基本不等式的七大对偶应用技巧

本文运用大量的例题详细而全面地总结了基本不等式的应用技巧．希望通过这些基本不等式的应用技巧来说明公式的应用是全方位的、立体的。     

应用基本不等式求最值的八种变换技巧

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基本不等式的别证及其它

基本不等式设a≥0,b≥0,则a+b/2≥√ab(当且仅当a=b时等号成立).最值原理设x>0,y>0.(1)若x+y=S(定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值S²/4;(2)若xy=P(定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最大值2√P.     

运用基本不等式的变形技巧

基本不等式是高中数学的重要内容,是高考重点考查的内容之一.从宏观上讲,运用基本不等式,应注意一正、二定、三相等.但如何保证这三点,以下变形是常见技巧.     

用好基本不等式的关键三步

运用基本不等式(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(a>b,b>0)求函数的最值(值域)是一种常用的、重要的方法,而处理好一正、二定、三相等这关键的三步又是用好基本不等式的保证.第一步(一正):基本不等式成立的前提条件是各项恒为正,因此首先要判断运用基本不等式的两项是否为     

基本不等式

基本不等式是高考中的必考知识点之一,在选择题、填空题和解答题中均会考查,通常会以"一大一小"的形式出现,分值约为20分.同时基本不等式也是解决有关最值问题的重要手段之一,因此,熟练掌握基本不等式的相关考查动向以及熟悉相关题型和解题方法,是拿下此部分分数的必要手段.本文就将对此部分知识结合有关例题,进行一次有效的剖析.     

一道不等式题的思考

华罗庚曾经说过:“善于退,足够地退,退到最原始而又不失去重要性的地方,是学好数学的一个重要的诀窍.”上面尝试一和尝试二未能顺利求解,于是将条件中的椭圆退化成圆,简化了思维,体现了数学之简、数学之美.对题目的解法探究、拓展、引申是一名高中数学教师必须拥有的专业素养,充分探索题目的根源,通过推广达到举一反三的目的,在面对学生时能高屋建领.教师平时的解题备课中,也应该不断发现问题、提出问题、探究问题,提升自己的数学核心素养.     

柯西不等式在解析几何中的应用

柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.柯西不等式具有对称和谐的结构特征,应用关键在于构造两组数ai,bi(i=1,2,…,n),进行合理的变形,找准解     

基本不等式的应用

运用基本不等式a＋b/2≥√ab时，要满足“一正”（即条件中王各项为正数），“二定”（和或积必须为定值），“三相等”（等号能取到）这三个条件，缺一不可．     

基本不等式题型的最值问题

正人教版必修五给出了基本不等式a+b2≥槡ab(a0,b0),当且仅当a=b时取等号.其变形有:(a+b2)2≥ab;a2+b2≥12(a+b)2.应用基本不等式的条件:①正数;②和定或积定;③相等.基本不等式的一个应用就是求最值.有以下四类问题:一、隐含积定型若a0,b0且a+b的和为定值p,则积ab有最大值ab≤p24.例1已知x0,求y=x+1x的最小值.解y=x+1x≥21x·槡x=2.(当且仅当x=1x时取"=")例2已知x1,求y=x+1x-1的最小值.解y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3.(当且仅当x-1=1x-1,x=2时取"=")变式已知x1,求y=x2-x+1x-1的最小值.     

关于华罗庚先生的一个不等式及其应用

在不等式的王国中,我们知道有很多不等式都是用华罗庚先生的名字命名的,其中有一个初等不等式如下: 华罗庚不等式[1]设ak为实数,p,q＞0则(P-n∑k=1ak)2+q(n∑k=1a2k)≥pq2/n+q.仅当a1=a2=…=an=qp/n+q时等号成立.     

运用基本不等式，要做到“三会”

1.会整体考虑例1已知a,b∈R⁺,且a+b=1,求（2a+1）^1/2+（2b+1）^1/2的最大值.分析整体考（2a+1）^1/2和（2b+1）^1/2,配成与条件相符合的式子.     

柯西不等式的应用透视

柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)(当且仅当b1/a1=b2/a2=b3/a3=…=bn/an时,等号成立)是一个重要的不等式,其结构和谐、形式优美、应用广泛,是高考考查的热点.本文举例说明柯西不等式在求值、求最值、证明不等式及求参数的范围等方面的应用.     

意料之外 情理之中——谈学习基本不等式的几个误区

<正>在一次基本不等式的复习课上,笔者准备了几道常规题.本想以此让学生回顾一下公式内容及其简单应用,没想到本应在情理之中的回答却出现意料之外的结果.按理说,基本不等式形式简约、逻辑简易、操作简单,本不应出现这么多错误,但事实却并非如此.这促使笔者对这一现象的成因进行分析研究,对教师的教与学生的学在认识和操作层     

均值不等式应用四注意

利用两个正数的算术平均数和几何平均数之间的关系,求某些非二次函数的最大、最小值问题时需注意以下四点:一、注意正正是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正实数,若不是正实数,必须变为正实数.     

基本不等式中等号成立的检验功能

<正>基本不等式包含两个不等式:(1)若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取"="号).(2)a,b为正实数,则槡(ab)^(1/2)≤a+b2(当且仅当a=b时取"="号).但是,在平时的教学中,发现学生不会灵活运用这些不等式.其实,只要我们合理利用它的检验功能,在解题过程中必然能发现自己所犯的错误.     

基本不等式的应用

<正>基本不等式a+b≥2~(1/2)ab(a,b>0)与函数、三角函数、数列、向量、立体几何等知识交汇,成为解决问题的有力工具.它的主要作用是证明不等式、解决最值问题.本文介绍它在解决最值问题中的应用,以拓展同学们的     

一个不等式猜想的再推广及简证

宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下: 猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1. 文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广: 推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ.     

一个不等式的又一个简捷证明

文[1]给出了一对非常优美的姐妹不等式设a,b,c是正数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=1/3时取等号,     

基本不等式

基本不等式是高考中的必考知识点之一,在选择题、填空题和解答题中均会考查,通常会以一大一小的形式出现,分值约为20分左右.同时基本不等式也是解决有关最值问题的重要手段之一,因此熟练掌握基本不等式的相关考查动向以及熟悉相关题型和解题方法,是拿下此部分分数的必要手段.本文就将对此部分知识结合有关例题,进行一次有效的剖析.