求∑k~m的一种方法

k~m=a_1k a_2k(k 1) … a_(m-1)k…(k m-2) k…(k m-1), (2) (2)中命k=-r(r=1,2,…,m-1),得a_1,…,a_r的递归式     

等差数列奇次方幂和的表示法

设数列{a_n}是公差为d(d≠0)的等差数列。若令a_0=a_1-d,a_(n 1)=a_n d,则① a_1 a_2 … a_n=(1/2d)(a_na_(n 1)-a_0a_1); ② a_1~3 a_2~3 … a_n~3=(1/4d)[(a_na_(n 1))~2-(a_0a_1)~2]。证①∵ a_ka_(k 1)-a_(k-1)a_k=a_k(a_(k 1)-a_(k-1)=2da_k,k=1,2,…。令k=1,2,…,n, 得n个等式,将它们的两边分别相加得 a_na_(a 1)-a_0a_1=2d(a_1 a_2 … a_n)。∴ a_1 a_2 … a_n=(1/(2d))(a_na_(n 1)-a_0a_1)。②∵ (a_ka_(k 1))~2-(a_(k-1)a_k)~2=a_k~2[a_(k 1)~2     

几个特殊数列的求和公式

本文给出几种特殊数列的求和公式: 1、等差数列各项K次幂的和的递推公式。 2、等差数列与等比数列相应项之积的和的公式。 3、设(a_n)为等差数,公差为d,则 (1)sum from i=1 to n (a_ia_(i+k)…a_(1+k-1))=a_1a_2…a_k+(a_na_(n+1)…a_(n+k)-a_1a_2…a_(k+1))╱(k+1)d (2)sum from i=1 to n (1╱a_1a_2…a_(i+k-1))=1╱((k-1)d)(1╱a_1a_2…q_(n-1))-1╱(a_(n+1)a_(n+2)…a_(n+k=1))     

递推数列已逐渐成为高考中的流行色

给定数列{a_n},若a_n k与a_n、a_(n 1)、a_(n 2)、…、a_(n k-1)之间满足关系式a_(n k)=f(a_(n k-1),a_n k-2,…,a_n),则称此关系式为k阶递推式.由此递推式及初始值a_1、a_2、…、a_k所确定的数列{a_n}称为k阶递推数列.若a_(n k)能表成c_1(n)a_n c_2(n)a_(n 1) … c_(n k)(n)a_(n k-1)的形式,则该递推关系为k阶线性递推关系(等差、等比数列是最简单的一阶线性递推数     

等差数列的两个不等量性质

定理1 设{a_n}为一公差为d的等差数列,而a_i、a_j、a_k、a_r为其中的四项(i相似文献   

一个不等式之拓广及其应用

文[1]中给出了如下不等式:已知 a>b>c,求证:a~2b b~2c c~2a>ab~2 bc~2 ca~2.(1)本文先给出(1)式的几种不同形式的拓广,然后探讨它们的一些应用.命题1 设 a_1>a_2>…a_(n-1)>a_n,n≥3,则有a_1~2a_2 a_2~2a_3 … a_(n-1)~2a_n a_n~2a_1>a_1a_2~2 a_2a_3~2 … a_(n-1)a_n~2 a_na_1~2.(2)证明(i)当 n=3时,由(1)知,命题成立;(ii)假设当 n=k(≥3)时,命题成立,则当 n=k 1时,由 a_1>a_2>…>a_k>a_k 1得a_1>a_2>…>a_k,a_1>a_k>a_(k 1)得a_1~2a_2 a_2~2a_3 … a_(k-1)~2a_k a_k~2a_1>a_1a_2~2     

对2007年浙江省高考数学卷理科第21题的分析

试题已知数列{a_n}中的相邻两项 a_(2k-1),a_(2k)是关于 x 的方程 x~2-(3k 2~k) 3k·2~k=0的2个根,且 a_(2k-1)≤a_(2k)(k=1,2,3,…).(1)求a_1,a_3,a_5,a_7;(2)求数列{a_n}的前2n 项和 S_(2n);(3)记 f(n)=1/2((|sinn|)/(sinn) 3),T_n=((-1)~(f(2)))(a_1a_2) ((-1)~(f(3)))/(a_3a_4) ((-1)~(f(4)))/(a_5a_6) ... ((-1)~(f(n 1)))/(a_(2n-1)a_(2n)),求证:1/6≤T_n≤5/24(n∈N~*).1 特点分析2007年浙江省高考数学试题在"能力立意"思想的指导下,在坚持考查学生基础知识、基本方法的同时,特别突显对学生思维能力的考查,其中理科第21题就是一个亮点.该试题以等差数列、等比数列为基础,将数列、方程、不等式、函数、三角等知识巧妙结合,体现了命题者的匠心独运和超凡构思.试题既考查学生对相关知识的掌握情况,又考查学生能否     

