一道习题的证明引申及应用

很多教辅资料上都有这样一道习题: 在锐角△ABC中,求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 这是一道很平常的题,证法如下:因为△ABC为锐角三角形,所以tanA,tanB,tanC,tan(A+B)都有意义.又因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=-tanC,所以tanA+tanB+tanC     

与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用

下面介绍与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用.一、三角形的正切恒等式在非直角三角形ABC中,存在这样的正切恒等式:tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.我们有以下结论:定理1设x、y、z为正数,满足:x+y+z=xyz,则必存在锐角三角形ABC,使x=tanA,y=tanB,z=tanC.证:因x、y为正数,故有锐角A、B,使     

例析三角形中的三角函数

一、求值例1 在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x- 1=0的两根,求tanC的值. 解由韦达定理得∵A+B+C=180°∴C=180°-(A+B). ∴tanC=tan[180°-(A+B)]=-tan(A+B)=-(-2)=2. 例2 已知△ABC的三个内角满足:2B=A+C,     

一个有用的三角结论

在解三角形时,同学们常对三角形有一解还是有两解感到为难,如果用到下面的结论就比较容易解决．本文就此列举几例,来帮助同学们更好地解三角形问题．结论:在△ABC中,给定A、B的正弦值或余弦值,则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA+cosB>0．     

对一道习题的探究

题目在斜三角形ABC中,求证tanA tanB tanC=tanAtanB·tanC.分析:将待证式与两角和的正切公式比较,发现都含有正切的和与积,因此可考虑运用两角和的正切公式.证明:在斜三角形ABC中,A B C=π,即A B=π-C,且A、B、A B都不等于2π,     

三角形面积公式的一种新的证明

本文利用一个三角恒等式证明三角形的面积公式b,c为△ABC的三边长,p=1/2(a+b+c)是半周长,S是面积. 证明:如图1,⊙I是△ABC的内切圆,半径为r.在Rt△IFA中.tan A/2=IF/FA=r/(p-a)同理tanC/2=r/(p-b), tanC/2=r/(p-c). 证明中要用到三角恒等式tanA/2·tanB/2     

模尔外得公式的应用

任意三角形两边的和(或差)与第三边的比,等于这两边所对角的差(或和)的一半的余弦(或正弦)与第三边所对角的一半的正弦(或余弦)的比。如△ABC的三条边分别是a,b,c,A、B、C是它们的对角。则有 a+b/c=cosA-B/2/sinC/2; a-b/c=sinA-B/2/cosC/2;……这一组公式叫做模尔外得公式,在解三角形中,常用它们进行验算,这也是模氏公式的一个主要用途。模氏公式还可以用来解三角形,判断三角形的形状,证明边角关系,求极值,证几何想,解综合     

“三角形正切、余切公式”的应用

在△ ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,S是△ ABC的面积 ,由半角公式tan α2 =1 - cosαsinα 及余弦定理易得一组正切公式 :tan A2 =a2 - ( b- c) 24 S ,tan B2 =b2 - ( c- a) 24 S ,tan C2 =c2 - ( a- b) 24 S .由余弦定理可得一组余切公式 :cot A=b2 + c2 - a24 S ,cot B=c2 + a2 - b24 S ,cot C=a2 + b2 - c24 S .这两组公式结构对称 ,易于记忆 ,作用类似于正弦定理、余弦定理 ,用于解一些三角题可达到事半功倍的效果 .本文精选几例 ,以飨读者 .例 1　设 a,b,c是三角形的三条边 ,α,β,γ是这三条边的对角 ,如果 a2 + b2 …     

2010年江苏卷三角填空题的简解

题目 在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b/a+a/b=6cosC,则tanC/tanA+tanC/tanB的值是__.     

一道高考题的解法研究(高二、高三)

题在△月汪弓C中，若匕A一1200，AB一5， BC~7，则△乃BC的面积S一 (05年上海高考题) 正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工 具，本题我们分别用正弦定理与余弦定理解之. 所以 14派.二._、 b一一一不下一.sin弋八十七) j 用正弦定理解 在△ABC中，由正弦定理得 B狄 A‘esr自C     

三角代换,巧证代数不等式

正姜坤崇老师文[1]中结合具体实例指出,用代换x=bαcα,y=cαaα.z=aαbα可以有效地证明一类条件为x+y+z=1的代数不等式.笔者读后深受启发,反思后发现该代换其实与三角代换x=tanB/2tan C/2,y=tanC/2 tan A/2,z=     

关于三角形的一个正切公式及其应用

在三角形中刻画边角关系最重要的定理是正弦定理和余弦定理.但在近几年高考数学试题中经常出现三角形中角的正切问题.为此我们向读者介绍下面的一个正切公式:定理设非直角△ABC的三个内角A、B、C所对的边为a、b、c,S为其面积,则有:tanA=b2+4c2S-a2;tanB=a2+4cS2-b2;tanC=a2+4bS2-c2.证明由余弦定理cosA=b2+2cb2c-a2及面积公式S=12bcsinA得:tanA=csionsAA=b22+bccsi2n-Aa2=b2+4c2S-a2.同理可证其它两式.这个公式刻画了三角形(非直角三角形)的三个角正切值与其面积、三边的关系.在解有关三角形正切问题中有着很广泛的应用.现举几例予以说明.例1(2005年天津卷理17题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和bc=21+3,求∠A和tanB.解由余弦定理得:cosA=b2+2cb2c-a2=bc2bc=21.故∠A=3π.由正切公式得:tanB=a2+4cS2-b2=4×21bcsin3πa2+c2-b2=2c23-bcbc=2c3-bb=2.bc3-1=3...     

