柯西不等式的变形及应用

柯西不等式:设a‘,b‘任R(i二1,2,…,n)则(a;b: aZ吞: … a沪。)2簇(a资 a圣 …… a乙)·(峨 砖 ……十砚)等号当且仅当久=肋‘或b‘=触‘时成立,它是一个十分著名的不等式.应用它的变形证明不等式简单明了.本文将介绍它的变形在解题中应用. 令bl=b:=·一=b。=1,两边开平方得变形(1) 变形(1):a: a: ·一 a二((a圣 a圣 …… 。幼彭石.等号当且仅当。,二。2=‘””’=a。的成立. 例la,b,‘eR十,a b :=1.求证:了i3a l J 13吞 l J 13‘ i成4月 证明:因为a,b,。eR ,a b ‘二1,由变形(l) 所以J13a i Ji3,b i /13。 l((13。 i 13。 1 13: i)晋…     

一个不等式的证明及应用

定理设n任N,n)2,。r,t,s>0,a气+a头+…+a二=A,a互a蚕十a妥a匀+…+‘试~B.则 月下~,~r十,十‘D乙一共=二),兰一亩=工乃一“矛刀一l(1)等号成立的充要条件是al~a二证明令氏-a下+‘A一可,i一1,2,…,二,则b,簇热簇…簇b,.(用视差法可证)又a’l簇姚落…(试,由排序原理知云。:。‘)习。:。‘+,,j一:,2,…,,一1.(z) i=l矛,1(k>,时,约定b一b卜.).(2)中各式相加得 (。一1)e)习(,一。:),‘一万a:+1.(3) ‘,l亩.1其中C表(z)左边.因a互蕊a笼蕊…镇a二,a二镇a岌…簇心,故艺。户一艺。:.。渗‘姚+。诚+…+a二a悦=B.(4)(4)代入(3)得C)典n—1,此即(l)式.…     

多项式函数值的一个组合恒等式

设多项式f(x)~aoxn+a:xn一’+……+a。一:x+‘,炳=b+(j一l)d,d笋。,j任N。那么n+z阶范得蒙行列式(以下总假定n)2): l bn+1 b盖+-lb3嘴1场嘴lbl日‘ 一一 Db全b呈b牙…b盆+1Dj D一(b厂bi)(b厂bZ)……(b厂b卜i)(bi+1一b:)(b:+:一bj)·,·…(饥+i一bJ) D(j一l)!(n+l一j)!d。 D_,一丁丁甲不“L节厂‘ n IU一从而1嘛嘛︸嵘粼1 11饥嘴 2,盆山bb 1工门‘11bbao .D=八Ua…试一laob全 lb晋一1aob呈 1b犷,aob呈依次给第i(i一1,2,……n)行元素乘以a。卜。,全部加到第n+1行的对应元素上去bn+1b若+:按第n十1行-一一展开一一艺(一1)·‘;+j .f(bj)·…     

一道几何题的联想与推广

众所周知,在△ABC中,若乙B=乙c,则b=c,即b一‘=0. 在△ABC中,若乙B=2乙C,依据正弦定理,则有ae c’一乙’=o(a=域a今e). 联怒:在△ABC中,乙B=乙C,b一c=o,不妨记作:f:(a,石,e)=b一e=0。 当乙B=2匕C时, f,(a,西,c)=a·c c子一b’二0. 那么乙B=3乙C时, f3(a,b,c)=…=o?当乙B=n乙C时,f。(a,b,c)=…=o?(,〔N)-推广.在△ABC中,当乙B=一b年】二尸= ‘sinn乙Csin匕C.由棣莫弗定理、理及复数相等的条件,不难求出:n乙C时,二项式定 sin”乙C2,一ik一i=名(一i)资c七sin“乙e·cos“一“乙c(扎中,任N,k二:二__.(一1).十巴一1、一几,f—,. ‘根…     

1993中国数学奥林匹克(CMO)