一道竞赛题简证

设数列a_0,a_1,a2,…,a_n满足a_0=1/2,及a_(k 1)=a_k (1/n)a_k~2(k=0,1,2,…,n-1),其中n是一个给定的正整数。试证:     

数列分组的应用

把数列{a_n}按某种规律分组,得到一个新的群数列:(a_1,a_2.…a_(k1)),(a(k 1),a_(k1 2),…,a_(k2)),…研究下列问题:1.归入第k组的是哪些项:2.项a_n是第几组的第几项;3.第k组所有项的和是多少? 例1.将自然数列分组如下:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,…,12),(13,14,…,20),……问1987是第几组的第几项?第k组数的和为多少? 解:观察分组方法,第k组共2k个数,因此k组     

由一道例题得到的三个不等式

高中代数下册(必修本)第七页例2: 已知:a、6∈R~+,并且a≠b。求证:a~5+b~5>a~3b~2+a~2b~3 由其指数特征及证明中的差式(a~5+b~5)-(a~3b~2+a~2b~3)=(a~2-b~2)(a~3-b~3)不难得到命题一:若a_1,a_2∈(?)。m,k∈N,m>k, 则 a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+a_1~(m-k)a_2~k(当且仅当a_1=a_2时等号成立)。证法与上类似。运用命题一又可得到命题二:若a_1,a_2,……,a_n∈R~-,m,k∈N,m>k,则 (a_1~m+a_2~m+……+a_n~m)/n≥(a_1~k+a_2~k+……+a_n~k)/n。a_1~(m-k)+a_2~(m-k)+……+a_n~(m-k)/n(当且仅当a_1=a_2=……=a_n时等号成立)。证明;把对a_1,a_2,……,a_n两两运用命题一得到的n(n-1)/2个不等式:a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+     

不等式a~5 b~5>a~3b~2 a~2b~3的推广和应用

高中代数第二册中有这样的两个不等式:已知a,b∈R~ ,并且a≠b,那么a~3 b~3>a~2b ab~2;a~5 b~5>a~3b~2 a~2b~3。本文将其推广为更一般的不等式。即下面的 [定理] 设a_1,a_2,…,a_n,m,a,k∈R~ ,且m=a (n-1)k,n≥2,则a_1~m a_2~m … a_n~m≥a_1~a a_2~k…a_n~k a_1~ka_2~aa_3~k…a_n~k …a_1~k…a_(n-1)~ka_n~a…(A)成立。(当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取“=”号)。证:对n用数学归纳法。①当n=2时,m=a k,a_1~m a_2~m-(a_1~aa_2~k a_1~ka_2~a)=(a_1~a-a_2~a)(a_1~k-a_2~k)≥0,仅当a_1=a_2时取“=”号。命题成立。     

应用柯西不等式的几个推广

<正>柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有n∑k=1a_k²·n∑k=1b_k2·n∑k=1b_k²≥(n∑k=1a_kb_k)2≥(n∑k=1a_kb_k)²。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n2。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n²,其中等号成立当且仅当a_1=a_2=…=a_n。     

再谈介于调和平均和算术平均间的平均值链

本文将文[1]中的平均值进一步统一在更加广泛的平均值下,并且给出了新平均值的序关系.一、平均值的推广设a_1,a_2,…,a_n为几个给定的正数,沿用文[1]的记号,和式S_k=∑a_(i1)a_(i2)…a_(ik)表示从a_1,a_2,…,a_n中无序不重复取出k个数作出的所有乘积之和,并规定S_0=1.在文[1]中,我们已经得到以a_1,a_2,…,a_n为边长的n维长方体的k维表面积为2~(n-k)∑a_(i1)a_(i2)…a_(ik)=2~(n-k)S_k①(1≤k≤n)     

