求三角函数最值的几个方法

1．用正弦函数的值域 例1已知-π/2≤x≤π/2,求函数f（x）=sinx＋√3cosx的最大值与最小值．     

一道值域题的多种解法

题目已知函数f（x）=2√x＋、√4-x,则函数f（x）的值域为（ ）．     

求最值问题常见的错误种种

一、忽视函数定义域致误 【例1】已知,f（x）=2＋log3x（1≤x≤9）,求函数y=[f（x）]^2＋f（x^2）的最大值．     

2006《数学教学通讯·高考数学》（3）解答与提示

函数与方程的思想方法 1.此问题由于常见的思维定势。易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度以m为主元。记f（m）－（x^2－1）m－（2x－1）。则问题转化为求一次函数（或常数函数）f（m）的值在区间[-2，2]内恒负时参数x应该满足的条件。要使f（m）＜0，只要使{f（-2）＜0， f（2）＜0，即{-2（x^2－1）－（2x－1）＜0， 2（x^2－1）－（2x－1）＜0，从而解得x∈（（√7-1）/2，（√3＋1）/2）。     

由一道竞赛题谈起

题目：设函数f（x）具有如下性质：f（3x）=3f（x）对于所有的正实数x都成立，且f（x）=1-｜x-2｜（1≤x≤3）。试求满足f（x）=f（2001）之最小值。（第十九届美国数学邀请赛第8题）     

巧用单调性处理一类无理函数的值域

在中学数学教学中函数的值域问题一直以来都是一个重要的问题．对型如y=m√g（x）＋n√f（x）其中λf（x）＋g（x）=2c（c为常数）λ〉0的无理函数的值域问题还没有一个统一的处理．本文从利用单调性角度谈谈这类无理函数的值域的处理,期望得到一个统一的方法．     

一道周期函数例题的一般情形

例若a是非零常数,对于任意的x∈R,函数,f（x）满足,f（x＋a）=1/2＋√f（x）-（f（x））^2,求证：f（x）是周期函数．     

一道周期函数例题的一般情形

例若a是非零常数,对于任意的x∈R,函数,f（x）满足,f（x＋a）=1/2＋√f（x）-（f（x））^2,求证：f（x）是周期函数．     

浅议一个恒等式的来龙去脉

我们经常遇到这种问题：若f（x）=1/4^x＋2（或f（x）=1/a^x＋√a），求f（-3）＋f（-1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）的值，解答这类问题是依据这类函数一个恒等式：若f（x）=1/4^x=2，则f（x）＋f（1-x）=1/2，若：f（x）=1/a^x＋√a，则f（x）＋f（1-x）==1/√a。     

函数f(x)=√x2+ax+b±√x2+cx+d的最值

结论1若△1=a2-4b≤0,△2=c2-4d≤0,则函数f(x)=√x2 ax b √x2 cx d的最小值是f(x)min=1/2√(√-△1 √-△2)2 (a-c)2.     

一个函数问题的高等数学背景——兼谈高等数学对中学数学的指导作用

几本中学数学参考书[1][2][3]上有这样一个数学问题： 问题1 已知图象经过原点的二次函数f（x）=px^2＋qx满足1≤f（-2）≤2,3≤f（1）≤4,求f（2）的取值范围.     

构造对偶关系解题

例1 函数f（x）=√3x-b＋√3-x的值域是______. 解函数 u=f（x）=√3x-6＋√3-x =√3·√x-2＋√3-x 的定义域为[2,3]．     

对一道高考难题的再思考

2008年高考江西卷（理科数学）的压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/1√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数α,证明：1〈f（x）〈2．     

用光学原理求两类无理函数的最小值

1．用光的反射原理 求形如 y=√（x-a）^2＋（f（x）-b）^2＋√（x-c）^2＋（f（x）-d）^2 函数的最小值,其中f（x）为一次函数,且 （f（a）-b）（f（c）-d）〉0．     

周期函数的四种特殊类型及其应用

类型一若y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x＋k）＝－f（x），则函数y＝f（x）的周期为２k（k为非零常数）．证明∵f（x＋２k）＝f犤（x＋k）＋k犦＝－f（x＋k）＝f（x），∴函数y＝f（x）的周期为２k．例１定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x＋１）＝－f（x），且在区间犤－１，０犦上单调递增．比较f（２√）、f（２）、f（３）的大小．解析∵f（x＋１）＝－f（x），∴由类型一知f（x）的周期为２．又因为f（２√）＝f（－２＋２√），f（２）＝f（－２＋２）＝f（０），f（３）＝f（－４＋３）＝f（－１），且－１＜－２＋２√＜０，…     

巧构函数求最值

在求函数f（x）＝f１（x）＋f２（x）的最值时，如果f１（x）与f２（x）的单调性不一致，就难以直接应用函数的单调性求解，这时我们可以构造一个与f（x）相关且单调性容易确定的函数g（x），利用函数的单调性求出g（x）的最值，再求f（x）的最值．例１求函数f（x）＝x２＋１√－x（x≥０）的最大值．解析因x２＋１√与－x在犤０，＋∞）上的单调性不一致，故f（x）的单调性不易观察，此时可将f（x）进行分子有理化，变形为f（x）＝１x２＋１√＋x．易知：g（x）＝x２＋１√＋x在犤０，＋∞）上单调递增，∴犤g（x）犦min＝g（０）＝１，∴…     

由一道作业题引起的思考

在复习导数应用时,布置了一道作业题目：已知函数f（x）=-x^3＋ax^2＋b（a,b∈R）,若函数y=f（x）图像上任意不同的两点连线斜率小于1,求证：g√3≤a≤√3．在辅导时发现有一半的学生利用导数来做．     

错在哪里

忽视复合函数的定义城已知函数f（x）=2＋log_3x（1≤x≤9）,求函数g（x）=[f（x）]＾2＋f（x＾2）的最大值和最小值.错解：由1≤x≤9,得0≤log_3x≤2.g（x）=（2＋log_3x）＾2＋2＋log_3x＾2=（log_3x）＾2＋6log_3x＋6=（log_2x＋3）＾2-3.     

函数奇偶性的妙用

一、转化不等式 例1求满足｛2x＋y≤2,x≥0,（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）≥1的动点P（x,y）构成的图形的面积．     

例析函数的奇偶性问题

例1（2011年安徽卷理）设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（z）=2x^2-x，