合比定理在不等式中的推广和应用

在比例中,合比定理即若a/b=c/d,则(a b)/b=(c d)/d,(1)但当a b≠0且c d≠0时,(1)还可写成: a/(a b)=c/c d 把(1)、(2)推广到不等式中,可得定理若a/b≥c/d,则 (a b)/b≥c d/d,(*) 若a/b≥c/d>0,则 a/(a b)≥c/(c d).(**) 证:∵a/b≥c/d, ∴a/b 1≥c/d 1, ∴(a b)/b≥(c d)/d。∵a/b≥c/d>0 ∴0相似文献   

一个定理及其应用

定理:a(x)、b(x)、p(x)都是x的函数,且a(x)、b(x)的值皆大于零,那么有: <1> 若a(x)·b(x)=d(常数),且当a(x)=b(x)时,p(x)有最小值c,则函数y=a(x)+b(x)+p(x)有最小值2√d+c。 <2> 若a(x)+b(x)=e(常数),且当a(x)=b(x)时,p(x)有最大值f,则函数y=a(x)·     

一道广东高考题的解法探析

题目设函数f(x)=|1-1/x|,x＞0,(Ⅰ)证明:当0＜a＜b,且f(a)=f(b)时,ab＞1;(Ⅱ)点P(x0,y0)(0＜x0＜1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表示).     

“同余”在中学数学解题中的应用赏析

正若整数a和b除以m所得的余数相同,则称a和b对模m同余,记作a≡b(mod m).其主要基本性质有(仅罗列服务于文中例子的几个性质)设a,b,c,d,m1,m 2是整数,且m,m1,m20,则(1)若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(mod m);(2)若a≡b(mod m),c≡d(modm),则a+c≡b+d(mod m);(3)若a≡b(modm),c≡d(modm),则ac≡bd     

纯循环小数循环节的规律

纯循环小数循环节的规律是a/b(a,b是自然数,a＜b,(a,b)=1)能表示成纯循环小数的充要条件是(b,10)=1,且对满足上述条件的任意小于b的自然数a,a/b化成小数时循环节节长都是相同的.进一步得到了对任意自然数b((b,10)=1),a/b化成小数时节长的长度规律.     

Graham猜测的一点注记

Graham曾猜测：有无穷多个正整数n适合同余式2n＝k（modn）其中k≠1为任意给定的整数，本文证明了当k＝±2m，k≠1，m为正整数时Graham猜测成立，同时我们得到了同余式a(kn-b)≡－C(kn-b)（modn）的一些结果，并提出如下猜想：对任意给定的正整数a，c，（a，c）＝1均存在无穷多个正整数n适合同余式．an-2≡-cn-（modn）     

一个重要结论及其应用

结论函数f(x)=daxc b(不妨设a>0),若b2=amd2(m∈R),则f(x) f(m-x)=bc.(※)证明f(x) f(m-x)=cdax b dam-cx b=(d2[adm( a bm-2)x badx)(a x2 b]acm-x)=d(am-x ax 2db)cbd(ax am-x d2abmd b2)因为b2=amd2,所以d2abmd b2=2db,所以f(x) f(m-x)=bc.特例(1)若d=1,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=ax c b(a>0),若b2=am,则f(x) f(m-x)=bc.(2)若m=0,b2=1,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=axc b(a>0),若b2=1,则f(x) f(-x)=bc.(3)若c=1,d=1时,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=ax1 b(a>0),若b2=am,则f(x) f(m-x)=1b.应用(函数的以上性质可应…     

续谈正项等差数列的不等式

文 [1 ]研究了正项等差数列不等式 ,本文继续研究这个问题 .为了方便起见 ,本文约定{ an}是公差为 d的正项等差数列 ,d,m,n,p,l为正整数 ,且 man (i 1 ) man im ,i∈N.因为对于正数 a,b,m,a b ma m,易证引理成立 .定理 1　 (1 ma1 ) (1 ma2 )… (1 man)≥(an 1 an 2 … an ma1 a2 … am) 1 d.(当且仅当 d=1时等号成立 )证明　设不等式的左端为 M.若 d=1 ,则因 1 mai=ai m· 1ai=ai mai,故M=a1 ma1· a2 ma2… an man=am 1 am 2 … am (n- m) · an 1 … an ma1 a2…     

