一道竞赛题的引申

2008年全同高中数学联合竞赛,湖北预赛试题第11题：设P为椭圆x^2/4＋y^2/3=1上的一个动点,过点P作椭圆的切线与⊙O：x^2＋y^2=12相交于M,N两点,⊙O在M．N两点处的切线相交于点Q,求点Q的轨迹方程．     

对一个动点轨迹的再研究

文[1]研究了这样一个动点的轨迹问题:问题Rt∠POQ的顶点O是定点,直角边上的动点P、Q在某定曲线上,若OM⊥PQ于点M,动点M的轨迹是什么?     

旋转式椭圆规及其数学原理

一、旋转式椭圆规的数学原理我们从椭圆轨迹上的点P(x,y)到椭圆中心的距离谈起: 设椭圆轨迹上一动点P(x,y)的轨迹方程为 x=acosθ, y=bsinθ,则动点P(x,y)到椭圆中心O(0,0)的距离d满足 d~2=(acosθ)~2 (bsinθ)~2.因a~2cos~2θ b~2sin~2θ=(a~2-b~2)cos~2θ b~2     

不断探索 水到渠成——“椭圆定义及其标准方程”课堂教学实录

最近 ,我校举行申报“省青年骨干教师培训”汇报教学示范课 ,我组青年教师对全校教师上了一堂“椭圆定义及其标准方程”教改示范公开课 ,现实录如下 .教师 :我们以前学习过圆 ,请同学们回忆一下圆的定义 .学生 1 :平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 .教师 :我们是怎么画圆的呢 ?同学们画画看 .(课前教师要求学生每人准备一块硬纸板 ,并发给每一位学生两颗图钉及一根定长绳子 .)学生 :(动手画圆 .)教师 :“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点P到定点O的来回距离之和为常数的点的轨迹 .”行不行 ?学生 :(齐声地 )…     

涉圆最值问题归类解析

<正>前几年中考中常考的几何最值是"将军饮马"模型及其变式,动点轨迹是直线型,近几年中考中常考的几何最值常常与圆有关,动点轨迹是圆.基本模型如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.     

依据条件谨防误区

题目　点P与点F( 2 ,0 )的距离和与直线x =8的距离的比是 1∶ 2 ,求点P的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .解法 1:设P(x ,y)是轨迹上的任意一点 ,它到直线x =8的距离为d ,则|PF|d =12 ,即(x -2 ) 2 y2|x -8|=12 .两边平方、整理得x2 2y2 8x =5 6,也就是(x 4 ) 272 y23 6=1.这就是所求动点P的轨迹方程 ,它表示一个中心在 ( -4 ,0 ) ,焦点为F′( -10 ,0 ) ,F( 2 ,0 ) ,长轴长是 12 2的椭圆 ,如图所示 .解法 2 :根据椭圆的第二定义知所求动点P的轨迹是一个椭圆 ,其焦点在x轴上 .因为焦点F( 2 ,0 ) ,准线x =8,所以c=2 ,a2c=8,解得a2 …     

化斜为平避繁就简——例谈第二定义在解题中的应用

圆锥曲线家族的三大元老：椭圆、双曲线、抛物线一直活跃在高考舞台上,这一大家子的稳定地位归功于他们统一和谐的第二定义：即动点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（定点不在定直线上）,当0〈e〈1时,动点的轨迹是椭圆;当e〉1时,动点的轨迹是抛物线;当e-1时,动点的轨迹是双曲线．这又使我们不得不惊叹于数学定义形式的简洁美与统一美．     

从折纸游戏中体验椭圆的生成

准备一张纸片(如图1).(其中O点表示圆心,F点表示圆内除O点以外的任意一点.)将圆纸片翻折,使翻折上去的圆弧通过F点(图2),将折痕用笔画上颜色.继续上述过程,绕圆心一周.观察一下得到了什么图形?想一想为什么?直线围成一个椭圆(如图3).这样绕圆心O简单地一折,为什么会产生椭圆呢?如图4.设折痕为l,那么F点关于直线l的对称点Q一定在圆弧上.连接OQ,交l于P点,连结PF,则OP+PF=OP+PQ=半径长(定值),所以P点的轨迹是椭圆.根据对称性,找到了折痕上一点满足到两定点的距离和等于定长,从而满足椭圆定义,得出结论.在这个问题中,怎么知道椭圆上的…     

解析几何中简化运算的策略

一、活用定义,优化过程例1已知动圆圆心P经过定点O(0,0),且动圆与⊙A:(x-2)2+y2=1外切,求动圆圆心P的轨迹方程.解依题意有｜PA｜-｜PO｜=1<｜OA｜=2.由双曲线的定义知,动点P的轨迹是以点O、A为焦点的双曲线的左支.由2a=1,2c=2得a=12,c=1,∴b2=c2-a2=34,双曲线中心为(1,0).∴点P轨迹方程为(x-1)214-y234=1(x≤12).例2已知椭圆方程(x-6)216+(y-2)212=1,点P(5,-1)是椭圆内一点,试在椭圆上求一点M,使｜MF｜+0.5｜PM｜的值最小(其中F为椭圆的左焦点).解已知椭圆的离心率e=0.5,左准线方程x=-2,∴｜MF｜∶｜MN｜=0.5,即｜MF｜=0.5｜MN…     

