求多项式极值的一个方法

关于求函数的极值问题,在中学数学教学中虽不是重点,但在应用题中往往由于探求函数的最大(或最小)值而涉及计算函数的极值问题。在研究初等数学,特别是在作函数的图象时,也常要找出其极值和极值点。正式列入中学代数教材的极值问题,是讨论f(x)=ax~2+bx+c的极值,它的极值与函数的最大(或最小)值完全一致。因为: f(x)=a(x+b/2a)~2+(4ac-b~2)/4a,故当x=-b/2a时,f(x)有极值(4ac-b~2/4a,也就是f(x)的最大(或最小)值。根据这些思想,可把二次函数求极值的问题推广到更高次的多项式函数。本文介绍一种求多项式函数极值的方法,只是其中用到一点高等数学的思想,但方法上完全是初等的。这对启发中学生的思维,发展智力,对中学教师的教学,开展课外活动,都有其参考价值。     

也谈极值问题的图象解法

(φ_1(x,y)∨0 本文讨论的是在约束条件中的某一个)下,求目标函数μ=f(x,y)的极值(最大值或最小值)问题。用几何语言来说,就是在平面区域达到极值的点(x_0,y_0)来。可以证明,当φ(x,y)为不高于二次的多项式,f(x,y)是相当广泛的一类初等函数(不必限定它一定是不高于二次的多项式)时μ=f(x,y)在M的边界上达到极值。这类条件极值问题,借助于图象,一般能用下面的几种初等解法:     

三次函数极值的初等解法

三次函数的极值通常用导数方法来解决,如果不具备导数知识,那么能否用初等方法来解决呢?本文就来探讨这个问题.为此,我们先来回顾一下二次函数极值的求法.如果一个二次函数能够写成y=a(x-x0)2 k(a≠0),则当a>0时,函数在x=x0处有极小值k;当a<0时,函数在x=x0处有极大值k.对于一般     

三次多项式极值的一种初等求法

作者熊曾润.求关于变量 x 的实系数三次多项式 F=ax~3 bx~2 cx d 的极值,通常用“微分法”.这对于不熟悉微积分的人来说,理解和接受起来都是困难的.本文给出三次多项式极值的一种初等求法,方法简洁,新颖,又便于运用.     

求二次函数极值的一点注意

用初等方法求解的一类极值问题中,常遇到求二次函数的极值问题。对二次函数来说,它的极值就是最大(小)值问题,这主要依据下述定理: 二次函数y=ax~2 bx c(a0)在区间(-∝, ∝)内, (1)若a>0,则当x=-b/2a时, y_最小值=(4ac-b~2)/(4a) (2)若a<0,则当x=-b/2a时, y_最大值=(4ac-b~2)/(4a) 这个定理,统编教材安排在初三下学期讲授(代数第四册)。过去作为选学内容,又不严格论证,因此学生对这个定理掌握得很不好,往往是死套公式。到高中后又不进     

等变量极值与其应用

引入等变量函数的极值概念与其判定方法后,可以将多元函数f(x_1,x_2,…,x_n)求等变量极值转化为求二元函数的等变量极值,简化了计算,同时可用初等方法求得多元函数的等变量极值。这对解证不等式有其显著的效果。     

物理解题中常用求极值的方法

在物理解题中,经常碰到要求最大值或最小值即求极值问题.以下就向大家介绍一下物理解题中常用求极值的方法. 一、用配方法求极值 如y=(x α)2可写成y=(x-α)2 4αx,当x=α时,y有最小值,ymin=4α2. 例1 某一回路中电源电动势为ε,电源内阻为r,问外电路总电阻R为何值时,电源有最大输出功率?其最大功率有多少?(外电路为纯电阻)     

关于均值不等式求最值的进一步探讨

用平均值不等式求函数的极值是求极值的一个重要初等方法,特别对一元三次以上的函数,其依据为如下定理. 定理 设点集D中()0(1,2,3,,)iuxin=鬃浊掖嬖诘?xD,使得1020()()uxux==鬃? 0()nux()*成立,那么. ⑴ 若0()niiux=常数,则1()niiyux==在点0x处取得最大值; ⑵ 若1()niiux=常数     

能取等号吗?