关于一次剩余表的性貭与应用

本文目的在于介绍一次剩余表的性质以及对于解一次同余式,求最大公约数、求模m的简化剩余系和判定数m是質数与否等应用。 (一)一次剩余表的定义与性质引理同余式αx≡6(mod m),α(?)o(mod m) (1) 当而且仅当b能被d=(α,m)除尽时有解,而在有解时恰有d个解;且若x≡x_。(mod m)是它一个解,则x≡x_。+k m/d(mod m),h=0,1,2,……d-1就是它的d个解。此引理可在普通的初等数论书中找到,在此证明从略。     

错在哪里?

题目 已知函数f(x)=[lgx],若0＜a＜b,且f(a)=f(b),求a+2b的取值范围. 错解 由f(a)=f(b),,且0＜a＜b,得ab=1. 所以a+2b≥2√2ab=2√2,但是因为0＜a＜b,所以0＜a＜2b,故等号不成立, 因此a+2b＞ 2√2,即a+2b的取值范围为(2√2,+∞). 解答错了!错在哪里?     

圆锥曲线轨迹探求方法

例差数列;(3)若C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时,求Sn的最小值.解(1)∵P1(3,0),则a1=OP12=9.又S3=3a1+3d=162,则d=45,a3=a1+2d=99=OP32.令P3(m,n),则有m29-n2=1,m2+n2=99.解得m2=90,n2=9,即mn==±±33姨10,.∴符合条件的一个P3的坐标为(3姨10,3).(2)已知数列a n成等差数列,当n≥2时,an-an-1=OPn2-OPn-12=(xn2+yn2)-(xn-12+yn-12)=(xn2-xn-12)+(yn2-yn-12)=xn2-xn-12+2p(xn-xn-1)=d.∴n≥2时,(xn+p)2-(xn-1+p)2=xn2-xn-12+2p(xn-xn-1)=d.∴数列{(xn+p)2}为等差数列.例1已知F1,F2是椭圆x2a2+y2…     

2019年全国高中数学联赛加试第三题的改进

原题设m为整数,|m|≥2.整数列a1,a2,…满足a1、a2不全为零,且对于任意正整数n,均有an+2=an+1-man.证明:若存在整数r、s(r>s≥2)使得ar=as=a1,则r-s≥|m|.[分析]不妨设a1与a2互素(否则,若(a1,a2)=d>1,则(a1/d,a2/d)=1,且用a1/d,a2/d,…代替a1,a2,…,条件与结论均不改变).     

错在哪里——应用等比性质的错误分析

等比性质:若a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0) ,则(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b·这个性质在许多方面应用起来是很方便的,但必须注意成立的条件;b+d+…+n≠0·若各个比的后项之和b+d+…+n=O,则分式(a+c+…+m)/(b+d+…+n)没有意义·解题时,忽视这一点就会产生错误.     

“正”者无敌乎?必击破之!———对“正函数”的一点思考

一、学生的困惑 学生在课间向笔者提出这样一个问题: 若函数f(x)为定义域D上的单调函数,且存在区间[a,b](∈)D(其中a＜b),使得当x∈[a,b]时,f(x)的值域恰为[a,b],则称函数f(x)是D上的正函数,区间[a,b]叫做和谐区间.如果函数g(x)=x2+m是(-∞,0)上的正函数,则实数m的取值范围是_____.     

