活用a^2＋b^2≥2ab的变式证明一类不等式

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１　已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥…     

谈一道课本习题的教学价值

１问题提出高级中学课本《代数》下册（必修）第３２页的习题９是：已知ａ＞ｂ＞ｃ，求证：１／ａ－ｂ＋１／ｂ－ｃ＋１／ｃ－ａ＞０。     

例评合理引参解题之功效

高考数学试题中渗透参数思想,是注重考查学生能力的一个标志,这一思想方法不仅在中学数学中经常应用,而且对研究和解决问题具有普遍意义．本文着重探讨一下合理引参处理问题的优越性．１　优化解题过程合理地引入参数,往往可以优化解题过程、减少运算量．例１　设｜ａ｜＜１,｜ｂ｜＜１,｜ｃ｜＜１,求证：ａ＋ｂ＋ｃ＋ａｂｃ１＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＜１．证明　令ｘ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ａｂｃ１＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,则原不等式等价于｜ｘ｜＜１－１＜ｘ＜１（ｘ＋１）（ｘ－１）＜０．∵　ｘ＋１＝（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）１＋ａ…     

巧用判别式和二次函数性质解题

文献（１）着重于解决不等式问题,笔者研读后深受启发。一元二次方程ａｘ２十ｂｘ十ｃ＝０的根有下列判断条件：（１）方程有实根,＝ｂ２－４ａｃ　０;（２）方程无实根＝ｂ２-４ａｃ＜０。二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２十ｂｘ＋ｃ（ａ　０）有下列几条性质：性质１若ａ＞?..     

《因式分解》自测题

一、填空题（每空２分，共２０分）１．ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘ．２．ｂｃ－ａｃ＋ａＢ－ａ２＝（ｃ＋ａ）（）．３．若１２ｘ２－８ｘ－７＝（２ｘ＋１）（６ｘ＋ｍ），则ｍ＝．４．已知ａ＝３．ｂ＝２。则ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２－ａ＝５．２７－８ａ３＝（３－２ａ）（）．６．１６ｘ＋　　１／４＝（４ｘ＋．）７．ｘ２－ｙ２－２ｙ－１＝（）．８．分解因式：ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ＋１）（）．二、选择题（每题３分，共２４分）１．若二次三项式ｘ２＋ａｘ—１可分解为（ｘ—２）（ｘ＋ｂ），则ａ＋ｂ的值为（）（Ａ）－１；…     

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性□李玉钊（河南信阳地区教育学院４６４０００）众所周知，对于一个数字系数的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），欲求其解，可通过著名的求根公式ｘ１＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ｎ，ｘ２＝－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ（...     

对课本上一道习题的修正

对课本上一道习题的修正甘肃省商业学校唐文玲高中《代数》（必修）下册复习参考题六第７题为：已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ成等比数列，求证：（１）ａ＋ｂ，ｂ＋ｃ，ｃ＋ｄ成等比数列；（２）（ａ－ｂ）２＝（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２＋（ｄ－ｂ）２．结论（１）是不对的，因为...     

关于三个几何不等式

关于三个几何不等式江西省永修县第一中学宋庆§１Ｇｕｂａ不等式的推广１９６９年，Ｓ．Ｇ．Ｇｕｂａ建立了如下不等式（［１］中述而未证）：若ａ、ｂ、ｃ、ｓ分别为三角形的三边长及半周长，则ａ－ｂｓ－ｂ＋ｂ－ｃｓ－ｃ＋ｃ－ａｓ－ａ≤０．①推广之，笔者得到定理１...     

初二(下)几何试题

一、填空（每小题３分，共３９分） １．等腰梯形的周长为３０ｃｍ，腰长为７ｃｍ，则中位线长＝＿ｃｍ。 ２．如图（１），ｌ１／／ｌ２／／ｌ３，ＡＤ＝２ｃｍ，ＢＥ＝３ｃｍ，＝，则ＣＦ＝ ３．在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是＿。 ４．若 ３ｘ－ ４ｙ＝０，则 ｙ： ｘ＝，（ｘ—ｙ）：（ ｙ＋ ｘ）＝。 ５．已知ａ：ｂ：ｃ＝３：４：５，ａ＋ｂ－ｃ＝４，则ａ＝＿，４ａ＋２ｂ－３ｃ＝＿。 ６．若两个相似多边形的面积之比为４：２５，则它们周长之比为＿。 ７．如图（２），ＡＢＣ…     

