概念的拓展和引申

学习数学的一个重要方法就是学会概念的拓展和引申.就说“三角形的面积等于底乘高的一半”吧,小学就会了,但到中学那片天地仍十分诱人,倚仗的就是概念的拓展.拓展一:等底等高的三角形面积相等.例1如图,四边形ABCD和CEFG都是正方形,AB=6cm,求阴影△FBD的面积.本题数量条件只有一     

对角线互相垂直的任意四边形性质的证明和应用

性质:对角线互相垂直的任意四边形性质的面积等于两条对角线乘积的一半.如图1:在四边形ABCD中,AC、BD是对角线,且AC⊥BD,垂足为P,则:四边形ABCD的面积=1/2AC×BD证明:因为AC⊥BD,所以S△ACD=1/2AC×DP,S△ACB=1/2AC×BP.因为四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ACB.     

三角形、四边形的统一的面积公式

<正>初中数学教学中,经常会遇到直角坐标系中的三角形、四边形的面积问题.我们有:对角线互相垂直的四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半.(证明略)菱形、正方形是这类四边形的特殊情况.高一学习钝角的三角函数及诱导公式后,对角线夹角为θ的四边形面积也可求:在四边形ABCD中,AC与BD的夹角为θ,则S四边形ABCD=1/2AC·BD·sinθ.(证明略)     

与梯形面积有关的几个结论

探索:如图1,将梯形ABCD沿它的两条对角线剪开,得四个小三角形.这四个三角形之间、它们与梯形之间有着怎样的联系? 发现一:在梯形ABCD中,AB∥CD, 得S△ABC=S△ABC. 而S△ABC-S△ABO=S△ABD-S△ABO, 有S△BCO=S△ADO. 发现二:利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比,DO/BO=S△CDO/A△CBO=S△ADO/S△ABO.不妨设S△CBO=S△ADO=x,     

关于三角形面积三等分的作图问题

给定一个三角形及其边上的一点,通过该点作两条线段将此三角形的面积三等分比较容易解决.如果给定的点在三角形内部,通过该点作三条线段将三角形面积三等分,则比较复杂,本文将利用面积割补技巧对该问题进行讨论。辅助问题:过凸五边形ABCD的顶点A(如图1)作一线段将其面积平分。分析:由于四边形ABCD的形状不规则,直接平分有一定的困难.不妨把它分解成两个三角形试探一下。先看△ABD     

对角线互相垂直的四边形的面积

对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半,下面我们证明这个结论。已知:四边形ABCD中,对角线AC⊥BD于E,如图1.求证:S四边形ABCD=1/2AC·BD.     

一道习题的探究、推广与应用

题目:如图1,任意四边形ABCD被两条对角线分成四个三角形:△OAD、△OBC、△OAB、△OCD,它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,则S1·S2=S3·S4.证明:设△OAD边AO上的高为h1,△OAB边OA上的高为h2,则     

竞赛练习题

1.设AD是锐角三角形ABC的高,O是AD上任意一点,连接BO、CO,并分别延长交AC、DB于E、F,连接DE,DF,试证∠EDO=∠FDO。 2.梯形ABCD中,AB∥DC,且DC相似文献   

四边形面积的一个性质及其推论的应用

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3和S_4,则由三角形面积公式,有     

一个四边形的面积引发的思考

<正>原题如图1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.分析由已知得△ABC为直角三角形,由等边三角形的性质易得△DBF≌△ABC≌△EFC.解法1最外沿大五边形等于一个正三角形+两个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去三个三角形面积即可求得结果(△ABD、△ACE、△ABC);     

用联系发展的眼光理解四边形问题

三角形和四边形之间的关系非常密切 ,熟练地掌握它们之间的联系对四边形的学习无疑是十分有益的。任意四边形 ABCD的一条对角线 AC把它分成两个三角形 ,即△ ABC、△ ACD,如图 1所示。平行四边形 ABCD的一条对角线 AC把它分为两个全等的三角形 ,即△ ABC≌△CDA,如图 2所示。菱形 ABCD的一条对角线 BD把它分成两个全等的等腰三角形 ,即△ ABD≌△ CDB,如图 3所示。矩形 ABCD的一条对角线 AC把它分成两个全等的直角三角形 ,即 Rt△ ABC≌ Rt△ CDA,如图 4所示。正方形 ABCD的一条对角线 AC把它分成两个全等的等腰三角…     

俄罗斯萨温竞赛题选(五)