完全平方数的一些判定方法

判定某一整数是不是完全平方数的问题,在数学竞赛中常有所见.对这一问题,本文将通过典型例题,介绍几种最常用的方法. 在解题过程中,我们将随时使用下列各性质: 1°(a,b)=(a-bq,b),q∈Z. 2°若(a,b)=d,a=da_1,b=db_1,则(a_1,b_1)=1. 3°若(a_1,b_1)=1,q=1,2,3,…,m,P=1,2,…,n,则(a_1a_2…a_m,b_1b_2…b_n)=1.特别地,若(a,b)=1,则(a~m,b~n)=1. 4°若(a,b)=1,a|bc,则a|c. 5°若(a,b)=1,a|c,b|c,则ab|c. 6°大于1的整数a可唯一地表成:     

再谈一道竞赛题的解法与推广

贵刊2000年第8期刊登了一篇文章《从一道竞赛题谈起》,原文对1999年12月第十四届江苏省初中数学竞赛的一道试题列举了五种解法,并进行初步的推广.笔者认为该题还有一种新的求解途径,并可以进行更一般性的推广.题目　已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且(a c)(a d)=1,(b c)(b d)=1,那么(a c)(b c)的值是.解　作函数f(x)=(x c)(x d)-(x-a)(x-b)-1,1其次数低于2.由f(a)=f(b)=0且a≠b可知　　　　f(x)≡0.2从而　　f(-c)=0.即　　　(a c)(b c)=-1.评注1　将构造的函数1展开,有f(x)=(a b c d)x (cd-ab-1),根据恒等式2有a b c d=0,cd-ab=1.　　　　…     

题设条件a b c=p的隐含关系及应用

命题若a,b,c,p∈R,a b c=p,则存在k∈R,使b=-(k 1)a,c=ka p。而且也存在k’∈ R,使c=-(k’ 1)a,b=k’a p。证明由a b c=p得a b (c-p)=0,以a、b、(c-p)为二次项、一次项的系数和常数项,作一元二次方程 ax~2 bx (c-p)=0(假定a≠0),显然方程有根为1,(因为a b (c-p)=0),若另一根为k,(k∈R)由根与系数的关系得-b/a=k 1,即 b=-(k 1)a,(c-p)/a=1·k,得c=ka p。再作二次方程ax~2 cx (b-p)=0,其一根为1 ,若另一根为k’,则有     

两个周期数列的通项公式

本文利用复数探讨周期数列 a,b,c,a,b,c,…,(1) a,b,c,d,a,b,c,d… (2)的通项公式a_n=f(n)(n∈N)。记1的三次根为1,ω,ω~2(这里).构造N上的函数选择常数K,l,m,使f(1)=a,f(2)=b,f(3)=c.由ω的性质ω~3=1,ω~2 ω 1=0.不难求出     

不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的证法及推广

现行教材中三元基本不等式 :“若 a,b,c∈R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,当且仅当 a =b =c时 ,等式成立 .”是用因式分解方法证明 ,但分解需要一定技巧 .笔者在教学中了解 ,学生除了欣赏很难掌握 .笔者从学生已有的知识出发 ,通过证明一般的情况 ,导出三元基本不等式的证明 .要证上述“若 a,b,c∈ R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,不等式成立 .”学生已有的知识是 :若 a∈ R+ ,a≥ a成立 ,(a∈ R也成立 )若 a,b∈ R+ ,a2 + b2 =2 ab成立 ,当且仅当 a =b时 ,等式成立 .(a,b∈ R也成立 ) ,自然联想 :a,b,c,d∈ R+ ,a4 + b4 + c4 +d4≥ 4abcd是否成…     

一次同余式的另一解法

关于一次同余式ax≡b(modm)解法,在“初等数论”的书中,一般都转化为解二元一次不定方程ax+my=b.本文将类比一元一次方程的解法,介绍一次同余式的另一解法.对于同余式的概念和同余式的性质,设想读者已知,这里不再赘述.定义1 设a,b是整数,且m不能整除a,形如ax≡b(modm)的式子称为模m的一次同余式.如果整数c使ac≡b(modm)成立,称x≡c(modm)为一次同余式ax≡b(modm)的一个解.求出所有的适合一次同余式ax≡b(modm)的x的值,称为解一次同余式.