每期一题

题:△ABC是⊙○内接锐角三角形,射线AO、BO、CO各交⊙○于A′、B′、C′。记BC=a、CA=b、AB=C,BC′=B′C=a′CA′=C′A=b′、AB′=A′B=c′。求证:abc=ab′c′+a′bc′+a′b′c。分析:本题结论可以改写成: b′c′/bc+c′a′/ca+a′b′/ab=1; 由于∠BA′C与∠BAC互补、∠CB′A与∠CBA互补、∠AC′B与∠ACB互补,     

数学竞赛单元训练题(高中) 不等式的性质

一、选择题1 .设实数a、b、c、d满足a b =c d =1 ,ac bd>1 ,则a、b、c、d四个数(　　) .A .必全为正实数　　　　B .至少有一个负数C .有且只有一个负数D .以上都不对2 .已知△ABC三内角的弧度数为A、B、C ,对应边长为a、b、c,记α=aA bB cCa b c ,则(　　) .A .0 <α≤π3 B .π3 ≤α<π2C .π6≤α≤π3 D .π3 ≤α≤2π33 .三个正实数a、b、c满足a2 -a -2b -2c =0 ,a 2b -2c 3 =0 ,下列说法正确的是(　　) .A .以a、b、c为边长的三角形必为钝角三角形B .以a、b、c为边长的三角形必为直角三角形C .以a、b、c为边长的三…     

不等式与不等式组专题训练

}一、画目回1.如果a<0，b>0，a b《0，那么下列关系式中正确的是( A.。>6>一b>一.B.“>一“>6>一6 C .b>“>一b>呱D一a>b>一b>a 2.根据图1所示，对a，b，c三种物体的质量的大小关系判断正确的是(). A.晚一B.吠吞C.“>亡D.b一，劣一5成0的解集是( A.x…     

高中数学联赛模拟试题

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 对于一切实数x ,当实数a、b、c(a≠ 0 ,且a 相似文献   

江苏省扬州中学教育集团2001～2002学年度第一学期期中考试初二数学试卷

(考试时间:100分钟)一、选择题(2分X12=24分) 1.以下列各组线段的长为边,能构成三角形的是().~,‘.J(A)6,10,3(B)6,2,3(C)6,9,3(D)6,8,3 2.能判定两个等腰三角形全等的是(). (A)底角与顶角对应相等(B)底角底边对应相等 (C)两腰对应相等(D)底边对应相等 3.多项式一12a4b3c2一18a3b4c+24a2b3c3一6abeZ分解因式,应提取公因式(). (A)“bc(B)一6abe(C)一6a2b2e2(D)a3b3c34.若分式一巨共有意义,则x应满足( .丈—1(A)x一O(B)x铸0(C)x一1(D)x护15.下列各式正确的是((A)一x+y_x一y一x一yx+y(B)一x+y_一一y一x一yx一y一试题选登一(c)二2二2_…     

数学竞赛单元训练题(初中) 相关变量式的求值问题

一、选择题1 .如果1 a1 -a=1 -b1 b,那么 ( 2 a) ( 2 b) b2 的值等于 (　　 ) .A 4　　　B -4　　　C 2　　　D -22 已知非零实数a、b满足 (a2 1 ) (b2 1 )=3 ( 2ab-1 ) ,则b( 1a -a)的值为 (　　 ) .A 0　　　B 1　　　C -2　　　D -13 实数a、b满足 (a a2 1 ) (b b2 1 ) =1 ,则a b的值等于 (　　 ) .A -1　　B 0　　C 1　　D ± 14 已知a、b、c、d是四个互不相等的实数 ,且(a c) (a d) =1 ,(b c) (b d) =1 .那么 (a c)(b c)的值是 (　　 ) .A 0　　B 1　　C -1　　D -45 已知 2 0 0 3x3=2 0 0 4y3=2 0 0 5 y3,…     

三角形中的三角函数问题初探

一、直接运用正弦定理或余弦定理求解的问题例1在△ABC中,已知角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且满足4sin~2((B C)/2)-cos2A=7/2.(1)求角A的度数;(2)若a=3~(1/2),b c=3,且b相似文献   

