⊥AD.∵AD⊥AB,SA∩AB=A,∴AD⊥面SAB,∴AE为ED在底SAB内的射影.∵AE⊥SP,∴ED⊥SP,∴∠A ED即为面SCD与面SAB所成二面角的平面角.在Rt△SAP中,SA=AP=1,∴AE=2/2.在Rt△EAD中,tan∠A ED=12/2/2=22,∴∠A ED=arctan(2/2)点评无棱二面角的求解,关键在于如何寻找二面角的棱.很明显,在这个题目中,已经知道了…     

从一道题看二面角的求解策略

在历年高考中,解决立体几何解答题一般有几何法和向量法两种(几何法重逻辑推理,向量法重计算).现就一道典型题目谈谈二面角问题的求解策略. 题目 如图1,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD. (2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值. 现在主要针对第二问作探讨. 解法1:作出二面角的平面角. 过点A作AE⊥PB交PB于E,过E作EF∥BC交PC于F,连接AF.     

对《一个公式的巧用》的一点补充

“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ     

立体几何考题突破

一、真题突破1.直线与平面例1 (安徽卷)已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面.下列命题中正确的是A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βc.若m∥α,m∥β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n     

对一道征解题的推广

《数学通报》1993年第6期问题解答栏第839题为: 若α,β,γ均为锐角,且满足cos~2α cos~2β cos~2γ=1,求证:ctg~2α ctg~2β ctg~2γ≥3/2。     

2006年高考数学模拟试题（一）

第一卷(选择题共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．不等式|2-x|>1的解集是 ( ) A．{x|x<3} B．{x|13} 2．设从集合R到R的映射f：x→y=x~2-1，那么3在f下的原象构成的集合是 ( ) A．{2} B．{-2} C．{2，-2} D．{8} 3．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则(a/m)+(c/n)= ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．若a=(-3，(1/3)~2)，b=((1/3)~2，1)，则a与b的夹角是 ( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 5．如果直线l，m与平面α，β，γ，满足：l=β∩γ，l∥α，m(?)α，m⊥γ，那么必有 ( ) A．α⊥γ，l⊥m B．α⊥γ，m⊥β C．m∥β，l⊥m D．α∥β，α⊥β 6．在△ABC中，“sin(A+B-C)=sin(A-B+C)”是“△ABC是等腰三角形”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件     

一道三角题的引申

题目已知sinαcosβ=-1/2,求cosαsinβ的取值范围.引申1已知sinαcosβ=α,cosαsinβ=b,则|a|+|b|≤1,当且仅当sin~2α+sin~2β=1时等号成立.证明|a|+|b| =|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤(sin~2α+cos~2β)/2+(cos~2α+sin~2β)/2=1,     

构造长方体解有关问题

长方体有如下人们所熟悉的性质:定理长方体的长、宽、高为 a、b、c,则其对角线长 l=(a~2 b~2 c~2)/(1/2).推论长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ,则 cos~2α cos~2β cos~2γ=1.     

两组三角恒等式的应用

在平面三角中有与代数中的平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)形似的恒等式: sin~2α-sin~2β=cos~2β-cos~2α=sin(α+β)·sin(α-β),(1)与 cos~2α-sin~2β=cos~2β-sin~2α=cos(α+β)·cos(α-β)。(2) 这两组恒等式不妨叫做三角中的“平方差”公式。熟记这两组恒等式对于解答某些三角问题、几何问题或综合题会有所帮助。恒等式(1)证明如下: ∵sin~2α-sin~2β=1/2(1-cos2α)-1/2(1-cos2β)=1/2(cos2β-cos2α)=sin(α+β)sin(α-β),