对一道高考试题的简解与拓广

2007年江西高考理科第20题是这样的:如图是一个直三棱柱(以A_1B_1C_1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A_1B_1=B_1C_1=1,∠A_1B_1C_1=90°,AA_1=4,BB_1=2,OC_1=3.     

数学问题与解答

261.在不等边△ABC中,∠A及其外角平分线分别与对边BC的中垂线相交于A_1、A_2;同样得到B_1、B_2;C_1、C_2,求证:A_1A_2=B_1B_2=C_1C_2。证:如图1,连结A_1B、A_1C,显然有A_1B=A_1C。由AB≠AC知∠ABA_1≠∠ACA_1。     

高中数学会考模拟试卷(B)

(1)∵A_1B_1∥AB,AB⊥BC,∴A_1B_1⊥BC,又∵直棱柱,∴BB_1⊥平面A_1B_1C_1。∴BB_1⊥A_1B_1,∴A_1B_1⊥平面BB_1C_1C.(2)∵A_1C在平面BC_1内射影为B_1C,由三垂线定理得A_1C⊥BC_1.(3)取BB_1中点F,连EF,DF,∵DE∥A_1B_1,∴BE⊥平面BB_1C_1C,∴∠DFE为二面角D-BB_1,-E     

关于“平面束方程”教学的注记

<正> 在《空间解析几何》的“平面束方程”一节中,为使计算简单,常把平面束方程的公式:l(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+m(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0…(1)(其中l,m为不全为零的任意实数)改写成A_1x+B_1y+C_1z+D_1+λ(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0…(2)(其中λ为任意实数,π_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0和π_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0为系数不成比例的二个相交平面的方程)。(2) 式表示过π_1与π_2交线l的除π_2的所有平面,当λ=0时为π_1。若求满足某种条件且过L的平面方程,只要在(2)式中确定参数λ即可。但是由于(2)式中不包含平面π_2,所以     

怎样求两条异面直线间的距离

一、应用定义法。例如,求四面体对棱间的距离,连接对棱中点,证明其为公垂线,再计算它的长度就行了。二、转化法。化为线面或面面距离来求。例如,已知长方体AC_1的BB_1=a,A_1B_1=b(图1),求B_1C_1与BD_1的距离。由于B_1C_1∥平面A_1BD_1,作B_1H⊥A_1B于H,则B_1H⊥平面A-1,BD_1,只要求出B_1H就行了。     

读者来信

一、成都无缝钢管厂子弟中学袁永祥同志来信,对本刊1983年第四期“求棱长为a的立方体 ABCD-A_1B_1C_1D的面对角线A_1C_1与AB的距离。”(每期一题)提出不同解法,选介其一于下。解因两条异面直线的距离是异面直线上两点间距离的最小的,故可用求极值方法。在A_1C_1上任取一点P (异于A_1C_1),过P作PQ⊥平面A_1B,则垂足在A_1B_1上,设为Q。过Q作     

巧算六边形面积

题目如图1,RtΔABC的三边长为a,b,c(c~2=a~2+b~2),由边AB,BC,CA向外作正方形ABB_1A_2,ACC_2A_1,BCC_1B_2,连结A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2,得六边形A_1A_2B_1B_2C_1C_2,求此六边形的面积。分析与解求六边形A_1A_2B_1B_2C_1C_2的面     

第三届全国中学生数学冬令营试题与解答

试题第一天(上午8:00—12:30) 一.设a_1,a_2,…,a_n是给定的不全为0的实数,r_1,r_2,…,r~n是实数,如果不等式sum from k=1 to n[r_k(x_k-a_k)]≤(sum from k=1 to n(x_k~2))~(1/2)-(sum from k=1 to n(a_k~2))~(1/2)对任何实数x_1,x_2,…,x_n成立,求r_1,r_2,…,r_n的值。二.设C_1,C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的半径的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长;并确     

运用直线重合的条件解题

众所周知,直线l_1:A_1x B_1y C_1=0与直线l_2:A_2x B_2y C_2=0(其中A_1、B_1、C_1、A_2、B_2、C_2均不为零)重合的充要条件是(A_1)/(A_2)=(B_1)/(B_2)=(C_1)/(C_2)。然而,运用这一条件求解某些数学问题,构思新颖,方法巧妙,过程简捷。本文就此作一些探讨,旨在抛砖引玉,并希望对我们的教学能有所帮助。     

对统编教材上一道习题的商榷

在六年制重点中学高中数学课本《解析几何》(平面)一书第194页上,有这样一道习题: 23.证明:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0时,二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+F_2y+F_2=0的交点同在一个圆上。这道题的题意是清楚的: 即:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)且≠0是二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 (1) A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0 (2)的交点在同一个圆上的充分条件。换句话说:只要有了条件(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0(1)和(2)就有交点,且交点在同一个圆上。但笔者认为:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0这个条件对本题的结论既不充分也不必要。     