大胆猜想探求最佳形式

高级中学课本《代数》下册必修第３２页的习题９是：已知：ａ＞ｂ＞ｃ，求证：＋＋＞０．此题的习惯证法都是证明它的等价形式＋＞．由于ａ＞ｂ＞ｃ，所以ａ－ｃ＞ａ－ｂ＞０，所以＞，而＞０，从而问题得证．如果就题论题，此问题确实得到了比较好的解决．然而，蕴含在此问题中的规律性知识却被丢弃了．分析一下＋＞，ａ－ｂ＞０，ｂ－ｃ＞０，而ａ－ｃ＝ａ－ｂ＋ｂ－ｃ，即两个分母的和，这是巧合吗能否将ａ－ｂ，ｂ－ｃ换成一般正数ｘ，ｙ呢不妨试一试．于是，我们有猜想１若ｘ，ｙ∈Ｒ＋，则≥显然，≥≥（ｘ＋ｙ２≥ｘｙｘ２＋ｙ…     

挖掘ａ＋ｂ＋ｃ＝０的一个不等关系解题

在数学解题中；经常碰到已知条件为ａ＋ｂ＋ｃ＝０，求取值范围、最值等问题，这时若把此条件转化为不等关系ｂ＾２≥４ａｃ（因ｂ＾２－４ａｃ＝［—（ａ十ｃ）］＾２—４ａｃ＝（ａ—ｃ）’≥０）去解题，往往能收到事半功倍之效，下面举例说明．     

初二(下)代数期末试题

一、填空题（每小题２分，共２８分） １．６４的平方根是＿。 ２．若３＝１．７３２，３０＝５．４７７，则０. ００３＝＿。 ３．使ａ－２＋３２－ａ有意义的ａ的值为。 ４．若ａ２＝（ａ）２时，ａ为数。 ５．若最简二次根式３ｂ－１（ａ＋１）与４ｂ－ａ是同类二次根式，则ａ＝＿，ｂ＝＿。 ６．化简（１－２）２＝＿；当ａ＜－２时（ａ－２）２＋（ａ＋１）＝＿。 ７．２－ｘ＝８则ｘ＝＿；则ｘ＝＿Ｘ３＝０．１２５．则ｘ＝。 ８．比较大小：４５＿５３，３－２＿　。 ９．２－５的有理化因式是＿，倒数是＿。 １０．若３ａ＋１＋｜ｂ…     

三元均值不等式的加强及其应用

高中《代数》下册给出的三元均值不等式是：如果ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,那么ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ,①当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时取“＝”号．此不等式可加强为：定理如果ａ,ｂ,ｃ≥０,那么ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ＋ａ（ｂ－ｃ）２＋ｂ（ｃ－ａ）２＋ｃ（ａ－ｂ）２．...     

一道初中代数竞赛题的几何解法

题目：已知实数ａ、ｂ满足ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,求ａ２－ａｂ＋ｂ２的取值范围．（１９９８年湖北黄冈市初中数学竞赛题）解：令ｋ＝ａ２－ａｂ＋ｂ２,由于ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,当ａｂ＝０（ａ、ｂ不能同时为零）时,不妨设ａ＝０,则ｂ２＝１,易得ｋ＝１．当ａｂ≠０时,不失一般性,不妨设｜ａ｜≤｜ｂ｜．作等腰△ＡＢＣ,使底边ＡＢ＝２｜ａ｜,高ＣＤ＝｜ｂ｜．设ＡＣ＝ＢＣ＝ｃ,△ＡＢＣ的面积为Ｓ,∠ＡＣＢ＝α,则０°＜α２≤４５°,０°＜α≤９０°,０＜ｓｉｎα≤１,｜ａｂ｜＝Ｓ＝１２·ｃ２ｓｉｎα．（１）若ａｂ…     

等差数列的性质及应用

性质１若｛ａｎ｝成等差数列,公差为ｄ,则｛ｋａｎ＋ｂ｝也成等差数列,公差为ｋｂ．（其中ｋ≠０,ｋ,ｂ是实常数）例１已知ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,求证１ｂ＋ｃ,１ｃ＋ａ,１ａ＋ｂ亦为等差数列．（高中代数〈必修〉下册１２８页题６）证明：由已知,ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,由性质１,ａ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｂ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｃ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ成等差数列,即（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）,（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ）,（ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ）成等差数列．又有（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）,（…     

