第24届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级 1.设t为任意实数,求证不等式t~4-t 1/2>0. 2.已知在凸四边形中,过一组对边的两个中点的直线与四边形的两条对角线成等角,求证两条对角线相等.     

第25届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级1.求方程组{x之一Zyt=3,xt+y之=1的整数解. 2.黑板上写有:个实数.允许从中擦去任何两个数,例如a和b,而代以另写的一个数宁(。十“).这科r手续共进行”一‘次,最后黑板上只剩下一个数.证明:如果一开始黑板上写有:个1,那么,在所有手续进行完毕后,黑板上所乘。的那个数不“、于专. 3.在平面上有4条直线,其中任何两条均相交,但任何3条均不共点.于是在每条直线上都交得3个交点,它们从直线上截出两条线段,这样共得到8条线段.试问,这8条线段的长度能否分别等于: (a)1,2,3,4,5,石,7,8? (b)互不相同均自然数? 4.彩票上有依次排列着的50个空格,…     

第二十一届俄罗斯中学生数学奥林匹克试题与解答(续)

十年级 1.求方程组{xy z=94,x yz=95}的整数解.解 x=95,y=0,z=94或x=31,y=2,z=32. 第二个方程减第一方程,得 (x-z)(1-y)=1。依题意,x,y,z应为整数,故仅有两种情形: 1)x-y=1,1-y=1,于是y=0,代入方程组得x=94,x=95。     

俄罗斯第二十一届中学数学奥林匹克第三阶段试题及解答

八年级 第一天 1.a_na_(n-1)…a_0=a_n10~n a_(n-1)10~(n-1) … a_0表示十进制数(即a_n,…,a_0是十进制数码),问:是否存在数(?)和(?),使(?)=(?)? 解 不存在.因为 2.班级中考试及格的学生人数既不少于95.9％,也不多于96.5％,问:班级中至少     

第二十九届国际数学奥林匹克试题及解答

第29届国际数学奥林匹克(IMO)于1988年7月9日—21日在澳大利亚首都堪培拉举行。在本届 IMO 中,苏联队总分217分名列第一,我国6名队员以201分与罗马尼亚并列第二。这是我国参加 IMO 以来获得的最好名次。据专家们一致认为,今年的题目是较难的。1987年在古巴举行的第28届 IMO 上,只有取得满分(42分)的个人才可获得金牌,而今年奖牌的分布是     

第24届国际数学奥林匹克竞赛试题及解答

第一试 (1983年7月6日)4.5小时 1.试找出所有满足下列条件的定义在正实数集上并取正实值的函数f: (ⅰ)对于任意正实数x、y恒有f(xf(y))=yf(x); (ⅱ)当x→+∞时f(x)→0。解.设f是满足题设条件的函数。则有 (1) f(1)=1,即1是函数f的一个不动点:这是因为由条件(ⅰ)可得     

1991年全苏数学冬令营试题解答

第一天竞赛1.因为尸。四点共圆,故p之,pZ,p3,p‘,p。,p·六点在同一圆周上.丁kn ‘k,1设 皿二口a共m个a,B。=b”共n个 m3.A下kZ“一”一‘“丁无2‘” ‘一“’若a二1,由A。=B。可得西=1.若b=1,同样可得a二i。 (n!)” ,(1!2卜二刀!)“若乙>a>工,因为a^m一:二=C聋C志…C:;故可设     

瑞典数学竞赛试题及解答

1.一个三角形的三条边长为a,b,c,满足a>b>c,这三条边上的高的长度分别为h_a,h_b,h_c.求证:a h_a>b h_b≥c h_c. 证明 (给出边长和所对应的高,自然想到与面积有关联).设这个三角形的面积为S,则     

2007西部数学奥林匹克试题及解答

一、试题1.已知T={1,2,3,4,5,6,7,8},对于A (?)T,A≠φ,定义S(A)为A中所有元素之和,问:T有多少个非空子集A,使得S(A)为     

浙江省第二届初中数学竞赛决赛试题及解答

一、选择题 1.某商品1夕55年提价25%,i夕90年要恢复原价,则应降价(). (A)15%.(B)20%。 (C)25%.(D)30%。 2.在所有六位数中,各位数字之和等于52,这样的六位数有(). (A)2个.(B)12个。 (C)21个。(D)31个。 3.已知两列数:2,5,8,11,14s,9,13,17,21,,仑们都有200项,()。 (A)49项。,17,…,2 (200一1)x3 25,”’,5 (200一1)x4这两列数中相同的项数有(B)50项。(C)51项.(D)149项. 4.设a为侧J千7亨一训3一护亨的小数部分,b为侧石一不37亨一侧石丁舜产盲的小数部分,则李一生的值为()_‘一州「’“‘’‘ba‘’护’创/,、 (A)侧万一亿丁 1.(B)侧万 …     