三角形与其内接三角形面积的关系

设A_1,B_1,C_1分别是△ABC中BC,CA,AB边上的任意点,则你△A_1B_1C_1为△ABC的内接三角形。本文中记△ABC的面积为S,AB=c,BC=a,CA=b,内切圆半径为r,三旁切圆半径为r_a,r_b,r_c;AC_1/C_1B=m,BA_1/A_1C=n,CB_1/B_1A=l,△AC_1B_1,△BA_1C_1,△CB_1A_1,△A_1B_1C_1的面积分别为S_1,S_2,S_3,S′。则有。定理、△ABC的面积S与其内接△A_1B_1C_1面积S′有如下关系式:S′=(1+mnl)/((1+m)(1+n)(1+l))S其中AC_1/C_1B=m,CB_1/B_1A=l,BA_1/A_1C=n。     

“垂足三角形”的几个性质

1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶垂足三角形,点P关于△A_2B_2C_2的垂足三角形称为三阶垂足三角形。     

93年高考文科数学第18题的多种解法

93年高考文科数学试题（18）是一道源于教材、立意新颖、思路开阔的好题．笔者想到如下解法．供同行参考（18）在正方体A_1B_1C_1D_1—ABCD中．M、N分别为棱A_1A和B_1B的中点（如图1)．若θ为直线CM与D_1N所成的角，则sinθ＝（）（A）1/9（B）2/3（C）25~（1/２）/9（D）45~（1/２）/9解法一：取DD_1的中点E,连结BE、MB、四边形BCEM是平行四边形且BM⊥BC．设正方体棱长为1（以下各解法均设棱长为1）由正弦定理得故选（D）．解法二；由法一、不难得到法二．取CC_1的中点E，连结A_1E，A_1N，D_1E，则四边形A_1NED_1为平…     

对解析几何中一道例题的一点意见

六年制重点中学高中数学课本解析几何(平面)P.47例2原题如下: 已知两条直线; l_1:x my 6=0, l_2:(m-z)x 3y-2m=0。当m为何值时,l_1与l_2(ⅰ)相交;(ⅱ)平行;(ⅲ)重合。解:将两直线的方程组成方程组这时,A1/A2=1/m-2,B_1/B_2=m/3,C_1/C_2=6/2m。当A_1/A_2=B_1/B_2时,1/m-2=m/3。(1)     

一道数学冬令营试题的推广

第三届全国数学冬令营选拨赛试题第2题:设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4的周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长,并请确定等号成立的条件。本题可推广为: 设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的m(m>l)倍。 n(n≥3)边形A_1A_2…A_n内于C_1。将A_nA_1延长交圆C_2于B_1,     

一道有价值的立几试题的探讨

在各类试题中，曾发现有这样一道立体几何题：（如图1）在正三棱柱ABC—A_1B_1C_1年它又换上新装出现在普通高等学校招生全国统一考试的“三南”试题中，可见它是一道好题，引起笔者的兴趣．将探索所得到的结果公布于后，供同行们参考．［思路1］；本题的意图要证A_1B⊥A_1C，必须通过直线与直线，直线与平面的位置关系，进行逻辑推理．根据题目所具备的条件找出BC_1和A_1C在平面A_1ABB_1内的射影是证题的必由之路．证明1如图2，分别取AB、A_１B_１的中点为M、M_1由ABC—A_1B_1C_1为正三棱柱为A_1C在平面内的射影．同理可证：…     

每期一题

题求棱长为a的立方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的面对角线A_1C_1与AB_1的距离。 (江西南昌市第十二中学万伟) 解法一利用异而直线距离的定义,连BD_1,取A_1B_1中点E,连结BE交AB_1于     

1999年全国高中数学联赛广西赛区初赛(高三)

一、选择题(每题6分,共36分) 1.在等比数列{a_n}中,记S_n=a_1 a_2 … a_n,已知a_5=2S_4 3,a_6=2S_5 3。则此数列的公比q为( )。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形(如图1)。现用某平面去截此四棱锥,得到截面四边形A_1B_1C_1D_1,设集合S={四边形A_1B_1C_1D_1是平行四边形}。则     

用假设法解填空问题

题目:把20以内的8个质数分别填在下图圆圈中(每一质数限填一次),使图中用箭头连接起来的四个数的和相等。分析与解答:设下图是一种满足条件的填法。容易知道只要 A_1 A_2=B_1 B_2=C_1 C_2即可,可见问题是从小于20的8个质数2、3、5、7、11、23、17、19中选出6个数填到 A_1、A_2、B_1、B_2、C_1、C_2、的位置上去,使满足条件。首先注意不能选2。因8个     

1988年日本京都大学入学考试数学试题及答案(理、医、药、工、农类)

试题 1、对于实数a、b。 f(x)=x~2 ax b, g(x)=f[f(x)]。①证明 g(x)-x能被f(x)-x整除。②图示满足g(p)=p且f(p)≠p(p为实数)的点(a,b)的范围。 2、在△ABC中,设分AB、BC,CA为2:1的内分点依次为A_1,B_1,C_1;分A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1,为2:1的内分点依次为A_2,B_2,C_2。证明△A_2B_2C_2与△ABC相似。 3、设A=, ①当=A时,设x~2-3y~2=1,