研究性学习在初中数学教学中的尝试

过程,这样才能促使学生在学习过程中,不断地、自主地探索与发现知识. 比如,在学习平行线分线段成比例定理之后,可安排一节研究性学习.在△ABC中,D为BC边的中点,E为AC边上的任意一点,BE交AD于点O,某学生在研究这一问题时,发现了如下事实; (1)当11211AEAC==+时,有 22321AOAD==+(如图1); (2)当11312AEAC==+时,有 (图1) 22422AOAD==+(如图2); (3)当11413AEAC==+时,有 22523AOAD==+(如图3); (图2) (图3) (图4) 在图4中,当11AEACn=+时,参照上述研究结论,请你猜想用n表示AOAD的一般结论,并给出证明(…     

一道高考压轴题的启示

纵观近几年的高考数学试题 ,一些比较困难的问题 ,常有一定的高等数学背景 .2 0 0 2年高考数学 (理 )压轴题正是如此 .这个题目是 :设数列 {an}满足 an+ 1=a2n - nan+1,n =1,2 ,3,…( )当 a1=2时 ,求 a2 ,a3,a4,并由此猜出 an的一个通项公式 ;( )当 a1≥ 3时 ,证明对所有的 n≥ 1,有( i) an ≥ n +2 ;( ii) 11+a1+11+a2+… +11+an≤ 12 .解析 :这是以数列和不等式的基础知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道好题 .这道题的入口较宽 ,( )及( ) ( i)不难解决 ,( ) ( ii)难倒了不少考生 ,…     

中考数学阅读题的解法

近年来,在全国各地中考数学试卷中,经常出现一种阅读题,这类题主要考查学生对数学材料的理解、接受及加工处理能力,运用数学知识分析和解决实际问题的能力。一、阅读、观察、猜想例1:(2003河北)如图1是用火柴棍摆出的一系三角形图案。按这种方式摆下去,当每边上摆20(即n=20)根时,需要的火柴棍总数为根。分析:通过阅读观察、发现:当n=1时,有一个三角形;当n=2时,有2×(2+1)2=3个三角形;当n=3时,有3×(3+1)2=6个三角形…,可以猜想,当每边摆上n根火柴时,有n×(n+1)2个三角形,而每个三角形有3根火柴,故总数Sn=3n×(n+1)2根火柴。当n=20时,S20=3…     

三个比较大小的趣题赏析

问题　试比较以下三对数的大小 :(1) 2 0 0 3 2 0 0 4与 2 0 0 42 0 0 3 ;(2 )log2 0 0 3 2 0 0 4与log2 0 0 42 0 0 5 ;(3 ) 1+ 12 0 0 32 0 0 3 与 1+ 12 0 0 42 0 0 4.赏析 (1)　第一对数的大小比较 ,可以转化为比较nn+1与 (n + 1) n(n∈N ,n≥ 3 )的大小 ,实际上 ,有结论nn+1>(n+ 1) n,其中n∈N ,n≥ 3 .证明有以下方法供参考 .证法 1　凡是与自然数有关的命题 ,都可以考虑用数学归纳法证明 ,该结论也一样 .(i)当n=3时 ,3 4 =81>43 =64成立 ;(ii)假设n =k ,k≥ 3时 ,kk+1>(k + 1) k成立 ,则当n =k+ 1时 ,有(k+ 1) k+2(k + 2 ) k+1=(k +…     

数学归纳法在证明数列题中的应用

数学归纳法主要用来证明一个与正整数有关的命题,它的步骤如下:1.证明当n取第一个值n0时结论正确;2.假设当n=k(k!N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k 1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.例1已知在各项均为正数的数列｛an｝中,它的前n项和Sn满足Sn=12(an a1n).试猜想数列｛an｝的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.解析∵S1=a1=12(a1 a11),∴a21=1.∵an>0,∴a1=1.∵S2=a1 a2=12(a2 a12),即a22 2a2-1=0,又an>0,∴a2="2-1.∵S3=a1 a2 a3=1 ("2-1) a3=21(a3 a13),即a32 2"2a3-1=0,又an>0…     

转化思想是解答数学题的重要策略（二）

上接本刊第四期《转化思想是解答数学题的重要策略 (一 )》6 .前进转化为后退在解题时有些问题难以入境 ,就以退求进 ,就是前进转化后的目的 .【例 11】　试比 2 0 0 42 0 0 3与 2 0 0 3 2 0 0 4 的大小 .解 :先后退到比较 ,2 1 >12 ,3 2 >2 3,43<3 4,5 4<45,6 5<5 6 ,…再前进到猜想 :当n≥ 3 ,(n∈N+)时 ,有 (n + 1) n 相似文献   

