饮马问题

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走     

饮马问题的拓展与应用

1.走进数学故事 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头2句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点A出发，走到河边饮马后再到点B宿营请问怎样走才能使总路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传开来^[1]。对称性在初等数学到高等数学中都有着广泛的应用，利用对称性求最值的问题伴随着学生从小学到大学的数学学习过程。在恰当的时机引领学生对对称性问题进行合理地探索，显得迫切而必要。     

探究数学题中的“将军饮马”问题

相信大家都有听过:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。"这两句话是来自诗人李颀的唐诗《古从军行》的开头前两句。其实在这首诗中,它又隐含着一个非常重要的初中数学问题,那就是轴对称的应用。     

“将军饮马”问题的求解策略

<正>“将军饮马”是初中数学中最为常见的最值问题求解模型,掌握“将军饮马”模型,并对该模型的具体应用做分析,有利于提高同学们的思考问题方式和解决问题的能力.一、“将军饮马”问题阐述在人教版数学八年级上册(P85页),13.4课题学习介绍了最短路径问题,这就是我们俗称的“将军饮马”问题,就这个问题的基本描述来看,牧马人在A点,最后回到B点,牧马人要去河边饮马,如何选择C点使CA+CB的值最小?     

利用轴对称确定最短路线

数学源于生活，并应用于生活．相传，海伦是古希腊亚历山大里亚城精通数学、物理的学者．一天，一位将军向他请教一个问题：从图1中的A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦稍加思索，便回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马”问题，海伦是如何解决将军的问题的呢？     

求解一道“将军饮马”模型问题的三种方法

“将军饮马”是初中数学问题中的一个经典模型,其思想和解决方法也蕴含在诸多的题目中.在两点之间线段最短的定理基础上,如何去求解不是直线的两条线段长度之和的最小值,是此类问题的研究重点.本文探讨一道“将军饮马”模型的典型例题的三种方法,以供参考.     

将军饮马基本模型及其应用

<正>将军饮马问题是每年各地中考的热点之一,其基本模型特点是两定点一动点,动点在直线上运动.本文对利用将军饮马基本模型解决问题的策略进行探究,与大家分享.一、将军饮马基本模型如图1,直线l和l的同侧两点A,B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小.二、模型应用1.线段转移例1 (2019年成都中考题)如图2,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°.将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′,分别连结A′C     

思想深刻 感情沉痛——《古从军行》赏析

古从军行李颀白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。行人刁斗风沙暗,公主琵琶幽怨多。野云万里无城郭,雨雪纷纷过大漠。胡雁哀鸣夜夜飞,胡儿眼泪双双落。闻道玉门犹被遮,应将性命逐轻车。年年战骨埋荒外,空见蒲桃入汉家。李颀,盛唐诗人。其诗以五言古诗及七言歌行见长,很有特色,流畅奔放,韵味温厚。《古从军行》是他的代表作品。     

变的是形式 不变的是本质——例谈一类几何最值问题

<正>几何最值问题属于中考题中的热点问题、难点问题,近年一些另类的几何最值问题又出现在中考中,笔者在研究这些所谓的另类几何最值问题时发现其实它们本质是不变的,变的只是形式.下面结合一些具体例子谈谈这一类几何最值问题以及两点思考,恳请同仁指正.1将军饮马问题"将军饮马"问题属于最基本的几何最值问题,有两种最基本形式,A、B两点在直线的异侧(如图1),或     

波澜不惊 力透纸背——李颀《古从军行》赏析

古从军行李颀白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。行人刁斗风沙暗,公主琵琶幽怨多。野云万里无城郭,雨雪纷纷连大漠。胡雁哀鸣夜夜飞,胡儿眼泪双双落。闻道玉门犹被遮,应将性命逐轻车。年年战骨埋荒外,空见蒲桃入汉家。在唐代众多的边塞诗中,李颀的诗以慷慨、苍凉、多气见长,《古从军行》是他的代表作。此诗"以汉代唐",暗讽帝王好大喜功,穷兵黩武,却不顾惜兵士的生命。     

将军饮马问题与中考题

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访海伦,向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天骑马从城堡A出发,到城堡B,途中马要到小溪边饮水一次.问怎样走路程最短? 这就是广为流传的将军饮马问题.海伦略作思考,利用作对称点的方法解决了这个问题. 我们把将军饮马问题抽象成一个几何模型: 条件:如图1,A,B是直线同旁的两个定点. 问题:在直线l上确定一点P,使PA+ PB的值最小.     

