双曲线及其几何性质

圆锥曲线作为数学高考的重要考点,是考查同学们的数形结合思想以及运算能力的绝佳载体.新课标对双曲线部分的要求为"了解其定义、图形及标准方程;知道它的简单几何性质",故本部分的复习应以基础题、常规题为主,不宜过度拔高.ZHONGDIAN NANDIAN重点难点重点:双曲线的定义、标准方程,双曲线的几何性质(如:离心率、渐近线等).%难点:双曲线的渐近线与双曲线图形的关系,直线与双曲线的位置关系等相关的综合问题.     

直线与圆锥曲线解题方法探究

解析几何一直是高考的热点,而其中直线与圆锥曲线的题型则贯穿了初中至高中的大小考试中,可谓是十分重要.下面,笔者总结直线与圆锥曲线的典型题型.一、直线与双曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.当直线与双曲线相交:直线与双曲线有两个交点或有一个公共点(直线与渐近线平行);相切:直线与双曲线有且只有一个公共点,且直线不平行     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道,针对圆的特殊几何性质,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系. 实际上,结合椭圆和双曲线的第一定义,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论.     

双曲线中"虚近点"的一些性质

笔者经过研究发现双曲线的渐近线与一些特殊直线的交点有着特殊的性质,本文就此谈谈双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a>0,b>0)的渐近线与直线y=±b交点的有关性质.     

与双曲线渐近线关联的一组有趣性质

<正>双曲线的渐近线作为和双曲线位置关系最为特殊的直线，有着它自身所独有的一些典型性质．本文以双曲线C:■(a>0,b>0)为例，介绍并推导一组与渐近线有关的有趣性质，其中有的性质甚是优美，我们既可以从解题的角度分析、运用它们，也可以从数学美的角度去欣赏它们．     

双曲线切线的几个典型性质及其证明

在对直线与双曲线位置关系的研究中,笔者发现,双曲线的切线作为和双曲线位置关系最特殊的直线,有着它自身所独有的一些典型性质.下面给出其中的几条,并加以证明.性质1双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线,平分该点处两条焦半径的夹角.证明如图1,设双曲线方程为图1x2a2-y2b2=1,F     

双曲线一个优美性质的发现

<正>笔者无意间用"几何画板"软件探究发现了双曲线有如下优美性质:定理在双曲线所在平面内任取一点(该点不在渐近线和双曲线上),过此点作两条渐近线的平行线,则这两条直线与双曲线交于两点,与渐近线交于两点,则双曲线上两点连线平行于渐     

蜕化双曲线的应用

大家知道,双曲线x2a2-y2b2=k(a,b>0,k≠0)的渐近线方程为y=±bax,它可化为x2a2-y2b2=0,比较双曲线方程,两式左边的形式是一样的,我们把这两条直线统称为蜕化双曲线.即定义两条相交直线x2a2-y2b2=0称为双曲线x2a2-y2b2=k(a,b>0,k≠0)的蜕化双曲线.这样两条相交的直线方程化成了二次形式,使两直线形成一个整体,有利于解决有关问题.例1(1)设双曲线C:(y a)2-(x-a)2=2a,其渐近线过点(3,1),求C的渐近线方程.(2)以直线y=±(x 1)为渐近线的双曲线的焦距为4,求双曲线方程.分析(1)把欲求的渐近线看作蜕化双曲线:(y a)2-(x-a)2=0,把点(3,1)代入得a=1,…     

双曲线两渐近线的夹角问题

对于双曲线两渐近线的夹角问题(以下简称"夹角"),目前存在几种不同的看法.第一种意见认为:双曲线两渐近线为直线,因此"夹角"应符合课本中两直线夹角的规定,即应是锐角(或者直角).若设双曲线的标准方程为     

直线和双曲线的位置关系

平面解析几何中,直线和圆锥曲线的位置关系是重要问题,其中直线和双曲线的位置关系较为复杂。本文从方程组是否蜕化降次及解的情形入手,导出由直线斜率、截距与双曲线两半轴长判定直线对双曲线的位置的法则。 (一) 平行于纵轴的直线与双曲线的位置,由方程组     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点Ｆ1 、Ｆ2 在直线ｌ的同侧 ,点Ｆ′1 和点Ｆ1 关于直线ｌ轴对称 ,点Ｐ在直线ｌ上 ,则 ｜ＰＦ1 ｜ + ｜ＰＦ2 ｜≥｜Ｆ′1 Ｆ2 ｜(如图 1) .(证明略 )定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值 (1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;(2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;(3 )大于长轴长 ,则直线与椭圆相离 .图 1　…     

双曲线系方程的两个性质及其应用

本文研究共渐近线的双曲线系方程和共离心率的双曲线系方程的两个重要性质在解题中的应用.     

