面积与代数恒等式

《面积与代数恒等式》是义务教育课程标准实验教科书《数学(华东师大版)八年级上册第14章《整式的乘法》后面安排的课题学习。学生已经知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式,也从几何图形的面积关系中认识了一些代数恒等式。他们以前参加过用硬纸片设计包装盒、设计旋转对称图形等活动。课前要求学生用硬纸片尽可能多地制作边长为a的大正方形、边长为b的小正教学背景方形和长为a、宽为b的长方形。1.探索如何从一些几何图形面积的不同表示法得出代数恒等式,来说明某些幂的运算性质和乘法法则的正确性以及一些代数恒等式的…     

用纸片作多项式乘法

为了便于理解代数中抽象的符号变化,人们设计了一些纸片作为计算文具.例如,用正方形代表 x2,用矩形代表 x,红色的一面代表正项,蓝色的另一面表示负项……见图1.解题方法图1这样设计纸片的大小是合理的: x×x的正方形纸片代表x2,x×1的矩形纸片代表x,1×1的正方形纸片代表1.例如,计算(3x +2)(2x -1)则可以排成图2.根据纸片的排列可得:(3x +2)(2x -1) =6x2 -3x +4x -2=6x2 + x -2.注意,这里图2　　用硬纸片做一幅计算文具,计算下面的几个问题,再用笔算验证结果是否正确.(1) 2x(x-1);(2) (x+1)(x+2);(3) (x+3)(x+3);(4) (x-3)(x+3).用纸片作多…     

创新性课堂教学中的“十多十少”

[教学片断 ]初二代数“分式基本性质”的教学中 ,一位教师与学生共同回忆了分数的基本性质后 ,提出了以下问题 :下列从左到右的变形成立吗 ?为什么 ?① 1x =1× 4x× 4 ;② 1x =1×mx×m ;③ 1x =x - 1x(x- 1) .…由此你可以得出分式具有什么性质 ?你能发现并提出什么疑难问题 ?……学生在独立思考的基础上 ,小组同学进行讨论 ,然后选出代表汇报各小组的研究成果 :1　学生用“归纳法”得出分式的基本性质小组 1:由①知 ,分式的分子、分母都乘以同一个不为零的数 ,分式的值不变 ;由②知 ,分式的分子、分母都乘以同一个不为零的字母 ,分式的值…     

联系生活实际 教会学生学习

一、联系生活实际，教会学生解决方程中的疑难几年来，在解方程教学中，学生感到特别难理解的是“x”在四则运算中能否合并为一个数，尽管把其中的算理说得十分的透彻，一些学生计算起来同样还是非常糟糕。比如：x×７＝４１２，这个方程中的“x×７”根据乘法的意义是表示７个x相加，合并后应为７x，学生容易理解，很少出现错误；又如：x÷７＝４１２，我让学生把“x÷７”转化成x×１７（六年级学过分数除法）也能理解。可是在加、减法中遇到“x＋７＝４１２”这样的题，就不行了，解这个方程时学生由于受乘法的影响，常常会把“x＋７”合…     

“平行四边形的面积计算”教学设计与评析

教学内容:人教版数学第九册第64～66页及“做一做”、练习十六第1～3题。教学目标:1.使学生能运用数方格、割补等方法探索平行四边形面积的计算公式,初步感受转化思想。2.让学生掌握平行四边形面积的计算公式,能够运用公式正确计算平行四边形的面积。3.通过操作、观察、比较,发展学生的空间观念,培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力。4.培养学生的合作意识和创新精神。教学过程:一、创设问题情境,引入新课1.游戏。教师出示右图这个不规则图形。提问:你能直接计算出这个图形的面积吗?说一说用什么办法。(教师演示:把左边的半圆沿虚线剪…     

一个基本图形的代数解题功能

“数”与“形”是数学中的两大基石,支撑着数学的演变和发展.以“形”助“数”,直观、巧妙,用“数”攻“形”,简捷、明了,因此“数形结合”思想在解决数学问题的过程中被得到了极为广泛的应用.然而总结一些基本图形的代数解题功能或归纳一些典型代数问题在几何中的应用,还不多见.笔者尝试运用一个基本图形,探索它在代数方面的解题功能,期能为引玉之砖.笔者运用的这个基本图形与相交弦定理的推论相对应,如图1,AB是半⊙O的直径,C为半⊙O上的点,CD⊥AB于D,则CD2=AD·BD.图1这个基本图形及其结论在解证有关几何题时的作用是众所周知的,如…     