直线斜率公式的应用

在解析几何中,过两点Ｐ１（ｘ１,ｙ１）、Ｐ２（ｘ２,ｙ２）（ｘ１≠ｘ２）的直线的斜率ｋ＝　　　　　。直线斜率公式在证解等式、不等式、数列、三角等方面有广泛应用。 １ 用于证明等式 例１ 已知ａ、ｂ、ｃ为三个互不相等的实数,且ｃ（ｘ－ｙ）＋ａ（ｙ－ｚ）＋ｂ（ｚ－ｘ）＝０,求证： 分析 由待证连等式中的每个分式联想到与其形态相似的斜率公式。 证明 由已知条件可得：　　　　　＝０,故Ａ（ａ,ｘ）、Ｂ（ｂ,ｙ）、Ｃ（ｃ,ｚ）三点共线, ∴　　ｋＡＢ＝ｋＢＣ＝ｋＡＣ, 即　　　　　　　　　　　 ２ 用于证明不等式 例…     

初一数学能力测试

一、填空题（每空２分．共４０分） １．在 ３ｘ－４ｙ＋１＝０中，如果 ｘ＝５，那么 ｙ＝＿。 ２．不等式－２ｘ＋３＜０的解集是＿。 　　３．不等式组　　的整数解是＿。 ４．若方程ｘｍ－２－４ｙｎ－３是关于ｘ，ｙ的二元一次方程，则ｍ＝＿， ｎ ＝＿。 ５．十位上的数字为ａ，个位上的数字为ｂ的两位数是＿。 ６．轮船在静水中航行的速度为ａ千米／小时，水流的速度为ｂ千米／小时（ａ＞ｂ），则轮船顺水航行的速度为＿，逆水航行的速度为＿。 ７．（１）如果ａ＞０，ｂ＞０，那么ａｂ＿０，ａ＋ｂ＿０．ａ／ｂ＿０。 （２）如果ａ…     

用超几何函数定义的解析函数的性质

引进单位圆盘内解析函数类 Ｔ（λ,Ａ,Ｂ）（λ≥ ０,－ １≤ Ａ＜ Ｂ ≤１,Ｂ ≥ ０）．给定 Ｆ１（ｚ）＝ｚＦ（ａ,ｂ;ｃ;ｚ）,这里Ｆ（ａ,ｂ;ｃ;ｚ）是超几何函数,我们对ａ,ｂ,ｃ,Ａ;Ｂ,λ,μ确定条件,使得函数（１－μ）Ｆ１（ｚ）＋ μｚＦ１’（ｚ）（μ ≥ ０）属于类 Ｔ（λ,Ａ,Ｂ）．     

相似形与解直角三角形

（３５）比例线段与平行线分线段成比例 一、复习要点 １．在两条线段的比ａ：ｂ中，ａ叫做比的＿＿ ，ｂ叫做比的＿＿ ２．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做 ３．如果ａ：ｂ＝ｃ：ｄ，那么＿＿、＿＿做比例外项，＿＿、＿＿叫做比例内项，＿＿叫做ａ、ｂ、ｃ的＿＿． ４．如果ａ：ｂ＝ｂ：ｃ，那么线段ｂ叫做线段ａ、ｃ的＿＿＿ ５、比例有三大性质：（１）基本性质：ａ：ｂ＝ ｃ：ｄ　　＿＿＿＿（２）合比性质：ａ／ｂ＝ｃ／ｄ　　＿＿＿（ ３）等比性质：ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…… ＝ｍ／ｎ（其…     

不等式的PQR证法

定理　设ａ,ｂ,ｃ为非负实数,记Ｐ＝∑ａ３＝ａ３＋ｂ３＋ｃ３,Ｑ＝∏ａ＝ａｂｃ,Ｒ＝∑ｂｃ（ｂ＋ｃ）＝ａ２ｂ＋ａｂ２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋ｃ２ａ＋ｃａ２,则　２Ｐ≥Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ≥６Ｑ．①证明：第一个不等式显然;由ａｂｃ≥（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）,展开、整理,即得Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ;应用几何—算术均值不等式即得Ｒ≥６Ｑ．有大量不等式与①等价,如∑ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）≤３ａｂｃ,∑ａ（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥０,∑ａ（ａ－ｂ－ｃ）２≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边）都等价于Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ,通过变形…