第二届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

为了给第28届国际数学竞赛作准备,1987年元月12日至16日在北京大学举行了第二届中学生数学冬令营。两个上午的竞赛是这一届冬令营最重要的活动。试题如下: 第一天(1987.1.13,8:00—12:30) 一、设n为自然数。求证方程 z~(n+1)-z~n-1=0有模为1的复根的充分必要条件是n+2可被6整除。二、把边长为1的正三角形 ABC的各边都n等分,过各分点作平行于具他两边的     

1995年第五轮日本数学奥林匹克竞赛决赛试题及解答

一、n为大于1的整数,r为正整数且不是n的倍数,n和r的最大公约数为g,试证明sum from i=1 to (n-1){ri/n}=1/2(n-g)(其中{x}指x的小数部分,即x减去不超过x的最大整数的差)。     

第二届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答

一、设 n 是自然数.求证:方程z~(n+1)-z~n-1=0有模为1的复根的充分必要条件是 n+2可被6整除.证必要性.设 w 是方程 z~(n+1)-z~n-1=0的一个模为1的复根.则 w~(n+1)-w~n-1=0.所以 w~n(w-1)=1,从而|w|~n|w-1|=1.因为|w|=1,由此得出|w-1|=1.既然|w|=1,故 w 在复平面的单位圆上.而单位圆上满足|w-1|=1的点 w 只能是     

1994中国数学奥林匹克试题解答

一、证明 连接EF,在梯形AEFD中,显然有 sin∠AGD =sin∠DGF =sin∠EGF =sin∠AGE, (1) S_(△AGD)=S_(△AED)-S_(△AEG) =S_(△AEF)-S_(△AEG)=S_(△EGF)。(2) 由(1)和(2),有     

第二十届国际中学生数学竞赛试题解答

试题一 数1978~n与1978~m的最后三位数相等，试求出正整数n和m，使得m+n取最小值。这里n＞m≥1。     

第30届国际中学生奥林匹克数学竞赛试题及其解答

、求证、集合{l,2,….198盯可以分为1”个互不相吹的子集A.(i=1,21 17),使得(1)每个班‘含有17个元素;(2)每个月‘中各元素之和相同。 证明、妙二{撇,353,……,,989}由于352-3xzl丫+t,,卿二了6xz17+z,7,从而召中每个元素均可唯一地写辰,。、。+,的形式(其中,簇r(,,7,3《喊叉.)卞面对每个汉,(k二1,?,…,,17),当。为奇时,选取触封吞q;+吞作为刀。的元素;当q为偶时,选取1灯1叮十(l拐,-幻作为A。的元素.此时每个月。中便有了,4个元鬓,且这些元素之和为习r‘,‘·(“‘+,)+‘]+乞[,,7·2‘++(1沈a一k)]=7x 1 18+习‘,7·‘滋‘“,价 再记C={1,2…     

1991年日本数学奥林匹克试题及解答

1.设以t:(1一t)f自l匕例内夕)△ABC的三边BC,CA,AB的点分别为P,Q,R,以线段Ap,BQ,cR为三边的三角形面积为K,△ABc的面积为L,求尽(用,表示). 为 2.设N为全体正整数的集合,从N到N的映射P,q定义如下: P(1)=2,P(2)=3, P(3)=4,P(4)=1, 当n)S时,P(哟=氏 q(1)=3,q(2)=4, 口(3)=2,q(4)=工, 当n李5时,q(”)=:. (1)试找出一个映射f,使得当恰当地构造由N到N的映射f时,对任意的,任N,有f(f(二))=P(:)+2成立. (2)试证明:不存在从N到N的映射f,对于所有的:任N,f(f((,))=尽(。)+2都成立. 3.设A为拓位的正整数.证明:可以从A中恰当地取出相邻的…