一道几何题的多种证法

一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ…     

例谈平几开放题的编制

在如何培养学生创新意识和能力的讨论中，数学开放题成为我国中学数学教育的一个重要议题。开放性教学如何与传统的数学教育结合起来，如何形成符合时代要求的数学教育的新的模式，是摆在我们数学教育工作者面前的一个重要课题。 数学开放题有多种形式，如问题答案的开放，解法的开放，对问题题设条件的开放等等。下面就两道常见平面几何题的教学，谈谈题设条件开放题的编制，供参考。 ［例１］如图（１），已知在△ＡＢＣ中，　Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分　ＡＢＣ，交 ＡＣ边于点Ｄ。求证： ＢＣ＝ＡＢ十 ＡＤ。 在引导学生解答后，…     

一道高考题的思考

笔者参加了2000年全国普通高校招生理科数学第18题的评卷工作，在评卷过程中，发现了一些带有普遍性的问题，它反映出考生对解题中所涉及的一些概念与方法在理解和应用上的偏差；同时，就题目形式的出现，本人也有一些看法。本文就有关问题及（18甲）题加以简单剖析，以期引起同行及同学们的重视。     

求不规则四边形面积的两种方法

例１ 如图（１） ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＤＣ ,∠Ａ＝１３５°,ＢＣ＝６ ,ＡＤ＝Ｉ２３ ,求四边形ＡＢＣＤ的面积．学生在解这道题时 ,往往急于连接对角线ＡＣ或ＢＤ ,之后就束手无策了．下面举例介绍求不规则四边形面积的两种方法．一、补形法如例１ 可用两种方法 :１ 将原题中的图形补添辅助线成图（２） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＯＢＣ -Ｓ△ＯＡＤ＝ １２ＢＣ·ＯＤ－１２ＡＤ·ＯＤ＝ １２ＢＣ２－ １２ＡＤ２＝ １２ ３６－１２ ＝１２．２ 将原题中的图形补添辅助线成图（３） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ 矩形…     

基本图形解题功能探析

在平面几何问题中,根据基本图形性质寻找证题思路,往往能收到事半功倍之效。本文试就此作一探讨。　　如图１,Ｒｔ△ＡＣＢ中,ＣＤ⊥ＡＢ,则（１）∠１＝∠Ｂ,∠２＝∠Ａ;（２）△ＡＣＢ∽△ＡＤＣ∽△ＢＤＣ;（３）ＣＤ２＝ＡＤ·ＤＢ,ＡＣ２＝ＡＤ·ＡＢ,ＢＣ２＝ＢＤ·ＡＢ;（４）ＡＣ２∶ＢＣ２＝ＡＤ∶ＢＤ,ＣＤ２∶ＢＣ２＝ＡＤ∶ＡＢ,ＡＣ·ＢＣ＝ＣＤ·ＡＢ。这是平面几何中的一个重要基本图形,在解决一些有关线段的问题中,利用如上性质,能较快找到证题思路,达到迅速、简洁解题的目的。　　例１－如图２,Ｏ为正方…     

1995年高考化学31（3）题解答剖析

１９９５年高考化学３１（３）题解答剖析陕西师范大学化学系马别厚，潘娓婕题目：Ａ，Ｂ，Ｃ是在中学化学中常见的三种化合物，它们各由两种元素组成，甲、乙是两种单质。这些化合物和单质之间存在如下的关系：据此判断：（１）在Ａ，Ｂ，Ｃ这三种化合物中，必定含有乙元...     

一道中考题的多种解法

一道中考题的多种解法滁州市四中史成玉安徽省１９９５年中考、高中招生考试数学试卷第八题（题目略）．除参考答案中给出的解法外，笔者以为还有以下证法．解：图１猜想为：ＣＣ’－ＡＡ’＝ＢＢ’＋ＤＤ’图２猜想为：ＣＣ＇－ＡＡ’＝ＤＤ’—ＢＢ’证法１；利用直角三...     

