Lebesgue积分的新定义

对于可测集ERn上的非负可测函数f,证明了f的下方图形G（f,E）是Rn＋1中的Lebesgue可测集;进而,定义f的Lebesgue积分为G（f,E）的Lebesgue测度mG（f,E）;对于E上的一般可测函数f,定义其在E上的Lebesgue积分为mG（f＋,E）-mG（f-,E）,只要它们之一有限。利用测度的性质,证明了这种新的定义与传统定义是等价的。这种新定义使得Lebesgue积分具有非常明显的几何意义,且使得Levi渐升列定理及关于积分域的可数可加性定理等重要结论都成为测度与极限换序定理的简单推论。     

Egorov定理在Lebesgue不可测集上的推广

本文将实变函数论中著名的Egorov定理推广到外测度连续的σ—代数上,进而证明了Egorov定理在Lebesgue不可测集上对Lebegue外测度仍然有效。     

关于R可积函数空间的完备化

完备性是度量空间中的一个重要性质,本文运用了实变函数中点集分析的方法及其相关定义和定理讨论了Riemann积分与Lebesgue积分的本质区别在于:R[a,b]作为L[a,b]的子空间是不完备的,而L[a,b]是完备的,并证明了R[a,b]在L[a,b]中稠密,最后得到了L[a,b]是R[a,b]的完备化空间.     

Lebesgue控制收敛定理的证明及应用

通过引入Lebesgue积分与Riemann积分的关系,仔细比较两个积分的优越性,进而详细地阐述了Lebesgue控制收敛定理的证明及其应用.首先给出了Lebesgue控制收敛定理并对其进行证明,其次再举例说明其基本的应用,最后,指出该定理的不足之处并给出条件稍宽松的定理,从而可为解题带来便利,为理解并掌握Lebesgue控制收敛定理及应用提供指导.     

集值函数的收敛定理

利用单调集函数的零集伪连续和伪零集连续这两个性质,给出了单调测度空间上闭集值可测函数序列的两种类型的Lebesgue定理,进一步推广了相关结果。     

浅析集合分析法在实变函数中的应用

集合分析法是使用集合运算的语言来描述函数列在可测集上的极限过程,是实变函数的主要分析方法之一,在叶果洛夫定理、黎斯定理、Lebesgue控制收敛定理等这些定理的证明中常常用到,通过三道典型的题目探讨该方法在实变函数中的应用.     

L~p(Ω,X)中可分解集的性质

研究了函数空间Lp(Ω,X)(1≤p≤∞)中可分解集的性质,得出了当1≤p≤∞时含有内点的可分解集在Lp(Ω,X)中稠密;并给出了类似于凸集的Mazur定理的关于可分解集的收敛定理。     

Lebesgue控制收敛定理及应用

讨论并证明了Lebesgue控制收敛定理,该定理体现了在Lebesgue积分意义下积分与极限交换顺序的条件比Riemann积分弱,给解决一些难题带来了便利。     

Riemann积分与Lebesgue积分的比较

从Riemann积分与Lebesgue积分的定义、性质、积分与极限交换次序及微积分基本定理等方面进行比较,并给出Lebesgue积分下的积分中值定理及证明,讨论了Lebesgue积分和Riemann积分二者之间的关系。最后,通过二者在广义积分方面的比较,说明Lebesgue积分在广义积分方面并不是Riemann积分的推广。     

实分析三大定理的等价性

Levi定理、Fatou定理及Lebesgue控制收敛定理是实分析中的三大定理。本文拟证明,这三个定理是等价的。     

R~1上lindelf定理的一个推广

在实变函数或点集拓朴中,我们有实直线R~1上的lindel(?)f定理(见参考书[1]、P.27)表述如下:定理一:设E是R~1上的任一点集,μ={(a,b);α∈J}是一族开区间.若它覆盖E,则可从μ中选出可数多个区间(ax_k,bx_k);k=1,2,3,……它们也能覆盖E.在这定理中,μ可改为一个一般的开集族,根据R~1上的开集构造定理,μ为开区间族与μ为开集族对上述定理结论所起的作用是等价的.本文是想说明定理一中关于μ的条件可作一定的减弱,而仍获得原来的结论,即证明下面的定理.     

傅里叶级数构造的装饰图案分析

在非线性动力系统的计算机可视化研究中,参考Clifford A.Reiter构造"平面结晶体群"的方法,提出截断傅里叶级数构造的平面对称动力系统.分析傅里叶级数的迭代映射的特点,以矩阵乘积的运算形式为工具,构造出非线性函数的截断傅里叶级数对应的平面动力系统.构造出3族截断傅里叶级数的平面对称动力系统,运用蒙特卡罗搜索法选定参数向量,通过李雅普诺夫指数确定动力系统的动力学特性,绘制出3族迭代映射对应动力系统的周期窗口内的混沌图案.提出了一个构造正方形格子平面排列的对称动力系统的方法,采用本文提出的方法可以大量构造正方形平面排列的混沌图案,从而为建筑装饰图案提供了大量的结构新颖、独特别致的素材.     

关于Lebesgue积分的中值定理

给出了一个引理的六种证法与Lebesgue积分中值定理及其推广定理。     

用Lebesgue方法证明单元函数的一致连续性定理

有限闭区间上的连续函数,其基本定理中的介值定理、有界性定理和一致连续性定理,在多数教材中,常采用反证法或Borel有限覆盖定理加以证明。M·Spivak在其教材中,用Lebesgue方法证明了介值定理和有界性定理。本文说明:运用Lebesgue方法可以证明一致连续性定理。定理设f(x)在有限闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上一致连续。证明任意给定ε>0,作集合     

连续参数的L积分极限定理

将Lebesgue积分的三大极限定理从函数列情形推广到连续参数情形．并由此证明了含参量Lebesgue积分的连续性与可微性。     

广义Loeb测度的Lebesgue分解

本文讨论了广义Loeb测度的Lebesgue分解,首先讨论了广义Loeb测度的绝对连续性和奇异性的相关性质,进而利用这些相关性质并借鉴Lebesgue分解定理对广义Loeb测度进行了Lebesgue分解,然后给出重要结论:L(V)=L(Vα)+L(Vs).     

Levi定理的一个新证法

Levi定理在Lebesgue积分的讨中起到了十分重要的作用，试图给出Levi定理的一个新证法，进而改进[1]中有关定理的讨论。     

一类隐预解动力系统问题

本文引入了H ilbert空间中一类广义集值变分包含问题,利用这类广义集值拟变分包含问题与预解方程及不动点问题间的等价性,建立了与这类广义集值拟变分包含问题有关的隐预解动力系统,给出了H ilbert空间中这类广义集值拟变分包含隐预解动力系统的解的存在性和收敛性定理,并指出了这类隐预解动力系统的解的轨道整体、指数地收敛于H ilbert空间中广义集值拟变分包含问题的唯一解.这些结果改进、推广和统一了文[1-8]的相应结果.     

关于有界收敛定理的一个注记

有界收敛定理是实变函数论中的一个重要定理,在很多实变函数论教材中,它常作为Lebesgue控制收敛定理的推论出现.我们利用叶果洛夫定理给出有界收敛定理的一个新的证明,并对有界收敛定理的条件进行了讨论.     

关于Lebesgue积分中的极限定理

本文首先给出了控制收敛定理的一个完全独立和更为直接的证明,同时提供了积分与极限可交换次序的一个充要条件,然后利用控制收敛定理来证明Levi渐升列定理,最后还讨论了Levi定理、Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理之间的等价关系。