在历年的萨温数学竞赛题中,有不少涉及了图形面积.它们都要求证明所给的面积是否相等,证法也千变万化.现介绍几例:1.在任意凸四边形ABCD中取各边的中点,并与它相对的一个顶点连结,如图1所示.那么所围成的中央四边形面积与周围那4个阴影三角形的面积总和相等吗?2.在等边三角形内任意取一点,该点与3个顶点连线,又从该点向3条边作出垂线,如图2所示.这样图中的3个阴影三角形的面积总和与余下的3个三角形的面积总和相等吗?3.过正方形内某一点,先作出两条与正方形边平行的直线,再作两条与正方形对角线平行的直线,把正方形分割成8块,如图3所示.图…     

学会概念的延展和引申

学习数学的一种重要能力就是学会概念的延展和引申．就说“三角形的面积等于二分之一底乘高”吧,小学就会了,但到中学这片天地仍十分诱人,倚仗的就是概念的拓展．拓展一:等底等高的三角形面积相等．例1 如图1,四边形,ABCD和CEFG都是正方形,AB=6 cm,求阴影三角形FBD的面积．     

关于凸四边形的一个分划问题

给定一个凸四边形，引两条直线分一对对边成三等份（如图1），证明：夹在两直线间的面积为凸四边形面积的合．为了解决问题，如图1所示，连AG，＊H，PC，设凸人＊G，凸＊＊C的面积分别为工和。，那么凸＊＊H的面积等于今（X＋y）．事实上，它们的底相同，而凸EGH的高等于其它两三角形高的和的一半，如图2．．L述的论证对于图1中上边三个三角形同样适用、设其面积分别为。，专（ti＋v）和v，从而四边形ABCD的面积等于】（x＋y＋I。＋v），而四边形EGHF的面积等于】（。“y＋u＋v），gg为原四边形面积的j·更一般的结论：如果一组直…     

面积的一个重要性质及其应用

凸四边形中有一个关于面积的重要性质:四边形一条对角线上任一点与另两个顶点的连线把四边形分为四个小三角形,其中对顶的两个三角形的面积之积相等。如图1,设这四个小三角形的面积为     

浅谈完全四边形

为了方便书写,本文定义: “(△ ABC,D )”表示“考虑△ ABC ,及点 D ,根据塞瓦定理可得”. “(△ ABC,DE )”表示“由 DE 割△ ABC ,根据梅涅劳斯定理可得”. “( ABCD,EF,AC,GH )”表示,“ E、 F、G、H 分别在线段 AB、BC、CD、DA 上,且 EF、AC、HG 三线共点”(允许 ABCD为凸四边形,凹四边形及退化成三角形),并把三条直线两两平行作为三线共点的一个特例.1 完全四边形的背景知识 我们把两两相交而又没有三线共点的四条直线所构成的图形,叫做完全四边形.完全四边形蕴藏着许多有趣性质,在此仅提两点.1.1 施…     

问题3.1-2

如图,如果带有阴影的四个三角形面积相等,那么图中没有阴影的三个四边形面积也相等。[第一段]     

巧用面积关系证题

一、利用面积之和证题通过引辅助线 ,把三角形分割成几个小三角形 ,则原三角形的面积等于分割成的各个小三角形的面积之和 .运用这一关系 ,可以证明线段之间的和差关系 .例 1　已知 :如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｐ为ＢＣ上任一点 ,ＰＤ⊥ＡＢ ,ＰＥ⊥ＡＣ ,垂足分别为Ｄ、Ｅ ,ＣＦ是ＡＢ边上的高 .求证 :ＰＤ ＰＥ =ＣＦ .分析　由ＰＤ、ＰＥ是垂线段不难联想到三角形的高 ,由高进一步联想到面积 .这样 ,思维的角度就定位在面积关系上了 .连结ＡＰ ,容易看出ＰＤ、ＰＥ、ＣＦ分别是△ＡＰＢ、△ＡＰＣ、△ＡＢＣ的高 ,而这三个三角形…     

此处花开香满堂——记一次意外的求面积探究活动

[案例描述]原题:如图1,ABCD和EFGC是两个边长分别为a,b的正方形,用a,b表示阴影部分的面积,并计算当a=4cm,b=6cm时,阴影部分的面积.图1图2这个问题很多学生课前已经完成,我便把阴影部分改成如图2所示的三角形DBF,在其他条件都不变的情况下要求学生计算△DBF的面积.话音刚落,学生     

一种内接四边形周长的最小值问题

大家知道,△ABC的内接三角形的周长存在最小值的充要条件是△ABC为锐角三角形,其最小值为4RsinAsinBsinC(R为△ABC的外接圆半径)。那么,四边形的内接四边形的周长存在最小值的充要条件是什么呢?其最小值又如何呢?本文就此问题进行探讨。 定义 若四边形EFGH的四个顶点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四条边AB,