解立体几何题的转化途径

解立体几何题的转化途径□兰州一中王国栋一、用定义转化立体几何中的许多题目，只要根据有关几何概念的定义，作出表示几何量的平面图形，就可以直接把空间问题转化成平面问题求解例１如图（１），Ａ１Ｂ１Ｃ１—ＡＢＣ是直三棱柱，∠ＢＣＡ＝９０°，点Ｄ１、Ｆ１分...     

关于线段等积式的证明的教学体会

在初中几何的论证中,线段等积式的证明是重点也是难点。如何帮助学生学会分析这类题目证题的思路,掌握教学方法,提高学生分析问题、解决问题和综合运用知识的能力,是提高教学效果的关键。本人在教学实践中有以下几点体会：一、用直接构造相似三角形,帮助学生寻找证题思路证明线段等积式的题目图形往往比较复杂,学生望题生畏,无从下手。为了降低证题的难度,我们可以把要证的等积式化成比例式构造出两个三角形相似,那么问题就可以比较容易地解决。例１　已知：如图（１）△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ,ＡＢ＝ＡＣ,⊙Ｏ的弦ＡＥ交ＢＣ于点Ｄ。…     

一道竞赛题新探

题：如图１,设△ＡＢＣ是直角三角形,点Ｄ在斜边ＢＣ上,ＢＤ＝４ＤＣ．已知圆过点Ｃ,且与ＡＣ相交于Ｆ,与ＡＢ相切于ＡＢ的中点Ｇ．求证：ＡＤ⊥ＢＦ．本题为１９９９年全国初中数学联合竞赛第二试第二题,具有一定难度和探索性．本文对此题作如下思考．一、题目的多种新解法解证此题的关键是得出∠ＡＢＦ＝∠ＣＡＤ,故有以下新解法．解法１：如图１,设∠ＣＡＤ＝α,∠ＡＢＦ＝β,由ＢＤ＝４ＣＤ,有Ｓ△ＡＤＣＳ△ＡＤＢ＝１４１２ＡＤ·ＡＣ·ｓｉｎα１２ＡＤ·ＡＢｓｉｎ（９０°－α）＝１４ＡＣＡＢ·ｔｇα＝１４．由Ａ…     

解题途径举例

解题途径举例兰钢技校洪淑媛紧扣特征解数学题是要运用一般的数学原理解决特殊的数学问题，所以必须具体分析题目中已知与未知的特征，能采用特殊方法的应优先考虑。例１．如图（１），在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝５，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１３．求ＢＣ边上的高ＡＤ的长。解：∵５...     

三角形内角和定理的多种证法

大家都知道，三角形三个内角的和等于１８０°．对于这个定理的证明，除了课本所介绍的外，还有其他的证法．看一看，以下证法你能想到吗？已知：△ＡＢＣ．求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．证法１如图１所示，过点Ａ作ＡＥ／／ＢＣ，则∠１＝∠Ｃ．∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．而∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠１，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°（等量代换）．证法２如图２，过点Ａ作ＥＤ／／ＢＣ，则∠Ｉ＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ．而∠１＋∠ＢＡＣ＋∠２＝１８０°（平角定义），所以∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝１８…     

根据角平分线条件构建全等三角形

几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝…     

一个有用的结论

一个有用的结论江苏兴化城东小学陈德前安徽省１９９４年的中考试题中有这样一题：已知△ＡＢＣ的ＡＣ＝２，ＢＣ边上的高（１）求ＢＣ的长；（２）如果有一个正方形的一边在ＡＢ上，另外两个顶点分别在ＡＣ、ＢＣ上，求这个正方形的面积。解：∵ＡＢ、ＡＣ均比ＡＤ长，于...     