考查“数轴概念”的两道中考题

例1如图1,数轴上点A、B、C、D对应的数都是整数,单位长为1.若点A对应数a,点B对应数b,且b一2a一7.那么数轴上的原点应是(). (A)A点(B)B点(C)C点(D)D点 (1995年湖北宜昌市中考题) 解法1分别设A、B、C、D为原点,逐一进行检验.如设C点为原点,则a一一4,b-一1,b一2a一(一l)一2只(一4)一7. 所以C点为原点正确,故选C.解法2由图1知道b一a~3.又‘:b一2a一7,可知a-一4,…C点为原点.—吝一一土一‘匕一祷一曰卜一J一一J一一刁卜~~-Jesesesesesleseses山esesesJ一亡a ob图2DC1B图A 例2已知实数a、b、c在数轴上的位置如图2所示,化简}a干引一1…     

关于三个重要定理的等价性证明

在△月BC中,a、b、。是△月仪二的三个内角匕A,艺B,艺C的对边,有:aZ以万ZB一护“〕sZA. 所以aZ(l一c宕B)=吞2(z一戊矛A).正弦定理①:51几A sinB ‘sinC所以aZsinZB=bZsinZA,即asinB=余弦定理②:扩=护 ‘2一2加c.八; 吞2=aZ cZ一zae哪B; cZ二aZ 吞2一Za吞哪C.射影定理③a=b二C 。邸B b=a此C十ccos八; c=a邸B ba苏A;bsirLA. 所以 ‘sir讯 bsinB,同理可证:sinB、.产、,声、,少﹄、产、.产、户r、、,J112内j4︸勺67了.、了.、了‘、JJ.、了.、甩了‘、了几、 文【l]给出了①骨②的证明,本文给出①片③,②幼③的证明,从而说明这…     

看图选择填空(英文)

1.The children are——. A.in the pa出 B.in the school2.Betty is——. A.100king and smiling C.I_eading a b00k3. feels hot.C.in the lake D.in a hotelB.making a planeD.eating and“nking A.DaVid B..Lily c.Mary D·Sam4.David feels——.. A.tried B.hot C.happy D.hungry and tllirsty5.Lily is——. . A.嘲ndil唔 B.出1wing C.雌Lking a pb【ne D.e撕ng and商nl(ing (答案本期找)≮看图选择填空》答案:、I.1lI lI.看图选择填空(英文)@刘世一…     

错在哪里

1.广西贺县黄田松树冈中学黄健有来稿(邮编;542807)题 在△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边,且∠C=2∠B,试证:C~2=b(a b).证明∵∠C=2∠B,∴∠A ∠B ∠C=∠A 3∠B=180°,∠A=∠180°-3∠B,∴sin∠=sin(180°-3∠B)=sin3∠B,从而有,∠A=3∠B.由此可得∠A=90°,∠B=30°,∠C=60“,∴a=2b.由勾股定理得 c~2=a~2-b~2=(a b)(a-b))=(a b)(2b—b)=b(a b).     

每周自我评价

整式的运算练习一A组1.两个 4次多项式的和是 (　　 )(A) 6次多项式 .　 (B) 8次多项式 .(C) 3次多项式 .　 (D)不高于 4次的多项式 .2 .已知 A =a2 b2 - c2 ,B =- 4a2 2 b2 3c2 ,若 A B C =0 ,则 C =(　　 )(A) 5 a2 3b2 2 c2 .　 (B) 5 a2 - 3b2 4 c2 .(C) 3     

浅谈路径的计数和最短路线问题(续)

三、最短路线问题例1 如图,在等腰△ABC中,CD是底边AB上的高,E是腰BC的中点,AE交CD于F,现在给出三条路线: (a)A→F→C→E→B→D→A; (b)A→C→E→B→D→F→A; (c)A→D→B→E→F→C→A,设它们的长度分别为L(a)、L(b)、L(c),那么下列三种关系式:L(a)相似文献   

一个涉及两个三角形的不等式的别证

1981年,’重庆市第二十三中学数学教师高灵提出并证明了如下的不等式“’: 定理设三角形ABC及A产B尹C产分别有边长。、b、。及。‘、b,、c,,分别有面积△及△尹,则a,(b+c一a)+b‘(e+a一b)+e,(a+b一c)》4亿3△△‘(1)式中等号当且只当月BC及A声B尹C尹均为正三角形时成立. 1982年,中国科技大学教授彭家贵、常 10庚哲又给出了高灵的不等式(1)的一种巧妙证法〔么’.下面,笔者再给出(通)的一种更为简捷的证明方法,供参考. 证明由于熟知的费恩斯列尔—哈德维格尔不等式为a念+b笼+eZ》4了了△+(a一b)艺+(b一e)之+(e一a)么(2)令今4杯万△+2(aZ…     