为什么是A4纸

问题:普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-2(人民教育出版社)第74页第12题:打印纸型号设计原理——如图,某种打印纸的面积为623.7cm2,要求上下页边距分别为2.54cm,左右页边距分别为3.17cm,如果要求纵向打印,长和宽分别为多少时可使其打印面积最大(可使用计算器)?解答:设纵向长x(cm),则横向长为62x3.7(cm)(x>.623.7≈24.97,以下单位省略),则打印面积为S=(x-2×2.54)(62x3.7-2×3.17)=655.9072-(6.34x+623.7x×5.08)≤655.9072-2.6.34×623.7×5.08≈372.45,等号在6.34x=623.7x×5.08时成立,此时x≈22.36,这与纵向打印的要求x>.623.7≈…     

探索规律 图形与面积——新课程理念下的多媒体教学设计

一、教学内容根据义务教育小学数学(浙江版)第十一册《组合图形面积》改编 ;取材紧密联系学生已有的经验 ,从实际生活中和生产实践中引出问题 ;把图形的交换、图形间的联系放在重要的位置 ;教材设计了相对开放的问题情境。二、教学目标1 通过学生自主探索、合作交流、归纳总结出圆形与其它图形组合存在的某种关系 ,并运用得到的规律 ,去解决实际问题。2 通过引导 ,使学生明白 ,学习数学时如何去探索好的方法 ,去研究和掌握一些规律性的东西 ,运用于生活实际。3 在学习活动中培养学生兴趣 ,感受生活中与数学有密切关系的问题 ,能主动地去解决…     

将课本例习题设计成探索性问题的一些探索

数学探索性问题是相对数学封闭性问题而言的 ,它在高考试题中占有一定的地位和比例 ,且有继续升温的趋势备受广大师生的关注 .但是数学探索性问题的提出、开发、研究的时间还不长 ,现在的数量不多 ,远不能满足教学的需要 ,这需要我们在教学实践中注意编拟和设计探索性问题 ,以丰富探索性问题的积累 .本文想就现行高中数学新教材中的例题、习题来进行这方面的探索 ,提供一些设计的思路和做法 .1　将代数证明题改造为探索性问题例 1　 (新教材代数第一册上第 10 7页 3题 ) (1)若 f (x) =ax + b,则 f (x1 + x22 ) =f (x1 ) + f (x2 )2 ;(2 )若 …     

例谈一元一次方程的解题技巧

解一元一次方程的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.在熟练掌握解一元一次方程的一般方法后.对于一些一元一次方程,不拘泥一般步骤,根据其结构特征,灵活运用运算性质等往往可使问题化繁为简.例如:例1解方程①20x·-53-3x0-·22·4=3·08·1-x;②0·x4-0·180·+040·3x=3.解①22(2×x0-·35)-5(53x×-0·2·24)=101(03·×80·-1x),即(4x-6)-(15x-12)=38-10x.解得x=-32.②101×00x·4-1001(00·01×80+·00·43x)=31××44.即140x-18+430x=142,故10x-(18+30x)=12,解得x=-23.评析没有先去分母,而是根据分数的基本性质…     

面积法在数学解题中的应用

<正>所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系,运用代数手段完成几何中的推理过程的方法.用面积法一般可不添或少添辅助线,证法简洁,易于接受和掌握.可以用来证明线段的数量关系、图形的分割、求线段的比和面积等.在数学解题过程中,面积法有着广泛的应用.应用面积法解题的理论依据:1等积定理:两个全等图形的面积相等;等底等高的两个三角形的面积相等;整个图形的面积等于其各部分面积之和.2面积比定理:两个三角形面积     

一道模拟试题的探究性教学及反思

问题如图1,函数y=1-cos x,x∈[0,2π]与x轴所围成的图形的面积为____. 这是盐城市2008年高三学生二模中的一道填空题．由于所围成的图形不能直接用我们已知的面积公式来求解,可以考虑图形的对称性,运用割补的方法把问题转化成规则图形,以便于求出该不规则图形的面积．     

给学生自主探究的空间——“平行四边形的面积计算”教学设计

教学内容:人教版数学第九册摇P64～66的内容及相应的“做一做”,练习十六第1～3题。教学目标:1.使学生能运用数方格、割补等方法探索平行四边形面积的计算公式,初步感受转化思想。2.让学生掌握平行四边形面积的计算公式,能够运用公式正确计算平行四边形的面积。3.通过操作、观察、比较,发展学生的空间观念,培养学生运用转化的思想方法解决问题的能力。4.培养学生的合作意识和探索创新精神。教学重点:掌握平行四边形面积计算公式。教学难点:平行四边形面积计算公式的推导过程。教具:两个完全一样的平行四边形、不规则图形、小黑板、剪刀、实…     