一、设n是奇数.试证:存在2n个整数al,由,””久办,瓦,…,b.,使得对任意一个整数k,o相似文献   

多项展开式通项公式的统一形式

我们知道,(二十妇.二项展开式的通项公式是C七义一rgr= r名!(”一r)1 rlx,,rg『,改记一种形式为 拐l。一月一义u封UG!01这里。、b为非负整数,且a十b=n.形式推而广之, 件!:a x6:el一‘劣+灯一卜封’展开式的通项公式具有x勺啥。,a、b、。为非负整数,_巨a+b+c=n.证:,.’(二+。十:)一名吼(二+。)‘·『:r一刀 作l(n一r)1 rl(劣+,)“‘r:r…(1)(x+g)’·r展开式的通项可写为二幂{‘!·。‘…(2,其中数,月a+b=n一r.由(1)、(2)即知。、b为非负整(劣+g+:).展开式的通项为 炸l(”一r)lr皿L二仔g乙之r二.劣agb之。(巴记r=c).其中a、b、e为非负整数,…     

几个代数不等式的推广

文【l]给出:若x,yeR,且x y二1,则(1)二十,,一, ,、寻; __2l八、泣二I乙)一一一一一一又十、一,_」L__乙 芯丁y ,2xZ十y=~丈石 x y‘扩xZ十y23’中学数学研究加06年第6期(3)x 少 丸一为 丸,4飞百·如果改变上面的条件,便得到以下推广. 定理1若x,y〔R,且x十y=a(a任R),则 (1)ax ,,一x, 。、晋a,; ,,2 (2)翁·瑞一翁 广石)晋;鸭不蒸芍证明(1)由已知得(3)口丈乙盯十少十不翌一= x‘十ay一卫业二二十子兰一ax十y‘x‘ ayaZ·(么二),一身X,十冬X愁一象丹 二x3 ‘_舫 熟(。一x.) ·x; a、_粉￡ axj一x3.因此X; 。‘_粉!·a, axj一对一(xj一号)…     

完全平方公式的变形应用

兮 沙协岑不汀认匕\卜 完全平方公式(“士l))夕一乙:2士Zal,一卜尸.不难将公式作如下变形: (1)aZ 犷一(a b)“一Zab (2)a“ /)z一(a一乃’“ 2‘Zb忍 (3)(‘:一卜b)艺十(a一乃)卫=2(“2 乙竺) (4)(“一!一占)2一(a一b)2=4‘,,争 若能灵活运用上述变形公式解题,贝弓使解题过程简捷明快,收到事半功倍的效果.现略举几例说明. 例1已知尸 犷一枪,.、一干y一4,求抑的值. 解:由上述变形公式(l)得:2二少一(二 y)2一份召十少)一工6一12一4.o’.笼少一2· 例2已知扩l)2十矿十犷 l一如b.求“、八的值. 解:由变形公式(2),已知等式可化为、2少 流一乙)2…     

芜湖市一九八零年初中数学竞赛题和参考答案

叙述并证明相交弦定理的逆定理。B3了一”一侧“2+““1.解2.已知(略) 3 X=+了一“+了阮’ l丫一b一侧一占厂命则戈=A+B, x,二(A+B)3=A”+B”+3AB(A+B),.’理3十B3二一b十召沪不石污 +(一b一侧石「而几平j=一2b护+3欧十2b的值。令‘=’了一乙+侧石艺斗百3 3AB= _3(一b+侧乙布护)(一石一亿占“+a“一‘3=一n/﹀记求解允3二故原式一2’a一3a(A十B)=一2乙一3欺,二一Zb一3a戈+3ax+Zb=0。与。cB,一‘“AOZ=‘一52=譬二, 如图,A(0、6)、B(3、7)、C(7、5) 护一、.’.S=6+14十6十是园弧八召口上的三点,分面积几c刀土OX,求阴影部 (12分)2…     

