(sinx±cosx)~2=1±2sinx cosx的妙用

在三角函数中,等式(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx涉及如下三项:sinx+coxx,sinx-cosx,2sinxcosx.这三项中只要知道其中一项,就可求出其他两项,给解题带来了极大的方便.也是考试命题的一个热点.下面结合一些实例说明它的作用与功能.1.化简或证明三角函数式     

求函数y=(a/cosx)+(b/sinx)最值的方法

求函数y=sinx+cosx的最值,同学们都觉得容易,但是求函数y=(a/cosx)+(b/sinx),其中a,b>0,x∈(0,(π/2))的最值就有难度了.本文将给出三种解法.     

解形如“(a-b sinx)/(c-d cosx)最值”一类题体现的数学思想

求形如“函数y=a-bsinxc-dcosx的最值”问题的解法较多,从这些解法中可体现出一些数学思想.一、数形结合思想例1.求函数y=1+sinx2+cosx的最小值和最大值.分析:因函数y=1+sinx2+cosx的定义域为R,所以把1+sinx2+cosx可以看为点(cosθ,sinθ)与点(-2,-1)所在直线的斜率.而点(cosθ,sinθ)的轨迹是圆x2+y2=1,因而问题就成为点(-2,-1)与圆x2+y2=1上的动点的连线的斜率最大值、最小值问题.易知,过点(-2,-1)向圆x2+y2=1所作的两条切线的斜率的最大值和最小值就是函数的最大值和最小值.如图,用平面几何的知识得出斜率kBD为所求的最小值,斜率kBC为…     

用三角代换t=sinx+cosx解题

一、求函数的最值例１设－π≤x≤π，求y＝１＋sinx＋cosx＋sinxcosx的最值．解设t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t２－１２，y＝１＋t＋t２－１２＝（t＋１）２２（－２√≤t≤２√）．当t＝－１，即x＝π或x＝－π时，ymin＝０；当t＝２√，即x＝π４时，ymax＝３２＋２√．二、求函数的值域例２求y＝sin２x２（１＋sinx＋cosx）的值域．解设t＝sinx＋cosx，则sin２x＝２sinxcosx＝t２－１，y＝t２－１２（１＋t）＝t－１２（－２√≤t≤２√且t≠－１），故所求函数的值域为犤－２√＋１２，－１）∪（－１，２√－１２犦．三、求sinx＋cos…     

函数y=a/sinx b/cosx的最小值

本文应用待定系数法和柯西不等式给出下面函数的最小值 .定理　函数 y=asin x bcos x,x∈ ( 0 ,π2 ) ,a,b为正常数 ,则 ymin=( a23 b23) 32 .证明　设 m,n为待定正常数 ,由柯西不等式 ,有( asin x bcos x) ( msin x ncos x)≥ ( am bn) 2 ,1( m2 n2 ) ( sin2 x cos2 x)≥ ( msin x ncos x) 2 . 2由 1 ,2得asin x bcos x≥ ( am bn) 2m2 n2 . 3而 3式中等号成立的条件是 1 ,2式中的等号同时成立 ,即 :amsin2 x=bncos2 x且 msin x=ncos x,亦即 :m=3ak,n=3bk( k>0 ) ,代入 3式整理得asin x bcos x≥ ( a23 b23) 32 .下面举例说…     

妙求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）的最小值。 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决，文[2]利用导数也将此问题获解。经笔者研究发现，此类问题用基本不等式也能很好地解决，且相比之下，较文[1]和[2]似更巧妙、明快、简捷一些，给人有耳目一新的感觉。现将此问题的解答过程表述如下。     

对“再谈f(x)=3/cosx+2/sinx最小值的初等求法”的商榷

正某刊中给出了"贴近学生实际的求f(x)32=+(0cosxsinxπx)最小值的初等求法",笔者阅读后发现其解法中存2在不等式中易犯的一个错误,特提出与原作者商榷.先看原文给出的解法(限于篇幅,已作简化):     

函数y=a/(sinx)qP+b/(cosx)qP的最值的推广

曹军先生在<中学数学研究>2002年第3期<一个椭圆最值问题的多角度探究>一文中,谈到函数y=a/(sinx)qP+b/(cosx)qP(a,b∈R+,p,q∈N,x∈(0,π/2))的最小值,给出了下面的结论:     