求轨迹的一种方法

一般地，在直线的参数方程的是直线上的一个定点．若用辩证思想去“以静制动”（即视动点为定点），那么，我们就可以巧妙地处理在某种条件下的一类动点在直线上运动的轨迹问题，下面列举数例来说明这种方法．例至没动直线z垂直于X轴，且与椭圆军十生一1交手A，B两点，P是l上满足42－——””—”一’“““”－——”——『”’～IPAI·IPB一1的点，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．（1992年上海市高考题）解设动点P（X。，入），直线／的参数方程加．（t为参数）代人椭圆方程得卜一八十土Zt‘十好。t＋x。’十如0’－4＝0，…     

一类动点轨迹的求解规律

近几年的高考试题中常常出现这样一类试题:已知一个动点M或两个动点M、N的轨迹,动点P随着M或M、N的移动而移动,求动点P的轨迹.这类试题有何求解规律?求解的关键是什么?这正是本文要解决的问题. 先看几个例子. 例1 (1999年全国高考题)如图,给出定点A(a,O)(a>0)和直线l:x=-1.B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB     

代换法则在解析几何中的应用

等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决几何中的有关问题,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。一、运用代换,解决轨迹问题 1.轨迹问题中的动点坐标和关键点坐标的巧妙代换。当动点P,随着另一在已知曲线上运动的关键点M而动时,可以先找出P、M间的坐标关系,用动点坐标表示关键点坐标,继而代入已知曲线方程即成。例 1.过椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1的顶点A_1(-a,0)任作弦A_1E,并延长A_1E到F,使EF=A_1E,连OF交A_2E于P,求P点的轨迹方程。     

解题教学要从学生的思维出发——一道测试题的解题教学实践与思考

正1试题概况在一次高二的检测考试中,遇到了这样一道压轴题:已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(ab0),圆O:x2+y2=b2,点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点.(1)若P(-1,3(1/2)),PA是圆O的切线,求椭圆C的方程;(2)若PA PF是常数,求椭圆C的离心率;(3)当b=1时,过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点(其中点D在第一象限内),它在轴上的射影为点     

与圆锥曲线有关的圆（弧）轨迹的探究

笔者在研究了最近几年的高考试题后发现,圆锥曲线中一类轨迹问题的模型有着广泛的教学意义．本文以高考试题为引子,借助于几何画板软件,对此类问题作了探究．引例1(2002年高考题)已知椭圆的焦点是F_1、F_2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F_1P到Q,使得|PQ|=|PF2_|,则动点Q的轨迹是………………………………………( )     

教师的经验要顺从学生的思维——一道测试题的解题教学实践与思考

1 试题概况 在一次高二的检测考试中,遇到了这样一道压轴题:已知椭圆C:x/a2+y/b2=1(a＞b＞0),圆O:x2+y2=b2,点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点. (1)若P(-1,√3),PA是圆O的切线,求椭圆C的方程; (2)若PA/PF是常数,求椭圆C的离心率; (3)当b=1时,过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点(其中点D在第一象限内),它在x轴上的射影为点G,直线EG交椭圆C于另一点H.问是否存在正实数a,使得对于任意k＞0,都有DE上DH?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.     

从一道联赛（预赛）题谈圆锥曲线的有趣性质

2008年全国高中数学联赛湖北省预赛第11（1）题是： 设P为椭圆4^-x^2＋3^-y^2=1上的一个动点，过点P作椭圆的切线与⊙O：x^2＋y^2=12相交于M、N两点，     

求轨迹方程的几种常用方法

由已知条件求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一,也是解析几何的重点.轨迹方程的常用方法可归纳为以下四种. 一、普通法例1 求与两定点O(O1,0)、A(3,0)距离的比为1:2的点的轨迹方程. 设动点为P,由题意|PO|/|PA|=1/2,则依照点P在运动中所遵循的条件,可列出等量关系式.     

椭圆切线的一类性质的探究

正笔者在研究2014年福建省高三质检卷理科第19题的过程中,发现过焦点作椭圆切线的垂线存在着若干有趣的性质。题目如图,设P是圆O:x~2+y~2=2上的点,过P作直线l垂直x轴于点Q,M为l上的一点,且PQ=2~(?)MQ,当点P在圆上运动时,记点M的轨迹     

圆锥曲线的几个重要性质

性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2+y2/(1+λ)b21的椭圆;双曲线x2/a2-y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是双曲线上的点,直线OM与ON的斜率之积为b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2-y2/(1+λ)b2=1的双曲线;圆x2+y2=r2,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是方程为x2 +y2=(1+λ2)r2的圆.     

探两道高考题的源

92年上海市有这样一道高考题: 设动直线l垂直于x轴,且与椭圆x~2/4 y~2/2=1交于A、B两点,P是l上满足|PA|·|PB|=1的点,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形? 解:如图1,设点P(x,y),点A(x_1,y_1),则B(x,-y_1)。由于A、B两点在椭圆上,所以又由1-x~2/4=y_1~2/2等,得-2相似文献