变换条件 引导探索──从一道课本例题谈起

九年义务教育三年制初中几何第二册２３３页例５是一道探索性题目。原题如下： 已知△ＡＢＣ,Ｐ是边ＡＢ上的一点,连结ＣＰ。 （１）∠ＡＣＰ满足什么条件时,△ＡＣＰ∽△ＡＰＣ; （２）ＡＣ满足什么条件时,△ＡＣＰ∽△ＡＢＣ。 如图１,在引导学生由结论探索出应满足的条件：（１）∠ＡＣＰ＝∠Ｂ,（２）ＡＣ：ＡＰ＝ＡＢ：ＡＣ后,若就此罢手,似太可惜。为充分发挥例题的示范作用及潜在应用价值,还可从条件变化,引导学生探索结论的变化情况。 探索１：在图１的基础上,作∠Ａ的平分线交ＣＰ于Ｆ,交ＢＣ于Ｅ,如图２。（１）在此…     

一个被遗漏的解

一个被遗漏的解静宁县石咀初中方水田初中几何二册复习参考题六第２题为：已知：△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝２０，高ＡＤ＝１２，求角平分线ＡＥ的长。绝大多数学牛的解法是，如图（１），在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＤＣ中，利用勾股定理求得ＢＤ＝９，ＤＣ＝１６。在...     

用面积法巧证几何题

几何题多种多样,证题方法也就各种各样。但要因题制宜,随机应变。对于某些几何题,如若采用面积法,不但思路新颖独特,而且相当简便。现举例说明如下。１．等腰三角形两腰上的高相等（几何第二册７３页９题）。已知：△ＡＢＣ中,ＡＢ＝ＡＣ,ＢＣ、ＣＥ是两腰上的高求...     

多法证一中考题

题目求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．（１９９６年广西中考题）已知：在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＤＢ＝ＤＣ，ＤＥＡＢ，ＤＦＡＣ，垂足分别为Ｅ、Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．证一　　ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ．　：∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°，ＤＢ＝ＤＣ，　　△ＢＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）．ＤＥ＝ＤＦ．证一　　　ＡＢ＝ＡＣ，ＤＢ＝ＤＣ，．’．连结ＡＤ后知ＡＤ是△ＡＢＣ中∠Ａ的平分线（三线合一定理）．ＤＥ　ＡＢ，ＤＦ　ＡＣ，　　．ＤＥ＝ＤＦ．证三连结ＡＤ．　　ＡＢ＝ＡＣ，ＤＢ＝ＤＣ，　　　ＡＤ平分∠ＢＡＣ．…     

本期科目:数学训练专题:图形构造法

在解答某些数学问题的过程中,常常可以根据题目特征,联想有关定理或命题,适当地构造几何图形,巧妙地运用几何知识和方法,化抽象为形象,借助直观启发思维,达到另辟蹊径,巧解难题的目的。通常将这种方法称为“构造图形法”。一、利用勾股定理构造图形例：已知ｚ、ｙ、ｚ、ｒ均为正数,且ｘ２＋ｙ２＝ｚ２,ｚ＝ｘ２求证：ｘｙ＝ｒｚ证：考虑题设特点,构造Ｒｔ△ＡＢＣ（如图１）,使ＢＣ＝ｘ,ＡＣ＝ｙ,则ＡＢ＝ｚ;又作ＣＤＡＢ于Ｄ,由射影定理ｘ２＝ＢＣ２＝ＡＢ·ＢＤ＝ｚ,又由题设ｘ２＝ｚ,故ＣＤ＝ｒ,从而Ｓ△ＡＢＣ＝ｘｙ…     

“三线合一”定理的功能与应用

等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合．这就是等腰三角形的“三线合一”定理．这个定理可分解为下面三个定理：（１）在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是顶角平分线，则ＡＤＢＣ，ＢＤ＝ＤＣ．（２）在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是底边上的高，则ＢＤ＝ＤＣ，∠ＤＡＢ＝∠ＤＡＣ．（３）在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是底边上的中线，则ＡＤ上ＢＣ，∠ＤＡＢ＝∠ＤＡＣ．由此可知，等腰三角形“三线合一”定理有三个基本功能：（１）利用“三线合一”定理可以证明两条线段相等．（２）利用“三线合一”定理…