逆用等差、等比数列的求和公式

有很多问题需要逆用等差、等比数列的求和公式来解决问题.(一)逆用等差数列的求和公式例1已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n 1)=2a_n 1(n∈N~*) (Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式;     

对一类数列求和问题的探讨

<正>我们常常碰到这样一类数列,{a_n}在这个数列中的每一项都是一个等差数列{An+B}和一个等比数列{q~n}(q≠1)对应项的乘积,我们不妨称之为差比数列.差比型数列求和问题是常见的数列求和问题,本文对该类数列题进行了探讨,总结了该数列求和的三种方法.设差比型数列{a_n}的通式为a_n=(An+B)q~n(q≠1),其中的Bqn部分在进行前n项求     

巧用裂项相消方法 解答数列求和问题

<正>例1已知数列a_n{}的通项,求其前n项和。(1)a_n=(2n-1)·2n;(2)a_n=(n+1)·(1/3)n。分析:只要能将数列{a_n}的通项分解为两项之差,就可以利用裂项相消法进行求和。为此,可以先用待定系数法假定{b_n}的连续两项之差的结果正好是{a_n}的通项,这样就可以构造一个新的数列{b_n},从而将问题进     

一类数列求和的简便方法——兼谈使用公式 an=Sn—Sn-_1应注意的一个问题

通项 a_n 和前 n 项和 S_n是数列的两个基本特征量.如果给定通项公式 a_n=f(n)或给定前 n 项和公式 S_n=F(n),这个数列就完全确定了。两个公式是有密切联系的,我们可以根据 a_n求 S_n,也可以根据 S_n求 a_n.本文拟介绍用解方程组的方法解决一类数列的求和问题.     

数列中的证明问题

<正>数列是高中数学的重要内容,对其的考查主要以通项与求和为主,但是也会涉及到和数列有关的证明问题,其中有等差、等比数列的证明,也有与数列相关不等式的证明。等差、等比数列的证明,一般利用定义证明,而有关不等式的证明就要用到放缩法了。例1已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且满足a_n+S_n=2n+1。     

构造常数列 巧解竞赛题

各项相等的数列称为常数列.不难证明,数列{a_n}是常数列的充要条件是 a_(n 1)=a_n(n∈N).本文构造常数列,巧解一些竞赛题.一巧解求和问题例1 (第1届加拿大中学生数学竞赛题)求和:1·1! 2·2! … n·n!解:令 S_n=1·1! 2·2! … n·n!,则 S_(n 1)-S_n=(n 1)(n 1)!=(n 2)!-(n 1)!     

例谈“裂项相消模型”的构造

利用裂项相消法求数列{a_n}的前n项和的一般过程是:将数列的通项分成两个式子的代数差,即a_n一=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的项。利用裂项相消法的目的有两个:一是把数列的通项裂项后,能够使用基本的数列求和公式进行求和;二是裂项后,在数列的连续项中能产生正负相消的项。裂项相消法是解决数列求和问题的重要方法,也是高考试题命制的热点内容。就2014年全国高考而言,广西理科数学第18题,广东文科数学第19题,山东文、理科数学第19题等,均对裂项相消法进行了考     

逐差法在解题中的应用

在中学数学中,逐差法(逐项相消法)常常用来求某些数列的前n项和以及求某些递推数列的通项公式。在数列求和时,如果可将数列的一般项a_k写成 a_b=λ〔f(k 1)-f(k)〕, ①其中λ为待定常数,而f(k)为k的函数,则可在①中令k=1、2、…、n,然后将这n个等式相加,于是数列{a_k}的前n项和即为 S_n=a_l a_2 … a_n =λ〔f(n 1)-f(1)〕②这里要说明的是,将数列的一般项a_k写成两项之差的目的是为了求和时等式右端的     

“数列五类热点问题”突破

高考对数列的考查主要是围绕＂等差和等比数列的通项与求和、一般数列的切入点的应用、公式法求和、裂项相消法求和、错位相减法求和、数列新定义问题的探究＂等展开的,凸显数列的工具性、应用性及创新性。热点1：等差、等比数列的基本性质例1（1）（河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研）已知等差数列{a_n},{b_n}的前n...     

由等差等比数列构成的数列求和问题

数列求和是中学数学教学的重要内容。在现行的中学教材中,只安排了等差、等比数列的求和内容。但高考题中出现的数列大多数都是由等差、等比数列构造而成的非简单的等差、等比数列。本文拟对几种常见类型的数列求和公式作探讨。 命题1 设数列{a_n}是公差为d（d≠0）等差数列,数列{b_n }是公比为 q（q≠1）的等比数列,则数列{a_nb_n}的前n项和 S_n=(a_1b_1-a_nb_nq)/(1-q) (b_1q(1-q~(n-1))d)/(1-q)~2 证记 S_n=a_1b_2 a_2b_2 a_3b_3 … a_nb_n 将①式两边同乘以q得:     