函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实     

关于函数y=(c bsinx)/(d acosx)的极值

本文将用初等数学的方法研究函数y=(c bsinx)/(d acosx)的极值问题:一、在什么条件下,函数y有极值;二、若函数有极值。那么怎样求极值。我们首先通过具体例题来研究如果函数有极值的情况下,怎样求极值例1 求函数y=(1-3sinx)/(5 2cosx)的极值。解法一:去分母整理得: 3sinx 2ycosx=1—5y, ■(9 4y~2)~(1/2)sin(x φ)=1-5y,φ=arctg(2y)/3, ■sin(x φ)=(1-5y)/(9 4y~2)~(1/2)     

一元三次多项式函数的极值

中学数学中讨论的极值大多能化为求一元二次多项式函数的极值,可见多项式函数的极值是极值理论的重要基础部分,本文将用初等方法先求出一元三次多项式函数的极值点,然后举例说明其应用。     

为何遗漏极值点?(高三)

用导数法求函数的极值,是求极值基本方法,在解决这类问题时,如果对法则、定理一知半解或理解不透,很容易造成极值点的遗漏.可导函数y=f(x)在某一点x_0处取得极值的必要条件是这一点x_0的导数f′(x_0)=0.因此求可导函数y=f(x)的极值可以按照下列步骤进行: ①先求函数y=f(x)的导数f′(x); ②令f′(x)=0求得根x_0; ③在x_0附近左右两侧判断f′(x_0)的符号,左正右负为极大值点,左负右正为极小值点.     

2017年高考数学江苏卷第20题的赏析与思考

<正>1原题再现2017年高考数学江苏卷第20题如下:已知函数f(x)=x~3+ax~2+bx+1a>0,b∈(R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b~2>3a;(3)若f(x)、f′(x)这两个函数的所有极值     

关于两个代数重要极值定理及其应用

本文先给出两个代数重要极值定理,分别用初等和高等两种方法进行证明,引出一个推论,最后举例阐明它们的重要应用。 [定理一]若两正变量之和一定,则当二者相等时,其乘积为最大。 证法一:设x>0且y>0 且x y=m (定值)则有s=x·y=x(m-x)=-x~2 mx=-(x-m/2)~2 m~2/4当x=m/2时,同时有y=m/2,故乘积s=x·y有最大值m~2/4, 证法=:用拉格朗日入乘数法,即命题转化为乘积函数s=xy在满足联系方程x y=m的条件极大值问题。于是先构造辅助函数     

求解析几何极值的初等方法

解析几何中的极值涉及到代数、三角、几何诸方面的知识。问题复杂,方法灵活。由于课本中没有系统地介绍值的解法规律,因此学生们在碰到较复杂的极值问题时,常常盲目试探,胡乱分析,在碰壁之后,束手无策。本文的目的在于通过典型例题,阐述解极值问题的初等方法,揭示其规律,供参考。一、利用一元函数求极值在解析几何中,用一元一次函数、一元二次函数求极值是最常用的方法。     

高中数学中的极值问题

<正>在高中数学中,有一类题目是关于函数的,而在函数中,求解函数的极值和根据函数的极值来求解问题又占了很大的比例,因此有必要谈谈函数的极值的解法和类型。一、求简单函数的极值例1求下列函数的极值:(1)f(x)=x²e2e^(-x);(2)f(x)=2x/x(-x);(2)f(x)=2x/x²-2。解:(1)函数的定义域为R,f′(x)=2xe2-2。解:(1)函数的定义域为R,f′(x)=2xe^(-x)-x(-x)-x²e2e^(-x)=x(2-x)e(-x)=x(2-x)e^(-x),令f′(x)=0,     

初等函数求极值的几种方法

关于初等函数的极值问题类型很多,常见的基本解法有下面几种一、对于一般二次函数 y=ax~2+bx+c(a(?)0)可用配方法求极值。     

避免局限性一例

贵刊1981年第3辑《一些初等方法求极值的依据及局限性》一文正确地指出了局限性。但是,对于那些函数值域“淹没”了极值的情况,有时作适当的变换或细致的分析,也能准确地求得所有的极值。如文中的例5:求y=x~4-2x~2+1     

函数y=asin~2x+bsinx+c的极值

本文运用初等方法,探讨函数 y=asin~2x+bsinx+c (a≠0) (Ⅰ)的极值。众所周知,函数的“极值”与“最值”,是两个不同的概念;在“求函数极值”的问题里,如果没有特别说明,通常是指求出函数的全部极值,不言而喻,在一般情况下,     

由祖暅原理想到的——求曲边三角形面积的初等方法

我国数学家早在公元五世纪就得到了祖暅原理。应用它,只需一点初等的数学知识,就可推导出球体的体积公式。正在学习立体几何的中学生,无不为之赞叹!这里,给出祖暅原理的又一应用——用初等方法求以抛物线为斜边的直角三角形面积. 例:求曲线y=x~2,x轴和直线x=α围成的面积. 如图1所示,求曲边三角形OAB的面积。我们