让数学课堂彰显数学思想方法

<正>数学思想方法不仅是数学的精髓,也是数学教学的灵魂,更是体现数学本质的重要方面和评价数学教学的主要依据。因此,在小学数学教学过程中,加强数学思想方法的渗透,会有利于教师深刻地认识数学内容,有利于增强学生的数学观念和数学意识,形成学生良好的思维品质。本文就实际的教学过程中的一些片段来具体谈谈数学思想方法在教学中的渗透。1.新课开始时渗透:片段一:教学《平行四边形的面积》。(1)课件出示师:同学们猜一猜,哪个图形的面积要大一些?     

数学创新教育的内容

重视学生学习数学的兴趣教育,激发学生创新意识。在数学教学过程中,通过有关的实例,说明数学在科学中的作用,使学生认识学习数学的意义,鼓励学生积极参与数学学习和数学实践活动,激发学生学习数学的兴趣和成就动机。如在一元二次方程根与系数关系的教学中,若ax2+bx+c=0的两根是x1、x2,求x1-x2的值。引导学生由x1-x2转化到x1+x2和x1·x2,学生充分想象,利用二次根式性质姨a2=a,实现转化,即x1-x2=姨(x1-x2)2=姨(x1-x2)2+4x·1x2,问题得以解决。一个人涉猎知识越多,知识面越广,其创造思维就越活跃,创新能力就越强。注重学生思维能力的培养,训练…     

规律源自探索——苏教版数学“探索规律”教学策略例谈

苏教版数学教材中的"探索规律"这一内容,是苏教版数学教材的亮点之一,主要分布于"数与代数""图形与几何"等领域。教学实际中,有序组织学生开展"数学规律"的探索活动,不仅能有效激发学生学习数学的兴趣,还能帮助学生积累探索规律的基本经验,发展学生的数学思想方法;更有利于引领学生用数学的眼光去观察现实世界,用数学的思维去思考现实世界,用数学的语言去表达现实世界,用数学的方法去分析与解决现实生活中的实际问题。     

追求真实有效的数学课堂——《圆柱和圆锥的整理与练习》教学案例

1 教学内容 圆柱和圆锥的整理与练习. 1.1 教学目标 (1)通过对圆柱和圆锥知识的复习,进一步熟练解答基本的数学问题. (2)通过猜想、估算、验证等数学活动,运用圆柱圆锥之间的内在联系解决生活中的问题,同时培养学生的估算能力. (3)通过整理、交流、合作、探究,体验探究的乐趣,感受数学的价值,培养学生“学数学、用数学”的意识和创新精神. (4)使学生进一步体会图形与实际生活的联系,感受立体图形学习的价值,提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心.     

“平行四边形面积的计算”教学实录与评析

教学内容人教版九年义务教育小学数学第九册第64～65页教学目标1.引导学生在数学活动中发现并掌握平行四边形面积的计算公式,运用公式解决相关的数学问题。2.通过猜想、验证,使学生掌握图形转化的思想方教学实录师:(先出示一个长为6厘米,宽为4厘米的长方形,如图1)它的面积怎样求?2005-7.8辽宁教育103教参课堂实录生:长方形的面积=长×宽:6×4=24(平方厘米)。师:(又出示一个边长为6厘米、5厘米和高为4厘米的平行四边形如图2)它的面积怎样求?生:(思考片刻)有些学生开始认为是邻边相乘:6×5=30(平方厘米)。师:你是怎样想到的?生:因为长方形的面…     

渗透数形结合 强化代数推理——一道中考试题的深度探析及教学导向

<正>本文以2023年绍兴市一道中考填空压轴题为例,通过解法探索和深度解析呈现命题者渗透数形结合与强化代数推理的立意,并从四基四能和数学素养两个角度对试题作了评价,同时围绕整体性渗透、关联性理解、动态性解析三个方面指明教学导向.一、试题呈现在平面直角坐标系xOy中,一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界),这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图1,     

“圆的面积”教学实践与反思

《数学课程标准(实验稿)》中明确提出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”如何在课改新理念的指导下改变学生以被动接受为主的学习方式,实现学生学习方式的彻底转变呢?下面谈一下自己教学“圆的面积”的课堂实践与反思。[案例]我在教学“圆的面积”时,让学生分小组合作探究;怎样把不会计算面积的图形(圆)转化为会计算面积的图形(长方形、平行四边形、三