∫R(sinx,cosx)dx型不定积分的解法

本文总结归纳了∫R（sinx,cosx）血型不定积分的几种常见类型的解法。     

∫R（sinx，cosx）dx型不定积分的解法

本文总结归纳了∫R(sinx,cosx)dx型不定积分的几种常见类型的解法。     

巧用基本不等式妙求3/cosx＋2/sinx的最小值

问题 求3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）的最小值。 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决,文[2]利用导数也将此问题获解．经笔者研究发现,此类问题用基本不等式也能很好的解决,而且相比之下,较文[1]和[2]似更巧妙、明快、简捷一些,给人们一种耳目一新的感觉．现将此问题的解答过程表述如下．     

利用辅助角公式探讨函数y=(a_1sinx b_1cosx c_1)/(a_2sinx b_2cosx c_2)的值域

本文将利用辅助用公式asinx bcosx=(a~2 b~2)～(1/2)sin(x φ)(tgφ=b/a)对函数a_1sinx b_1cox c_1/a_2sinx _2conx c_2的值域进行探讨,并对所对值域的可靠性进行讨论.用此方法求函数y=a_sinx b_1cos c_1/a_2sinx b_2cosx c_2的值域具有一定的广泛性,实用性     

用(sinx±cosx)~2=1±2sinxcosx解题

在三角函数解题中常用到(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx,用这个公式解题,能够达到化繁为简,化难为易的效果. [例1] 已知sina-cosa=1/5,且a∈(π,3/2π),     

利用凸函数性质巧求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求y=3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）（＊）的最小值 文[1]、文[2]分别利用柯西不等式的推广、导数知识将此问题得以解决,文[3]巧用基本不等式,通过两次缩小妙求问题的答案．最近笔者研究发现,利用凸函数性质也可以巧妙获解．本文给出这个巧解,以飨读者．     

巧用加零法,妙求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求3/cosx ＋2/sinx（o〈x〈π/2）的最小值． 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决,文[2]利用导数也将此问题获解,文[3]又利用基本不等式将此问题解决．受文[1]、[2]、[3]的启发,笔者经过研究发现,此问题可用加零法,引入参数也能很方便的求解．而且相比之下,此方法更为简捷,技巧性不强,更容易让学生接受与掌握．现将此问题的解答过程呈现如下：     

关于asinx+b/sinx的最值

本刊87年7期《关于一道最小值问题的解法》一文指出了求3sinθ+12/sinθ (θ∈(0,π))的最小值的一种常见错误,并给出了三种初等解法,这些解法都较繁。其实这类问题有一种易于掌握的简便解法(见本文定理一证明)。本文在给出了这类问题的一般性结论后,又作了一点推广。     

函数f(x)=│sinx│+│cosx│的最小正周期的求法

在高中数学教学中,对于函数f(x)=sin x cosx的最小正周期的求法,总避开不提.问题的提法,多以选择题或是证明题的形式出现.如求证:f(x)=sin x cosx的最小正周期是2π.解题过程很简单:证明∵对任意的x∈R,都有f(x π2)=sin(x π2) cos(x π2)=cos x ?sin x=f(x).∴T=π2是函数f(x)=sin x cosx的周期.假设存在0相似文献   

克服思维定势,防止-1≤sinx≤1、-1≤cosx≤1的负迁移

-1≤sinx≤1、-1≤cosx≤1是三角函数的重要性质,在解决数学问题中经常发挥很好的作用。但在有些问题中,题设给定或隐含着x的变化范围,使得sinx(或cosx)不能取遍区间[-1,1]内的所有值。就是说,在该问题中,sinx(或cosx)的实际取值范围仅是区间[-1,1]的一个真子集,如果不注意挖掘和运用变量x的范围来确定sinx(或cosx)的实际取值范围用于解决该问题,而盲目套用-1≤sinx≤1、-1≤cosx≤1就会犯错误。因此,应本着具体情况具体分析的精神,加强挖掘和运用题设中所给范围的意识。下面举例说明这个问题。     

关于函数y=3-sinx/2＋cosx值域的探究

笔者认为课堂教学的核心应该放在学生思维能力的培养和提高上．因此，作为教师只有紧紧围绕培养和提高学生思维能力来实施教学，才算是抓住了教学的本质和核心．本文就一道常见的三角函数值域题，探究其解题思路，并加以延伸和拓广．