数学归纳法的四种类型

一、根据条件直接猜想例1已知数列{an}中的各项分别为182××132,…,8n(2n-1)2(2n+1)2,…,Sn是数列的前n项和,计算可得S1=98,S2=2254,S3=4489,S4=8810.根据结果猜测Sn的表达式,并用数学归纳法证明.解由S1=1-19,S2=1-215,S3=1-419,S4=1-811,猜想Sn=1-(2n1+1)2(n缀N+).证明如下:(1)当n=1时,S1=1-312=89,等式成立.(2)设当n=k(k≥1,k缀N)时,Sk=1-(2k1+1)2成立.∵an=(2n-1)82(n2n+1)2=(2n1-1)2-(2n1+1)2,∴Sk+1=Sk+ak+1=1-(2k1+1)2+(2k1+1)2-(2k1+3)2=1-[2(k+11)+1]2.由此可知,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何n缀N+都…     

解决数列问题的一般方法

数列是高中数学的重点内容,它与数、式、函数、方程、不等式等有着密切的联系.求解数列问题往往涉及到重要的数学思想方法.为此,笔者结合多年的教学经验,对解决数列问题的常用方法作了一些探讨.一、数学归纳法数学归纳法比较典型地用于这两类题目中:1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的;2.确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.因此它是解决数列问题的常用方法之一.例1已知数列｛an｝中,a1=-23,其前n项的和Sn满足an=Sn S1n (2n≥2),计算S1,S2,S3,S4.猜想Sn的表达式,并证明.解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Sn S1n 2,Sn=-Sn-11 (2n≥2).求出S1,S2,S3,S4的值后,猜想Sn=-nn 21.证明(:1)当n=1时,S1=-23=a1,结论成立.(2)假设n=k时,猜想成立,即Sk=-kk 12成立.那么n=k 1时,Sk 1=-Sk1 2=--kk 112 2=-kk 23=((-kk 11)) 12.即n=k 1时,猜想成立.综合(1)(、2),可知猜想成立.点评:数学归纳法的重难点是处理好n=k 1时的情况.二、裂项相消法裂项相消法...     

高考压轴题的启示

近观这几年的高考数学试题,一些比较困难的问题,均有一定的高等数学背景.2002年高考数学(理)压轴题正是如此.这道题是: 设数列{an}满足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,…, (1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想an的一个通项公式; (2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有(i)an≥n+2;     

对一个猜测的探讨

在众多的组合式中 ,有一个相当漂亮的结构 :∑rn=1·Crn- 1 + 2·Crn- 2 + 3· Crn- 3+…+ ( n- r) Crr.(规定 Cnm中 ,若 m相似文献   

数学奥林匹克高中训练题(4)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.如果一个n面体中m个面是直角三角形,就说这个n面体的直度为mn.如果一个n(n≥4)面体的直度为1,棱数为k,那么,n与k应满足().(A)k=3n(B)k=23n(C)k=34n(D)k=2n图12.如图1,P为△ABC内一点,且满足AP=25AB+51AC.则△PBC的面积与△ABC的面积之比为().(A)21(B)32(C)53(D)523.设函数f(x)=2sinx+π4+2x2+x2x2+cosx的最大值为M,最小值为m.则M与m满足().(A)M+m=2(B)M+m=4(C)M-m=2(D)M-m=4图24.如图2,过双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P.若线…     

一道全国数学竞赛题引出的两个公式

2005年全国初二数学竞赛中有一个问题,从这个问题的解法中不难推出两个公式,下面给出推出的过程:问题已知(2x-3)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0.求代数式a1+a2+…+a7的值.解显然x=0时,有(-3)7=a0.(1)当x=1时,(-1)7=a7+a6+…+a1+a0.(2)(2)-(1)得:a1+a2+…+a7=(-1)7-(-3)7=2186.推广一下,我们不难求得:当x=-1时,(-5)7=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0.(3)(3)-(1)得:-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=(-5)7-(-3)7=-75938.把指数推广到n,当(2x-3)n=a0+a1x+…+anxn时,则不难得出(-3)n=a0,(4)(-1)n=a0+a1+…+an,(5)(5)-(4)得:a1+a2+…+an=(-1)n-(-3)n,(-5)n=a0-a1+a2-…+(-…     

一个代数不等式猜想的否定

文献[1]提出如下一个代数不等式猜想:猜想设 a_1>0,i=1,2,…,n,3≤n∈N.证明或否定:f(a)a_1/a_1a_2…a_(n-1) a_2aa_2…a_(n-2) … a_1 1 a_2/a_2a_3…a_2a_3…a_(n-1) … a_2 1 … a_n/a_1…a_(n-2) a_na_1…a_(n-3) … a_n 1≤1.文[1]作者指出:当 n=3时已给出初等证明,当 n≥4时仍为猜想.笔者指出:当 n≥4时,此不等式猜想不成     