正弦定理和余弦定理

(参考译文) 正弦定理在任何三角形中,边和对角的正弦成正比: a bc 5 in A sin B sinC' 证明:令A、B和C是任意三角形的内角,并令a、b和。为它们的对边.我们考察两种三角形     

“三十六计”与解题策略（三）——无中生有

高中数学课文内容的驾驭是有难度的,这个难度就是对课文内容的驯服过程,只有在平时学习时能将课文内容加以驯服,才能顺畅地获取解释课文的自由王国的入场卷.这个驯服过程就必须对你手中特定的、权威的用来参加高考的基础蓝本知识内容的“事必躬亲”、“拓宽外延”.畅通无阻的入场卷对课文内容驾驭程度是高考能力分水岭,所以对课文驾驭程度就是不同含金量的入场卷,但有一点这张卷是你自己制造出来的.11拓展知识点进入新领域在数学一册(下)416两角和与差正弦、余弦、正切中有tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα·tanβ很容易拓展出tan(α+β+γ)=t…     

余弦乐释“余怨”

<正>话说有一天,余弦发起了牢骚:我是余弦,我不满,很是不满.本来三角函数家族里,我们正弦、余弦和正切是一脉同胞——都源自角α终边上一点的坐标x(,y)的比值sinα=y/r,cosα=x/r,tanα=y/x(其中r=(x²+y2+y²)(1/2))——地位相同,各有特色,互补共进,各司其职.然而在一个数学老师手里,我却完全被埋没了,这个数学老师专宠正弦,将我余弦抛诸脑后,还告诫学生,只要掌握了正弦和正弦函     

一道习题结论的巧用

<正>人教版高中数学(必修)第一册(下)P42习题15给出了这样一个结论:若A+B+C=kπ(k∈Z).则tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC恒成立.巧妙运用     

正弦定理和余弦定理

正弦定理在任何三角形中,边和对角的正弦成正比： a/sin A=b/sin B=c sin C. 证明：令A、B和C是任意三角形的内角,并令a、b和c为它们的对边．我们考察两种三角形,一种是所有角都为锐角的三角形（图1（a））,另一种是有一个角为钝角的三角形,这里这个角为角A（图1（b））．     

也谈运用余弦定理解三角形的一类错误认识

<正>本刊2014年第11期发表了施元兰老师的文章"运用余弦定理解三角形的一类错误认识",^[1]施老师对文中例3:在△ABC中,已知a=6,b=5,A=2B,则c的值是_.给出了以下的解法1和解法2.解法1:由正弦定理可求得cos B=3/5,然后求出sin B=4/5,sin A=2sin Bcos B=24/25,cos A=2cos[1]施老师对文中例3:在△ABC中,已知a=6,b=5,A=2B,则c的值是_.给出了以下的解法1和解法2.解法1:由正弦定理可求得cos B=3/5,然后求出sin B=4/5,sin A=2sin Bcos B=24/25,cos A=2cos²B-1=-7/25,所以sin C=sin(A+B),sin Acos B+cos Asin B=44/125,再由正弦定     

以三角函数为根的一类题的解法

中考数学试题中常出现已知一直角三角形,两锐角的三角函数值是一个方程的两个根,求方程中字母系数的值或取值范围这类问题.本文就谈一谈这类题的解法. 例 已知一元二次方程（m2+1）x2-2（m+1）x+m=0的两个实数根是一个直角三角形两锐角的正弦.求m的值和三角形的两个锐角, 分析:首先应注意到一个直角三角形的两个锐角正弦值分别为sin A和sin B且∠A+∠B=90°,sin B=cos　A和sinz2A+cos2A=1这一隐含条件;其次是必须满足以下条件: 1.方程的二次项系数不等于零,即m2+1≠0;     

锐角三角函数的计算

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则sinA=a/c叫做∠A的正弦,cosA=b/c叫做∠A的余弦,tanA=a/b叫做∠A的正切。∠A的正弦、余弦、正切都叫做锐角A的三角函数。一个锐角的三角函数是用直角三角形的边的比值来定义的,当一个锐角的大小确定后,它的三角函数值就确定了,不管这个锐角是单独的一个角,还是在某个三角形中。因此,在求一个锐角的三角函数值时,若是特殊角,我们就用特殊角