“直线与双曲线的位置关系”教学片段及评析

本节课借助《几何画板》的强大功能,运用运动变化的观念,让学生在自主探究的过程中,直接观察、运动变化、归纳证明,在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功,掌握直线与双曲线的位置关系,进一步领会到数形结合解决问题的美妙。课题:直线与双曲线位置关系教学目标:1.在探究性学习中巩固双曲线的几何性质,掌握直线与双曲线位置关系的判定,能处理直线与双曲线交点个数问题。2.掌握利用方程研究曲线的基本思想,加深对曲线与方程关系的理解,培养创新精神、探究能力,提高分析问题、解决问题的能力。3.理解事物既有联系又有区别的辩证观点,体会等价转…     

多解、多变与反思

1　题目的出示与多解题目 :如图 1 ,双曲线C的对称轴是坐标轴 ,离心率为 1 0 ,点P1、P2 是双曲线的渐近线l1、l2 上的两个点 ,△P1OP2 的面积为 9,点P是双曲线C上的一点 ,且点P分有向线段P1P2所成的比是 3 .(i)求双曲线C的渐近线方程 ;(ii)求双曲线C的方程 .(北京市东城区 2 0 0 4年元月高三期末考试题 )直线和圆锥曲线的位置关系是解析几何中的重要问题 ,它不仅可以将解析几何中的一些主要内容有机地整合在一起 ,而且还能与数学中其他主体知识 (函数、方程、不等式、三角函数、数列等 )联系起来 ,是知识网络的交汇点之一 .因此 ,它是…     

利用定义判定直线与椭圆双曲线的位置关系

文[1]利用椭圆、双曲线的两焦点到直线l的距离与b~2的大小关系,来判定它们的位置关系.本文则根据椭圆、双曲线的定义给出直线与椭圆、双曲线的位置关系的判定方法,似更为简便.     

一道解析几何题的应用

本文利用直线与双曲线及其渐近线相交的性质较简捷地解决了有关双曲线渐近线一类问题的求解或论证。     

与双曲线的渐近线有关的定值问题

在圆锥曲线中,渐近线是双蛆线所特有的“伴随”直线,也正是因为双曲线有了渐近线,才使双曲线的性质变得更加丰富多彩和“与众不同”．双曲线的许多性质就是通过渐近线这个重要的载体来演绎与呈现的．本文试图透过向量的数量积的视角来诠释与双曲线的渐近线有关性质,并对此进行一些梳理、归纳．     

高考解析几何的综合应用

一、解读考纲2008年考试内容与要求必考部分内容要求A B C直线的斜率和倾斜角丫直线方程汀直线的平行与垂直关系丫两直线的交点了两点间的距离,点线距离丫圆的标准方程和一般方程丫直线与圆、圆与圆位置关系丫空间直角坐标系了椭圆标准方程和几何性质丫双曲线标准方程和几何性     

直线和圆,巧解解析几何大考点

解析几何客观题考查直线方程,两直线位置关系,点线距离,与圆有关的概念、性质及其简单应用,考查椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识.解答题以直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系为载体,考查轨迹、参数取值范围等综合问题,涉及转化与化归、函数与方程、数形结合等思想方法,注重逻辑推理.     

浅议双曲线离心率与渐近线斜率的关系

双曲线在历年高考中都有着重要的地位．而双曲线的离心率和渐近线作为反映双曲线图形特点的基本几何性质,它们之间的关系更应成为我们关注的焦点．已知双曲线方程x2/a2-y2/b2=λ(a >0,b>0,λ≠0)求渐近线方程,只需将方程右端的“λ”换成0,整理