函数的凹凸性——高中数学应关注的课题

函数的凹凸性是高等数学研究的函数性质之一．虽然在高中数学教学大纲中没有对函数的凹凸性作具体要求,但以函数凹凸性为背景的试题已多次出现在高考中．笔者认为,教师若能在学习函数时适当引入函数的凹凸性的概念,将能使学生深刻地理解函数的概念,     

在“函数凹凸性”视角下的若干数学高考题

高等数学中,凹凸性是函数的另一个重要性质．以函数凹凸性为背景的试题已多次出现在高考中．学习中若能适当、适度了解函数的凹凸性知识,会使同学们更深刻地理解函数的概念,更感性地认识函数的内涵．     

函数的凹凸性在解题中的应用

<正>函数的凹凸性是函数的一个重要性质,在各地质检和高考中经常考到函数的凹凸性的应用,若能灵活应用函数的凹凸性,则在解决高中数学有关导数的问题时就能起到事半功倍的效果.本文简单介绍一下函数的凹凸性及其简单应用.一、函数的凹凸性定义:设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任     

用曲线的凹凸性解题举例

尽管中学数学教材中未明确提出曲线的凹凸性的定义，但近几年的高考已涉及曲线的凹凸性．什么叫曲线的凹凸性呢?我们给予直观解释：如下图是三个函数y=f(x)、y=g(x)、y=φ(x)的图像，它们都是增函数，但上升的形状不同，函数y=f(x)的图像是凹的，函数y=g(x)的图像是凸的，函数y=φ(x)的图像是直线．这与日常生活中对凹凸的理解是一样的。     

基于函数凹凸性命制的高考数学导数试题本质研究

凹凸性是刻画连续函数性质的重要工具之一.文章从高中学生认知水平的实际出发,在介绍了函数凹凸性相关定义和定理的基础上,对近年基于函数凹凸性的高考数学导数试题进行示例分析和解题本质研究,以期为一线教师的解题教学和高考备考提供参考和启示.     

函数图象的凹凸性——一个有必要让学生了解的函数性质

函数图象的凹凸特征是函数的一个重要性质,函数的凹凸性理论在大学数学中占有重要的地位,虽然在中学的数学课程标准里没有相关的知识点,但实际上函数图象的凹凸特征是个可以从初中研究到大学的问题,不仅在中学教材中能找到它的影子,而且在近年的高考试题或模拟试题中也经常出现蕴涵凹凸性理论的问题,类似的这种命制于中学与大学知识联结点上的问题很值得我们中学师生的重视.本人认为通过第二课堂运用探究性教学向部分优秀的学生介绍一些直观而又易理解的基本的凹凸性理论是有必要的.1认识函数凹凸性1·1函数凹凸性在中学课本中的影子证明:(1…     

几道高中数学题的高等数学背景探源

凹凸性是高等数学所研究的函数性质之一．以凹凸性为背景的试题已多次出现在高考和高中教材中．如： 1．（1995年全国高考试题）设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和．[第一段]     

近十年高考导数试题的背景定理应用

导数是承载高等数学微积分知识体系的核心命脉,也是初等数学领域研究函数的一种重要工具,历来受到高考命题专家的青睐,从2003年北京春季高考试题初次涉及凹凸性内容,以后到2013年都陆续出现很多与函数凹凸性为背景的试题。通过高等数学中的凸函数、凹函数加以巧妙改造得到相应的定理,并应用定理解决近十年来这一类高考导数试题。     

一道填空题的探究式教学与反思

在近几年的高考中常常出现以高等数学知识为背景的“高观点题”,尤其以函数的凹凸性为背景的问题已成为热点之一．函数的凹凸性是符合高中生知识与智力水平的优质探究资源．以探究函数的凹凸性的定义、性质和应用的教学过程为例反思了探究式教学的资源选择策略、学生主体作用的体现、教学活动的设计、严谨性与形式化的关系等的问题的解决方法．     

拉格朗日定理在2006年高考题中的应用

一年一度的高考“既要重视考查中学基础知识的掌握程度,又要注意考查进入高校继续学习的潜能”,因此高考数学试卷中往往会出现一些以大学知识为背景的信息题,如函数的凹凸性、行列式等等.本文拟以2006年的高考题为例,谈谈拉格朗日定理在解题中的应用.拉格朗日定理若函数f(x)在[     

凹凸曲线问题的处理策略及应用

凹凸曲线问题是近几年高考出现的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平, 能考查学生的创新能力和潜在的数学素质,但由于曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义,又没有作专门的研究,因此,就多数学生而言,对这类凹凸性曲线问题往往束手无策,而教师由函数导数去研究曲线的思路又不能被学生所接     

拉格朗日定理在2006年高考题中的应用

一年一度的高考"既要重视考查中学基础知识的掌握程度,又要注意考查进入高校继续学习的潜能",因此高考数学试卷中往往会出现一些以大学知识为背景的信息题,如函数的凹凸性、行列式等等.本文拟以2006年的高考题为例,谈谈拉格朗日定理在解题中的应用.     