合成数列的通项及其应用

设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二…     

1998年高考压轴题的巧证与推广

1998年高考第25题: (文科)已知数列{b。}是等差数列,bl-… b、。一100. (I)求数列{b,}的通项b”; (皿)设数列{a。}的通项为a。=19(1 1,乙, bZ 却,记“·是 (l十l)(l李4,2 l (l l)(175,: 1 (1 1)(1十争(1 静二(l十石冬厄)> 韵(l A..·(1 是万)>数列{a。}前。你的结论.项和,试比较:。与粤,g氏 ,的大小,并证明 乙 (理科)已知数列{b二}是等差数列,bl~1,二十阮。~145. (I)求数列{b。}的通项b二; (l)设数列{a。}的通项为a。=109『(l 下共几)(l十万共不)~.「1 1十忍i十乙a一,bl b:十1_,,一 丁-下一气厂一一一一;丈万」>了nd 1(n、d任刀,d>l)史…     

湖南卷

l一3一一.若数列{a，}满足:a，且对任意正整数，n，n都有a、。=a. lim(a， a: … a，)=·a，，则() (e)普.(D)2·2一3 B l一2 A 2.已知}a卜2}bl笋O，且关于x的方程尹 }alx a·b一。有实根，则a与b的夹角的取值范围是( (A)[。，晋〕) (“，[晋，·」. (e)「晋，誓」·3.过双曲线     

2006年7-8月号“数学创新与实践竞争”参考答案

题1叮·052x装满的牙膏瓶的体积叭二下·22 x 20=80叮(cI记).每次挤出才禽的体积F，二粉二。.257T((.rT，)，可用8()cr二32川次).扩大川圣后每次挤出牙膏的体积vZ二邮(). 25叮酬络二·o石2火l二0·36二(。nl，)·可用一呈9卫二222(次).可少用320一222二98(次). 036叮题2依题意，得动二l M=丝奸l巨妇卫少l) (a+l)(方+l)瓜二一卜1竺+1_二(‘，+I)(b+l、故M=人一，Z)+‘，+动+I) (‘什l)又乙+l) a+乙+2 (‘z+l)(b+l) Zab+a十b 2+a+b (a+l)(b+l)(a+l)(b+l)砂缪题3〔l)小明应朝下一站走.(2。小明的速度至少应为3oo 3!箫娜krn/h.衡任编嘱/穆…     

精心联想 巧妙构造

构造方程(组) 例1。‘“=ab一实数a,乡9。求证ac满足a=6一乙,乙。由韦达逆定理联想到构造二次方程 之,一6之 c’ 9=O,a,白是它二根,再证它判别式等于零即可. 构造二次函数 例2.已知a,b,‘为△ABc三边,S为面积.求证a’ 石’ 。‘)4侧丁5. 设AD为BC边上的高,AD=h,BD=m,DC=n.则 a’ 乙气 c’一4了丁s =(m n)’ ,n乙 ,:‘ Zh“ 一2训丁(m十n)h.把右式看作几的二次函数厂(h),证明广(的)0即可。 构造恒等式 例3.求证(x y 劝“=(一x 夕十劝 (x一g 之)3 (x g一之)3 24x对之- 在恒等式(: 乙 c)“=a” 乙“ c. 3(a 乙)(乡 c)(c a)中命a=一x , …     

问题1.5参考答案

…||l|人.95 问题求使2”+1能被3整除的一切自然数n. 解根据多项式与多项式的乘法,不难验证 丫一夕一(a一b)(a刀1+a祠b+a间扩+…+的科+犷‘).* 将。一2,b一一1代人上恒等式,得 2月一(一1),一3M,其中M是、式右端中令a一2,b一一1时第二个因式的值.因为a和b是整数,所以M也是整数.于是有 2月+1=2’‘一(一1)”十1+(一1)”一3八左十1+(一l)”. 显然,当n是奇数时2刀十1能被3整除.(如果n是偶数,则2”+1被3除余2) 注也可由2’z一(3一1)”一3M+(一1)”求解. 【问题1 .7~8】4个友好城市A、B、c、D进行乒乓球友谊比赛,每个城市各派甲、乙两个队参加.…     