对一道数学高考题的剖析与思考

2007年浙江省高考数学卷理科第21题:已知数列{a_n}中的相邻两项 a_(2k-1),a_(2k)是关于 x的方程 x~2-(3k 2~k) 3k·2~k=0的2个根,且a_(2k-1)≤a_(2k)(k=1,2,3,…).(1)求 a_1,a_3,a_5,a_7;(2)求数列{a_n}的前2n 项和 S_(2n);(3)记 f(n)=1/2((|sinn|/(sinn) 3),T_n=((-1)~(f(2)))/(a_1a_2) ((-1)~(f(3)))/(a_3a_4) ((-1)~(f(4)))/(a_5a_6) ... ((-1)~(f(n 1)))/(a_(2n-1)a_(2n)).求证:1/6≤T_n≤5/(24)(n∈N~*).本题叙述简洁明了,不拖泥带水.题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的,显得平和而贴切.试题一共设置了3个小题,设问角度新颖,梯度明显,体现了浅入深出、简约而不简单的命题风格.本题所包含的主要数学知识有:一元二次方程、数列的通项与前 n 项和、函数的周期性、不等式等;所涉及的数学思想有:分类讨论、归纳与猜想等,考查的主要数学技能有:数学运算、逻辑     

第二十一届全国中学生数学冬令营试题及略解

第一天福州 1月12日上午8:00～12:30每题21分一、设实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1 a_2 … a_n=0,求证:二、正整数 a_1,a_2,…,a_(2006)(可以有相同的)使得 a_1/a_2,a_2/a_3,…,a_(2005)/a_(2006)两两不相等.问:a_1,a_2,…,a_(2006)中最少有多少个不同的数?三、正整数 m,n,k 满足:mn=k~2 k 3,证明不定方程 x~2 11y~2=4m 和 x~2 11y~2=4n 中至少有一个有奇数解(x,y).     

递推方法应用简介

有些排列组合问题若能根据其自身特点找出递推关系,就能解决一些比较困难的问题。 1.错排问题:a_1a_2…a_n是1,2,…n的任一排列,求满足a_i≠i,i=1,2,…n的全体排列个数D_n 解。a_1有n-1种选择,a_1=k,k≠1,那么a_k有两种可能。(1)a_k=1,这时由于a_1=k,a_k=1,则满足原条件的排列个数为D_(n-2) 。(2)a_k≠1,这时由于a_1=k已确定,则满足原条件的排列个数为:D_(n-1)。因此D_n=(n-1)(D_(n-2) D_(n-1))     

求sum from k=1 to n(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0)的简便方法

求自然数的方幂和S_m(n)=sum from k=1 (k~m),一般利用递推公式,先算出s_1(n),s_2(n),…,s_m-1(n),然后才能求出s_m(n)。本文给出的方法,可以直接求出sum from k=1(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0),其特殊情形就是sum from k=1(K~m)。     

整数的多项式表示及其应用

初中课外讲座,作者鲁有专。任给n位整数k,在10进位制中,可表为10的n-1次多项式:k=10~(-1)·a_1 10~(n-2)·a_2 … 10·a_(n-1) a~n,a_i∈{0,1,…,9},i=1,2,…,n,a_1≠0;在b进位制中,又可表为k=b~(n-1)·a_1 b~(n-2)·a_2 … b·a_(n-1) a_n,a_i∈{0,1,…(6-1)},i=1,2,…,n,a_1≠0。整数的多项式表示,在解决某些数学竞赛题时是一个有效的方法,运用时又有若干技巧,本文在这方面将给您以启迪。     

等差数列一个性质及应用

性质:设{a_n}为等差数列,则(1) 1/(2k-1)sum from i=1 to (2k-1)(a_i=a_k).(2)1/2k sum from i=1 to 2k(a_i=(a_k a_(k 1))/2).此性质可叙述为:等差数列奇数项的算术平均值等于中间一项;等差数列偶数项的算术平均值等于中间两项的算术平均值.证明:设d为等差数列{a_n}的公差,则a_i=a_k (i-k)d=(a_k-kd) id(i=1,2,…)应用这个性质,可给出一些高考数列题的简解.例1.在等基数列{a_n}中,若a_3 a_4 a_5 a_6 a_7=450,则a_2 a_8的值等于( ).(A)45,(B)75,(C)180,(D)300.(1991年上海高考题)     

巧用函数解不等式

不等式是中学数学教学的重点和难点,各种杂志已介绍了不同的方法,本文将通过构造函数,巧妙地解决某些不等式问题. 例1 设a_k>0(k=1,2,3,…,n),且a_1a_2…a_n≥1。求证: (a_1 a_2 … a_n)/n n/(a_1 a_2 … a_n)≥≥(a_1a_2…a_n)~(1/n) 1/(a_1a_2…a_n)~(1/n)≥1,