2003年湖北省黄冈市初中升学统一考试数学试题

一、填空题 (每小题 3分 ,共 18分 )1.- 4的相反数是 ;- 8的立方根是;9的平方根是 .2 .2 0 0 3年 6月 1日 9时 ,举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水 ,首批 4台机组率先发电 ,预计年内可发电 550 0 0 0 0 0 0 0度 ,这个数用科学记数法表示 ,记为度 .近似数 0 30精确到位 ,有个有效数字 .3.若 |m - 1| + (n - 5) 2 =0 ,则m =,n= .此时将mx2 -ny2 分解因式得mx2 -ny2= .4 .顺次连结菱形四条边的中点的四边形是形 .5.当x =sin 6 0°时 ,代数式2x2 - 4xx + 2 × x2 + 2xx2 - 4x + 4+ 4x2 -x的值等于 .图 16 .如图 1,把直角△ABC的斜边AB放在定直…     

用韦达定理求一元二次方程参数需检验

我们经常看到这样的情况:很多同学在用韦达定理求一元二次方程中参数的值或取值范围时,经常因忘记检验而失分.尽管老师一再强调,还是有同学没有检验.为什么会出现这样的现象呢?主要原因是没有理解为什么要检验,本文对此作简单的分析说明.先看一例:例设x1、x2是关于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根,且x21+x22=11,求k的值.解由题意得,x1+x2=k+2,x1x2=2k+1.∵x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=11,∴k2+2=11①解得:k=±3.检验:当k=3时,原方程的判别式Δ=k2-4k=-3<0,不合题意,舍去;k=-3时,原方程中有Δ=k2-4k=21>0.∴k=-3.可见,这类题目需要检验.那么…     

三角形中的探索题

近年来,围绕三角形的知识,在中考中出现了许多考查能力的探索新题型,归纳起来,主要有:一、探索规律型例1如图1,已知∠ABC=8°,θ=90°.(1)若α1=β1,则β1=;(2)若α1=β1,α2=β2,则β2=;(3)若α1=β1,α2=β2,α3=β3,……,αn=βn(n是大于或等于1的自然数),试猜想βn的度数与n的关系式.解:(1)β1=90°-∠B=90°-8°=82°;(2)β2=α1-∠B=90°-2∠B=74°;(3)由(1)、(2)知:当n=1时,β1=90°-1×8°;当n=2时,β2=90°-2×8°;进而求出当n=3时,β3=90°-3×8°=66°,于是可猜想βn=90°-n×8°.二、探索条件型例2如图2,AD、A'D'分别是锐角…     

由一道课后习题引发的探究

最近笔者所在学校高一年级正在上三角恒等变换的内容,其中人教版必修4的教材中第144页的一道习题引起了笔者的兴趣,题目如下:习题设f(α)=sin~xα+cos~xα,x∈{n|n=2k,k∈N_+}.利用三角变换,估计f(α)在x=2,4,6时的取值情况,进而对x取一般值时f(α)的取值范围作出一个猜想。此题考查了三角恒等变换和归纳猜想的能力,是一道考查学生能力的好题.当x=2时,结论很显然,即恒等式sin~2α+cos~2α=1.而当x=4,6时,其     

2005年河南省初二数学竞赛试题

一、填空题(每小题3分,本题满分30分)1.写出一个无理数,使它与2的积是有理数.2.不等式组x-2<1,2x+1>5的解集是.3.若g(x)=1-x2,且当x≠0时,f[g(x)]=1-x2x2,则f21=.4.如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm,那么这个直角三角形斜边上的中线长等于cm.5.若(m+1)2+3m+2n=0,则n=.6.观察下列各式:1+31=231,2+14=341,3+15=451,…请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来:.7.若8a1-x32=1-2x+1+2x+1+4x2+1+8x4+11+6x8+图1321+x16,则a的值是.8.如图1,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC边翻折180°形成的.若∠1∶∠2∶∠3=2…     

图w_(4k,n)及其r-冠的优美性

马克杰等在文(1)中证明了p1∨p2及其r-冠是优美的.从而猜想:任意优美图的r-冠都是优美的.在此猜想指引下,本文证明了:当m≡0(mod 4)时,wm,n为优美图的充要条件是n≡0或3(mod 4).在此之后又证明了:w当m≡0(mod 4)的r-冠也是优美图.     

思维空间站

1.求函数y=8/|x|-1+(5x-4)~(1/2)0的自变量x的取值范围.2.直线nx+(n+1)y=2~(1/2)(n为正整数)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn(n=1,2,…,2000),求S1+S2…+S2000的值.3.已知一次函数的图象经过点(2,2),它与两坐标轴所围成的三角形的面积为1.求这个一次函数的解析式.4.求证:不论k为何值,一次函数(2k-1)x-(k+3)y-k+11=0的图象恒过一定点.5.如图1,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BC=4,AC=3,点P为CD上