一类三角数列的前n项和的分项求法

对于一个数列{a_n}、若它的通项可以分成某一新数列的相邻两项的差,而a_n=b_(n 1)-b_n或a_n=b_n-b_(n 1)(n=1,2,…),则容易求得其前n项和 S_n=b_(n 1)-b_1或S_n=b_1-b_(n 1), [例1] 现行高中课本代数第二册第79页28题: 用数学归纳法证明: 1/2tgx 1/2~2tg(x/2~2) … 1/2~ntg(x/2~n)=1/2~nctg(x/2~n)-ctgx(x≠kπ、k∈Z) 分析:等式左边是数列{1/2~ntg(x/2~n)}的前n项和S_n,下面用分项求和法求S_n。解:设a_n=1/2~ntg(x/2~n),则由三角学中的公式得。     

求数列前n项和常用方法总结

<正>我在学完数列这部分内容后,发现数列求和问题有以下几种常用方法,现做一些探讨,与大家共享。一、公式法(定义法)1.等差数列求和公式:S_n=n(a_1+a_n)/2=na_1+n(n+1)/2 d。特别地,当前n项的个数     

也谈排列组合与数列求和

本刊1985年第1期,《沟通排列组合与数列求和教学的一点体会》一文,介绍了利用公式处理了一些特殊类型的数列求和问题。本文试图说明,任何以自然数n的多项式为通项的数列求和问题,均可以利用公式(1)采用同一固定解题格式处理。首先介绍下列事实:任何一个n的l次多项式a_n,都可以唯一地表示成     

数列的单调性

<正>数列的单调性通常是由比较数列{a_n}中任意相邻两项a_n和a_(n+1)(n∈N_+)的大小来判断的,常用的方法有:(1)定义法:若a_(n+1)>a_n,则{a_n}是递增数列;若a_(n+1)0,则{a_n}是递增数列;若a_(n+1)-a_n<0,则{a_n}是递减数列。     

求数列通项方法举隅

<正>求数列通项在高考中属于常考内容,本文归纳整理了几种方法,供参考.一、已知a_1和a_n=a_(n-1)+f(n)型,其中f(n)可求和例1已知数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n+3n+2,且a_1=2,求a_n.解由a_(n+1)=a_n+3n+2知a_(n+1)-a_n=3n+2,a_n-a_(n-1)=3n-1.a_n=(a_n-a_(n-1))+(a_(n-1)-a_(n-2))+…+(a_2-a_1)+a_1=(3n-1)+(3n-4)+……+5+2     

数列求和常用的三种方法

数列求和是中学数学的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象之一.它对于提高数学思维能力十分有益,下面介绍数列求和的几种常用方法。一、错位相减法设数列{a_n}是等比数列,数列{b_n}是等差数列,则求解数列{a_nb_n}或{a_n/b_n}的前n项和S_n均可用错位相减法.例1设{a_n}是等差数列,{b_n}是各项都为正数的等比数列,且a_1=b_1=1,a_3b_5=21,a_5＋b_3=13,（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式;     

从一道模拟题探究数列求和问题中sum(a_n) from i=0 to n≤f(n)型不等式

浙江省高考数学最后一道压轴题由原来的导数转移到数列部分,它结合了不等式的性质及证明等知识,包含数列放缩的思想方法;对不等式的理解掌握要求高,要求考生有较高的探究发现、运算求解能力,试题难度大。其中关于数列求和的相关问题是重要的考查方向,本文通过一到模拟题归纳总结数列求和问题中sum(a_n) from i=0 to n≤f(n)不等式的常规解法。     

几种有趣的等差等比数列的求和

中学数学中的数列求和问题,涉及到的数学知识和方法较多，综合性较强，部分同学感到困难较大．但仅是数列的求和方法,在众多文章中，都已作过详尽的讨论，故不赘述．本文只对等差数列、等比数列中一些有趣的求和作一粗浅的探讨，供大家参考.一、切成等长的段作和若以一个n×k项的等差数列{a_n}，公差为d，作成一个新数列{b_n}：则数列{b_n}也是等差数列，其公差若以一个n×k项的等比数列{a_n}，公比为q，作成一个新数列｛b_n｝：则数列{b_n｝也是等比数列，其公比q′=q~k.仿上可作类似的证明，此处略．例1在等差数列｛a_n}中，前四项之和S_…     

一类周期数列通项公式的求法

近几年的数学竞赛题中,出现了满足a_(n+k)=a_n(n,k∈N,k是常数)对所有自然数n都成立的数列{a_n},这样的数列被称作周期数列.一些文章指出:满足f(n)=f(n-1)+f(n+1)的数列{a_n},其中a_n=f(n)(n≥1)是以6为周期的数列;满足a_(n+1)=(1+a_n)/(1-a_n)的数列{a_n}是以4为周期的     

求递推数列通项公式

数列递推公式的意义:若已知数列的第一项a_1且任一项a_n与前一项a_(n-1)之间的关系可以用一个公式表示.类型1形如a_(n+1)=a_n+f(n).解法:把原递推公式转化为a_(n+1)-a_n=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解.例1已知数列{a_n}满足a_1=1/2,a_(n+1)=