Abel变换的应用

·习冈Abel变换为:名。‘b:=。产,+忿~1变换得.一I乙a*(。‘一。:十,)丫、一名b、:二。声 .~至。+习a‘(二:一x:+,)其中。:二名。、‘i~1,2…,”)._a味劣月一(x,一x:,:)=名(a一 口曰万问了正:刀。‘乙‘=。:乙:+。2乙2+…+aob。 ,,1·万曰 一 =a:a,+aZ(aZ一a,)+…+a.(口一a。一:) 二a,(a,一aZ)+口2(aZ一a3)+…+a一:(a,l 一口,)十a。气 .一l =。。a.+刀a‘(a,一a‘十:). 云口1 众所周知.人bel变换在高等数学中有其广泛的应用.其实.它在初等数学中也占有一席之地.请看下列几例. 例一设a:,aZ,…,a。:b:,bZ,…,b。是实数.证明使得对任何满足…     

2007年高考广东数学卷压轴题探源

2007年广东离考.理21、文20厄:已知函数f(x)二玩一1,a尹是方程f(x)=0的两根(a甲)J,(x)是函数f(x)的导数,设a,二l,入 .二册,‘n=’,2,”’(l)求a尹的值; (2)已知对任意的正整数n有久>“,记b产In玉二久,(解1,2,…).求数列{b。}的前n项和凡.解:(l)由xz x一1=0,一l V了2得x=二丝努,士努·(2)…f,(二)二2(:) l,:.几‘I二人es‘1节二减 入-1_嵘 l从 12乌 1久十lee在斋班生事务件拜.嵘 (卜丫了)幼3 丫了2‘ (1一v了)。全红‘‘(_.l V了、2 l入宁一--下奋---l。:lee一一典一~卜}马二户),11一V 51、久,。z l久十二‘嘴一l、‘/…     

初二数学期中检测题

一、选择题(共10题,每小题3分,共30分)、在下列恒等变形中:①sm+5了‘一7二5(m十n)一7;~19。,13一9一4‘32‘③3二(、一了)(、+少)一6二=3二(、2一y,一2)④。Zb十。二。2(b十王) ②召C二刀,C‘;③Ae二A‘C,;④乙A=乙A‘;⑤乙B=乙B,;⑥忆c=乙c,,则下列各组条件中不能保证 A属于因式分解的有(A、1个B、2个)C、3个D、4个 2、如果xZ+、一30=(二一a)(*+b),则a、b的值可分别为() A、一6,SB、一6,一SC、6,一SD、6,5 3、下列分解因式错误的是() A、犷一灯一3了+3x二(x+3)(二一力 B、,n,卜sm+3,卜15=(n一5)(m+3) C、a,+a,b一abZ一b,=(a一b…     

和差代换应用一览(初一、初二、初三)

对于任意两个实数x和y,总有_x y,—一一石—~丁一 ‘X一y 2x y 一(a十b)十(a一b)一Za~而.例3正数m,n满足m 4丫下蕊一2丫下i一4在 4n一3,X一y一。一一2 Xy了l||l‘|we|L若令x十yX一y 2一b,则有。了不十2石一8,。,,本一二二二尸一一一二二,一于一一甲即1且. 了m 2了n 2002解=a b,     

2002年普通高校全国统一招生数学模拟试卷

一、选择题(5分xlZ=60分) 1 .x任丽石丽的充要条件是() A .x〔M B.xeN C .x〔M且xe N D.x任M或x任N 2.在等比数列中,为+a,。=a(a尹o),a,9+鲡=b,则彻十aloo等于()一个点表示复数土,则该点是(A .21C.孔B.几D.乙B·(普)ge·岁n·(誊)1。 9.(理)设。二毗一(一誓),。=峨·tg(一冬),则() 22,,、二、 A .a

仔D.a+月二0驴一护 凡函数y=Zsin十含)在「二,2二〕上的最大值为A一2 B.1 C.招D.24.如果圆护+尹=b与直线x+y二b相切,则b的值为()粤B .1 c. ZD.拒乙 (文)函数‘(x)二s‘n(x+音)e,(奇一x)的最,J、正周期是() A.晋砰晋C…