“将军饮马”妙用两例

相传 ,古希腊亚历山大里亚城有一位精通数学和物理的学者 ,名叫海伦 .有一天一位将军专程拜访海伦 ,求教一个百思不得其解的问题 :如图 1所示 ,从A地出发到笔直的河岸去饮马 ,然后再去B地 ,走哪一条路线最短呢 ?这个问题后来就被称为平面几何中的“将军饮马”问题 .图 1当时海伦稍加思索便圆满地解答了这个问题 :图 2如图 2所示 ,设A点关于河岸的对称点为A′ ,连接A′B与河岸交于M点 ,则从A点到M点去饮马 ,再从M点到B点去 ,走的路线最短 .这是因为对于河岸上任何异于M点的M点都有AN NB =A′N NB >A′B =A′M MB =AM MB .据…     

“将军饮马”问题的应用及拓展

<正>我们知道,典型的"将军饮马"问题属"一动两定"型问题,其本质是将同侧两折线段之和通过轴对称化为异侧两折线段之和.而其拓展、延伸与变式问题,往往需要通过辅助线转化为"将军饮马"问题,最后,利用"两点之间线段最短"或"点到直线垂线段最短"基本原理解决.本文主要探究"一定两动"型和"两定两动"型最值问题的解题策略,供参考.     

从解析几何角度看一类距离问题

从将军饮马问题出发,以解析几何的视角讨论了定直线上一动点到直线外两定点的距离之和、差、比、积问题,给出了具体的计算思路与过程.     

平面内的距离最值问题--谈“将军饮马问题”的应用及推广

经典的数学问题模型———“将军饮马问题”中的对称思想,解决一类最小值问题,在近几年的中考和竞赛中经常出现,而且大多以压轴题的形式出现。由于学生的建模能力不强,这类问题成为很多学生的“障碍”。笔者通过建模思想把这类问题化归为“将军饮马问题”和“将军饮马问题的推广”,利用或构造对称图形解决求两条线段和、三角形周长、四边形周长等一类最小值问题。针对这个问题,笔者特意设计了平面内的距离最值问题的专题课学习。     

求解线段最值问题的常用方法

<正>求线段的最值问题经常出现在各地中考试卷中.解决这类问题的关键是要结合题意,借助相关的概念、图形的性质,将最值问题转化为相应的数学模型.如,函数增减性、线段公理、垂线段定理、三角形三边关系等进行分析与突破.现对这类问题作一个归类整理.一、利用"将军饮马"数学模型,求线段和的最小值或差的最大值"将军饮马"模型为:在一条定直线上求一点,使得该点到这条直线同侧的两个定点的距离之和最小.其实质是根据"两点之间线     

动点在曲线上的最值问题

初中数学中,由“将军饮马”问题派生的最值问题一屡见不鲜,但此类题中的动点多数在直线上运动,若将动点设置在有规则的曲线上,又该如何转化呢？鉴于此,笔者作了初步尝试,抛砖引玉,期待更多数学爱好者的参与．     

渗透模型思想 优化数学课堂

初中数学教学中渗透模型思想,可使学生更好地把握、深入地理解数学知识本质,尤其用于解答数学习题中,可提升解题效率.通过展示二次函数模型、将军饮马模型、阿氏圆模型、胡不归模型、费马点模型在解题中的应用,以供参考.     

趣谈将军饮马问题

海伦(Hemn)，古希腊数学家、物理学家、天学家，他曾巧妙地运用轴对称知识解答过一位希腊将军向他请教的“饮马问题”．     

"一类图形的最值问题"教学实录与反思

最值问题是近几年中考命题中的热点问题,也是压轴题常见的问题.本文从"将军饮马"问题出发,结合"垂线段最短""两点之间,线段最短",根据图形自身性质解决"最值问题".