巧妙构造“A~2 B~2 C~2=0”解题几例

众所周知,在实数范围内,有A2 B2 C2=0!A=B=C=0(A,B,C代表任何数学式子).有些特殊的数学题,初看起来无所适从,但我们若能仔细观察,巧妙构造出上式,便能将这些数学问题迎刃而解.例1已知实数a,b,c满足①a b c=3,②a2 b2 c2=3,③a5 b5 c5=3.求a,b,c的值.分析本题虽是用3个方程求3个未知数,但是由于方程次数比较高,若用代入法解决将非常麻烦.如果我们巧妙构造出A2 B2 C2=0的形式,便可以很快得到答案.解:由①②得(a-1)2 (b-1)2 (c-1)2=(a2 b2 c2)-2(a b c) 3=0.从而构造出A2 B2 C2=0!A=B=C=0的形式,所以有a-1=0,b-1=0,c-1=0.故a=b=c=1.例2…     

余弦定理的应用

余弦定理和正弦定理是中学数学中的重要内容之一 ,两者可互为依据 ,相互推导 .随着学生学习的深入 ,知识面的扩大 ,抽象思维能力的提高 ,可进一步从不同的角度揭示二者的关系 ,加强应用 .余弦定理 :在△ ABC中 ,三边 a,b,c和它们所对的角∠ A,∠ B,∠ C之间有如下关系 :a2 =b2 c2 - 2 bc cos A,b2 =a2 c2 - 2 ac cos B,c2 =a2 b2 - 2 ab cos C.例 1　求证在△ ABC中 ,(1 ) a=b cos C x cos B;(2 ) asin A=bsin B=csin C.证 :(1 )由余弦定理b2 =a2 c2 - 2 ac cos B,c2 =a2 b2 - 2 ab cos C,所以 b2 c2 =2 a2 b2 c2 - 2 ac co…     

《能得到直角三角形吗》测试题

(时间:60分钟;满分:100分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1.在△ABC中，若乙A=乙C一乙B，则△ABC一定为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形2.在△A BC中，a、b、。分别为其三边的长，若a:b:。=12:35:37，则△ABC的形状一定为() A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.若a、b、。为三角形的三边长，则下列各组情况中，不能组成直角三角形的是() A a=8，b=15，e=17 n__3:5 0。谧不二—.U=—，C=1 44 C .a=14，b=48，c=4 9 D.‘9，b=40，c二41 4.在△A BC中，a、b、。分别为乙A、乙B、乙C的对边的长.下列说法中错…     

一道课本例题的多种解法与启示

高中数学教材人教A版选修1—2第39页有一道经典的例题：例在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形．     

2005年河南省数学竞赛(高二)

一、选择题(每小题5分,共30分)1.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中,与BM相等的向量是().(A)-12a+12b+c(B)12a+12b+c(C)-12a-12b+c(D)12a-12b+c2.等差数列{an}中,Sn是前n项和,且S3=S8,S7=Sk.则k为().(A)2(B)11(C)4(D)123.已知点P在直线y=x+2上运动,点A(2,2)、B(6,6)满足∠APB取得最大值.则点P的坐标是().(A)(0,2)(B)(1,3)(C)(2,4)(D)(3,5)4.已知1+2×3+3×32+…+n×3n-1=3n(na-b)+c,对一切n∈N+都成立.那么,a、b、c的值为().(A)a=0,b=c=14(B)a=b=c=14(C)a=12,b=c=14(D)不…     

特征分析思想在解数学竞赛题中的应用

本文结合例题介绍特征分析思想的应用.1关系式特征数学竞赛题中,常会给出一些关系式,有的时候可恰当地转化关系式的形式,使之与我们学过的某些知识建立起联系,从而找到解题的切入点.例1已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2=b2 bc.求证:∠A=2∠B.分析:考虑到已知条件给出的关系式的特征a2=b2 bc=b(b c),a.a=b.b b.c.比较这两种特征,我们可以联想到相似三角形中的比例关系,同时可以构造图形来解此题.图1证明:如图1,延长CA到D,使得AD=AB=c,则CB2=CA.CD.所以,CB为△ABD的外接圆过点B的切线.注意到∠ABC=∠ADB=∠ABD,故即∠A=2∠B…