影响识别函数图形曲线特征的三个“想当然”

近年新教材的实施,特别强调函数的图像识别构造能力的培养．而且在近年的高考试题或模拟试题中也经常出现识别函数图形曲线特征的问题．无论北师大版还是人教版高中教材,对函数图形曲线凹凸及折痕特征着墨不多,这就导致高中师生在教与学过程中出现了一些“想当然”．     

高中函数的对称性问题

在新课标高中数学中,对教材分析、函数的性质,其着重点是单调性、奇偶性、周期性,而在考试测验中,把高考中的函数对称性、连续性、凹凸性也进行了考查。主要研究了函数的对称性以及对称轴的选择。本文结合实践从以下几个方面阐述一下如何提高解决高中阶段函数对称性问题的措施。     

琴森不等式在中学数学中的应用

<正>琴森不等式是一个重要的不等式,它与一些中学常见的不等式有密切的联系,理解与掌握琴森不等式对中学不等式的学习具有一定的作用.函数图象的凹凸特征是函数的一个重要性质,函数的凹凸性理论在大学数学中占有重要的地位,在中学数学及高考试题中也能找到它的影子,一些问题利用琴森不等式解决显得简单方便.此外,类似的这种命制于中学与大学知识联结点上的问题也很值得我们中学师生的重视.一、凸函数中学数学中凸函数定义为:设函数f(x)     

一道课本习题的变式与引申

新教材(试验修订本·必修)第一册(上)P107-3: 证明:(1)若f(x)=ax b,则f((x1 x2)/2)=f(x1) f(x2)/2;(2)若f(x)=x2=ax=b,则f((x1 x2)/2)≤f(x1) f(x2)/2.(1) 该题实际上揭示了函数的一条重要性质——凹凸性.函数的凹凸性是高等数学的研究内容,但对于一些基本函数的凹凸性也可以采用初等方法研究,因而成为高等数学与初等数学的结合点.多年来,以函数凹凸性为背景的试题在高考试卷中多次出现,题型新颖,区分度好,具有较好的选拔功能.     

一个被忽略教学细节中的高观点视角及思考

在平时教学中,对有些教学细节的处理认为“应该是这样”就被忽略了.细思之下,都可能与高考的考点、解决问题的方法、核心素养的落实产生关联.本文基于函数图像凹凸性的“高观点”视角,从学生在正弦函数作图出错的背后进行教学设计与探究,从数形结合的角度发挥学生直观想象能力,从对高考考点的思考落实核心素养.     

导数在研究函数问题中的应用——浅析2012年福建省高考函数试题

函数是高中数学的重要内容和主千知识,而导数知识在研究函数图象、函数零点、不等式证明以及不等式恒成立等诸多问题中亦有着广泛的应用.本文以2012年福建省高考中的函数试题举例阐述. 一、函数的凹凸性与拐点的有关性质 应用导数知识除了研究函数的图象与性质,还常用二阶导数研究函数的凹凸性与拐点. 性质1:已知函数f(x)在其定义域上二阶可导,若f"(x)＞0恒成立,则函数f(x)为凹函数;若f″(x)＜0恒成立,则函数f(x)为凸函数(允许在一些孤立点处f″(x)=0).     

凹凸曲线问题的求法

凹凸曲线问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型 .这种题情景新颖、背景公平 ,能考查学生的创新能力和潜在的数学素质 ,体现“高考命题范围遵循教学大纲 ,又不拘泥于教学大纲”的改革精神 .但由于曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义 ,又没有作专门的研究 ,因此 ,就多数学生而言 ,对这类凹凸性曲线问题往往束手无策 ;而教师的“导数”理解又不能被学生所接受 .所以 ,对这类非常规性问题作一探索 ,并引导学生去得到一般性的解法 ,无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养都是十分重要的 .1 曲线的凹凸性与增量法函数 ｙ =ｆ(ｘ)…     

利用函数凹凸性对函数的性质做进一步探究

函数是高中数学的重点学习内容之一,它的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,因此高一学生入学第一个学期的主要学习任务就是要求掌握函数的概念和性质.在高考中,能够熟练运用各类函数的相关性质是解决函数类问题的关键.为此,笔者利用高等数学中的函数凹凸性对连续二阶可导函数的性质作进一步探究,以使学生对这类函数的相关知识有一个更系统、更全面、更深刻的了解.